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专题13 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题-备战2022高考数学二轮复习冲破压轴题讲与练
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专题13 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题
【压轴综述】
纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线的考查，一般设置一大一小两道题目，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆、双曲线、抛物线的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查圆锥曲线的标准方程，结合基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查圆锥曲线的几何性质，小题较多地考查椭圆、双曲线的几何性质；四是考查直线与椭圆、抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式、范围、最值、定值、定点、定直线、存在性和探索性问题等.
本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明求解定点、定值、定直线问题.
一、定点问题
1.求解(或证明)直线和曲线过定点的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量x，y视作常数，把方程一边化为零，既然是过定点，那么这个方程就是对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．
2.常用方法：一是引进参数法，引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点；二是特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
二、定值问题
1.解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．常见定值问题的处理方法：
（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示
（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数.
2. 定值问题的处理技巧：
（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向.
（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢
（3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算
三、定直线问题
定直线问题是证明动点在 定直线上，其实质是求动点的轨迹方程，所以所用的方法即为 求轨迹方程的方法，如定义法、消参法、交轨法等．
【压轴典例】
1．（2021·上海高三专题练习）若AB是过椭圆中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM､BM与两坐标轴均不平行，kAM､kBM分别表示直线AM､BM的斜率，则kAM·kBM=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设，，，，则，，则,，在椭圆上，，，两式相减得，即，所以，所以，
即.
2．（2020·江苏镇江市·高三期中）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用.直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“勾2+股2=弦2”，设直线交抛物线于，两点，若，恰好是 的“勾”“股”（为坐标原点），则此直线恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设直线的方程为，，，由 得，由根与系数的关系可得：，，若，恰好是 的“勾”“股”（为坐标原点），可得，所以，即，所以，，
所以，即，解得或（舍）所以直线的方程为，恒过点，
3．（2020·全国高三专题练习）已知为坐标原点，过点作两条直线分别与抛物线：相切于点、，的中点为，则下列结论错误的是（ ）
A．直线过定点；
B．的斜率不存在；
C．轴上存在一点，使得直线与直线关于轴对称；
D．、两点到抛物线准线的距离的倒数和为定值.
【答案】A
【详解】设，，∵，∴，∴过点的切线方程为，即，∴，同理过点的切线方程为，将分别代入上式，得，，∴直线的方程为，∴直线过定点，故A选项错误，符合题意；
联立方程得：，，则，，∴点的横坐标为，∴轴，故B选项正确，不符合题意；设，由题意得，，设直线、的斜率分别为、，
则，当时，，即直线与直线关于轴对称，C选项正确，不符合题意；∵点到准线的距离为，点到准线的距离为，
∴，D选项正确，不符合题意.
4.(2020·全国卷Ⅰ高考文科·T21)已知A,B分别为椭圆E:+y2=1(a>1)的左、右顶点,G为E的上顶点,·=8,P为直线x=6上的动点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.
(1)求E的方程;(2)证明:直线CD过定点.
【解析】(1)依据题意作图如图所示:
由题设得A(-a,0),B(a,0),G(0,1).则=(a,1),=(a,-1).由·=8得a2-1=8,即a=3.所以E的方程为+y2=1.
(2)设P,则直线AP的方程为:y=,即:y=,联立直线AP的方程与椭圆方程可得:整理得:x2+6x+9-81=0,解得:x=-3或x=,
将x=代入直线y=可得:y=,所以点C的坐标为.
同理可得:点D的坐标为,
所以直线CD的方程为:y-=,
整理可得:y+==,
整理得:y=x+=故直线CD过定点.
5.(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且过点A(2,1).
(1)求C的方程;
(2)点M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D为垂足.证明:存在定点Q,使得|DQ|为定值.
【解析】(1)由题意得+=1,=,解得a2=6,b2=3.所以C的方程为+=1.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).若直线MN与x轴不垂直,设直线MN的方程为y=kx+m,代入+=1得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0.于是x1+x2=-,x1x2=.①,由AM⊥AN知·=0,
故(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=0,可得(k2+1)x1x2+(km-k-2)(x1+x2)+(m-1)2+4=0.将①代入上式可得(k2+1)-(km-k-2)+(m-1)2+4=0.整理得(2k+3m+1)(2k+m-1)=0.因为A(2,1)不在直线MN上,所以2k+m-1≠0,故2k+3m+1=0,k≠1(A(2,1)不在直线MN上).于是MN的方程为y=k-(k≠1).所以直线MN过点P.若直线MN与x轴垂直,可得N(x1,-y1).由·=0得(x1-2)(x1-2)+(y1-1)(-y1-1)=0.又+=1,可得3-8x1+4=0.解得x1=2(舍去),x1=.此时直线MN过点P.令Q为AP的中点,即Q.若D与P不重合,则由题设知AP是Rt△ADP的斜边,
故|DQ|=|AP|=.若D与P重合,则|DQ|=|AP|.综上,存在点Q,使得|DQ|为定值.
6.(2020·北京高考·T20)已知椭圆C:+=1过A(-2,-1),且a=2b.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点B(-4,0)作直线l与C交于M,N,MA与NA与x=-4交于P,Q,求.
【解析】(1)由已知得,+=1,a=2b,所以a2=8,b2=2,所以椭圆C的方程为+=1.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),显然MN斜率存在,设为k,则MN:y=k(x+4),
由得(1+4k2)x2+32k2x+64k2-8=0,所以x1+x2=-,x1x2=,*
AM方程为y+1=(x+2),又y1=k(x1+4),令x=-4得,yP=-,同理,yQ=-,所以===,结合*知,x1x2+2(x1+x2)+8==-(x1+x2),
所以===1,与M,N顺序无关,所以=1.
7．（2021·河南新乡市·高三一模）已知动点到点的距离与到直线的距离之比为.
（1）求动点的轨迹的标准方程；
（2）过点的直线交于，两点，已知点，直线，分别交轴于点，.试问在轴上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，点.
【详解】（1）设点，则，化简得
故动点的轨迹的标准方程为
（2）设直线的方程为,联立方程组，得，
得: 或
，.设，定点存在，其坐标为
.
则,令，求出与轴的交点
即有:
即,
,即
当直线与轴重合时，
解得所以存在定点，的坐标为.
例8.（2019·全国高考真题）已知曲线，为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为.
（1）证明：直线过定点：
（2）若以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求该圆的方程.
【答案】(1)见详解；(2) 或.
【解析】
(1)证明：设,,则.又因为，所以.则切线DA的斜率为，故，整理得.设，同理得.,都满足直线方程.于是直线过点，而两个不同的点确定一条直线，所以直线方程为.即，当时等式恒成立.所以直线恒过定点.
(2)由(1)得直线方程为，和抛物线方程联立得：
化简得.于,设为线段的中点，则由于，而,与向量平行，所以，解得或.
当时，，所求圆的方程为;
当时，或，所求圆的方程为.
所以圆的方程为或.
例9．（2019·全国高考真题）已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│ =4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切．
（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径．
（2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│－│MP│为定值？并说明理由．
【答案】（1）或；（2）见解析.
【解析】（1）在直线上,设，则,又,，解得：,过点，,圆心必在直线上,设，圆的半径为
与相切,,又，即
，解得：或,当时，；当时，的半径为：或
（2）存在定点，使得,说明如下：
，关于原点对称且
直线必为过原点的直线，且
①当直线斜率存在时，设方程为：,则的圆心必在直线上
设，的半径为,与相切,
又，整理可得：,即点轨迹方程为：，准线方程为：，焦点
，即抛物线上点到的距离, ,
当与重合，即点坐标为时，
②当直线斜率不存在时，则直线方程为：,在轴上，设
，解得：，即若，则
综上所述，存在定点，使得为定值.
例10.（2019·全国高考真题（理））已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.
（1）证明：直线AB过定点：
（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.
【答案】(1)见详解；(2) 3或.
【解析】(1)证明：设,,则.又因为，所以.则切线DA的斜率为，故，整理得.设，同理得.,都满足直线方程.于是直线过点，而两个不同的点确定一条直线，所以直线方程为.即，
当时等式恒成立.所以直线恒过定点.
（2）由（1）得直线的方程为.由，可得，
于是
.设分别为点到直线的距离，则.因此，四边形ADBE的面积.设M为线段AB的中点，则，
由于，而，与向量平行，所以，解得或.当时，；当时
因此，四边形的面积为3或.
【压轴训练】
1．（2021·上海高三专题练习）已知，是双曲线的焦点，是过焦点的弦，且的倾斜角为，那么的值为( )
A．16 B．12 C．8 D．随变化而变化
【答案】A
【详解】由双曲线方程知，，双曲线的渐近线方程为,直线的倾斜角为，所以，又直线过焦点，如图,所以直线与双曲线的交点都在左支上.由双曲线的定义得，…………(1)，
…………(2),由(1)+(2)得，.
2．（2021·安徽高三一模）已知F1､F2为双曲线=1(a>0，b>0)的左､右焦点，过F2作倾斜角为60°的直线l交双曲线右支于A，B两点(A在x轴上方)，则的内切圆半径r1与的内切圆半径r2之比为___________.
【答案】
【详解】由内切圆的性质可知，的内切圆和的内切圆都与轴相切于双曲线的右顶点，可知三点共线.连接交于点，如图：
直线l的倾斜角为60°，所以，，在与中，
则，则为
3．（2020·全国高三其他模拟）已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线相交于、两点，若以线段为直径的圆过定点，则______．
【答案】3
【详解】点的坐标为，双曲线的方程可化为，
①当直线的斜率不存在时，点、的坐标分别为、，此时以线段为直径的圆的方程为；
②当直线的斜率存在时，设点、的坐标分别为，，记双曲线的左顶点的坐标为，直线的方程为，联立方程，消去后整理为，,
即时，有，
，
，，
．故以线段为直径的圆过定点，．
4．（2020·仙居县文元横溪中学高三）已知双曲线，点，在双曲线上任取两点、满足，则直线恒过定点__________；
【答案】
【详解】设的方程为,则由.
设,则是该方程的两根,∴,.
又,,故,∴,
又,,∴,
代入,得：
整理得：,∴,
∴或.当时,过与题意不符,故舍去。当时,过定点.
5．（2020·哈尔滨市第一中学校高三）已知抛物线，过定点作一弦，则______．
【答案】
【详解】直线的斜率不存在时，的方程为，代入，解得，，从而．直线的斜率存在时，设的方程为，代入中，消去得，
设，，则，，则有
，从而
．
综上，．
6．（2021·四川高三月考）已知点的坐标为，点的坐标为，点满足，记点的轨迹为．
（1）证明为定值，并写曲线的方程；
（2）设直线与曲线交于，两点，在轴上是否存在定点，使得对任意实数，直线，的斜率乘积为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见解析；；（2）存在，定点或者.
【详解】因为，两边平方得．
而，且，从而，
即，所以，从而的轨迹方程为．
设存在点满足条件，记，．由消去，
得．显然其判别式，所以，，
于是
．上式为定值，当且仅当，解得或．此时，或．从而，存在定点或者满足条件．
7．（2021·江苏盐城市·高三一模）设F为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆C交于两点.
（1）若点B为椭圆C的上顶点，求直线的方程；
（2）设直线的斜率分别为，，求证：为定值.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【详解】（1）若B为椭圆的上顶点，则.又过点，故直线
由可得，解得即点，又，故直线.
（2）设，
方法一：
设直线，代入椭圆方程可得：.
所以.故
.又均不为0，故，即为定值
方法二：
设直线，代入椭圆方程可得：.
所以.所以，即，
所以，
即为定值.
方法三：
设直线，代入椭圆方程可得：.
所以，所以.
所以，
把代入得.
方法四：
设直线，代入椭圆的方程可得，
则.
所以.
因为，
代入得.
8．（2021·河南高三月考）已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程，并说明曲线是什么样的曲线；
（2）设，是曲线上的两个动点，直线与交于点，.
①求证：点在定直线上；
②求证：直线与直线的斜率之积为定值.
【答案】（1），曲线为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含，两点；（2）①证明见解析；②证明见解析.
【详解】
（1）解：由题意，得，化简，得，
所以曲线为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含，两点.
（2）证明：①由题设知，直线，的斜率存在且均不为0.设直线的方程为，由，可知直线的斜率为，方程为.
由得，解得，则，即.
直线的斜率为，则直线的方程为，将代入，解得，故点在直线上.
②由（1），得，，
所以.
结合，得为定值.即直线与直线的斜率之积为定值.
9．（2021·山东威海市·高三期末）已知椭圆的离心率为分别是它的左、右顶点，是它的右焦点，过点作直线与交于(异于)两点，当轴时，的面积为.
（1）求的标准方程;
（2）设直线与直线交于点，求证:点在定直线上.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【详解】（1）由题意知，所以，又，所以
当轴时，的面积为，所以,解得
所以，所以椭圆的标准方程为.
（2）由（1）知，设直线的方程为，
与椭圆联立，得.显然恒成立.
设，所以有
直线的方程为，直线的方程为，
联立两方程可得，所以
,由式可得，
代入上式可得，解得
故点在定直线上.
10．（2021·山东淄博市·高三一模）已知，是椭圆：长轴的两个端点，点在椭圆上，直线，的斜率之积等于.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设，直线方程为，若过点的直线与椭圆相交于，两点，直线，与的交点分别为，，线段的中点为.判断是否存在正数使直线的斜率为定值，并说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，理由见解析.
【详解】（1）由已知：，，因为在椭圆上，直线，的斜率之积等于，所以，解得：，
又，所以，所以椭圆的标准方程为，
（2）设，为过点的直线与椭圆的交点，
①当经过点的直线斜率不存在时，此时，为椭圆长轴端点，不妨设，，因为，，三点共线，坐标为，同理坐标为，此时线段的中点为，所以，
②当该直线的斜率存在时，设该直线的方程是，联立方程得：，
消元并化简得：，所以，，
设，，因为，，三点共线，即，
所以，由已知得，点不在直线上，且，所以，同理可得，
所以，
,将，代入上式并化简得：，所以的坐标为，
当时，直线的斜率，因为与的取值无关，所以，即，此时.
综合①②可知：存在使得直线的斜率为定值.
11.已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，原点到过点的直线距离是
（1）求椭圆的方程
（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，过作的垂线与直线交于点，求证：点在定直线上，并求出定直线的方程
【答案】（1）；（2）在这条定直线上.
【解析】（1）抛物线的焦点坐标为
直线的方程为：
椭圆方程为
（2）因为直线与椭圆相切
联立直线与椭圆方程：
即
切点坐标
即
的方程为
联立方程：
解得
在这条定直线上
12．（2019·北京高考真题（理））已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；
（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
【答案】(Ⅰ) ，；(Ⅱ)见解析.
【解析】
(Ⅰ)将点代入抛物线方程：可得：，
故抛物线方程为：，其准线方程为：.
(Ⅱ)很明显直线的斜率存在，焦点坐标为，
设直线方程为，与抛物线方程联立可得：.
故：.
设，则，
直线的方程为，与联立可得：，同理可得，
易知以AB为直径的圆的圆心坐标为：，圆的半径为：，
且：，，
则圆的方程为：，
令整理可得：，解得：，
即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.
13．（2020湖北高考模拟）已知动点到直线的距离比到定点的距离多1.
（1）求动点的轨迹的方程
（2）若为（1）中曲线上一点，过点作直线的垂线，垂足为，过坐标原点的直线交曲线于另外一点，证明直线过定点，并求出定点坐标.
【答案】（1）（2）证明见解析，定点坐标为
【解析】（1）设点，则.
当时，，即，整理得.
当时，，即，
整理得，由知，矛盾，舍去.∴所求轨迹方程为.
（2）设，，，则.
由、、三点共线知，即.
所以.①由得，
所以②,由①②得，即，此表达式对任意恒成立，
∴.即直线过定点，定点坐标为.
14．（2020·贵州高三开学考试）已知椭圆的中心在原点，一个焦点为，且经过点.
（1）求的方程；
（2）设与轴的正半轴交于点，直线：与交于、两点（不经过点），且.证明：直线经过定点，并求出该定点的坐标.
【答案】（1）；（2）直线经过定点.
【解析】（1）由题意，设椭圆：，焦距为，则，椭圆的另一个焦点为，由椭圆定义得，，，所以的方程.
（2）由已知得，由得，
当时，，，则，，
，，
由得，即，
所以，，解得或，
①当时，直线经过点，舍去；
②当时，显然有，直线经过定点.
15．（2020·江西高三月考）在平面直角坐标系中，已知，动点满足
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点的直线与交于两点，记直线的斜率分别为，求证：为定值.
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】设，则由知化简得，即动点的轨迹方程为；
设过点的直线为： ，由得，
,将代入得,故为定值.
专题13 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题
【压轴综述】
纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线的考查，一般设置一大一小两道题目，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆、双曲线、抛物线的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查圆锥曲线的标准方程，结合基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查圆锥曲线的几何性质，小题较多地考查椭圆、双曲线的几何性质；四是考查直线与椭圆、抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式、范围、最值、定值、定点、定直线、存在性和探索性问题等.
本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明求解定点、定值、定直线问题.
一、定点问题
1.求解(或证明)直线和曲线过定点的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量x，y视作常数，把方程一边化为零，既然是过定点，那么这个方程就是对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．
2.常用方法：一是引进参数法，引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点；二是特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
二、定值问题
1.解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．常见定值问题的处理方法：
（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示
（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数.
2. 定值问题的处理技巧：
（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向.
（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢
（3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算
三、定直线问题
定直线问题是证明动点在 定直线上，其实质是求动点的轨迹方程，所以所用的方法即为 求轨迹方程的方法，如定义法、消参法、交轨法等．
【压轴典例】
1．（2021·上海高三专题练习）若AB是过椭圆中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM､BM与两坐标轴均不平行，kAM､kBM分别表示直线AM､BM的斜率，则kAM·kBM=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设，，，，则，，则,，在椭圆上，，，两式相减得，即，所以，所以，
即.
2．（2020·江苏镇江市·高三期中）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用.直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“勾2+股2=弦2”，设直线交抛物线于，两点，若，恰好是 的“勾”“股”（为坐标原点），则此直线恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设直线的方程为，，，由 得，由根与系数的关系可得：，，若，恰好是 的“勾”“股”（为坐标原点），可得，所以，即，所以，，
所以，即，解得或（舍）所以直线的方程为，恒过点，
3．（2020·全国高三专题练习）已知为坐标原点，过点作两条直线分别与抛物线：相切于点、，的中点为，则下列结论错误的是（ ）
A．直线过定点；
B．的斜率不存在；
C．轴上存在一点，使得直线与直线关于轴对称；
D．、两点到抛物线准线的距离的倒数和为定值.
【答案】A
【详解】设，，∵，∴，∴过点的切线方程为，即，∴，同理过点的切线方程为，将分别代入上式，得，，∴直线的方程为，∴直线过定点，故A选项错误，符合题意；
联立方程得：，，则，，∴点的横坐标为，∴轴，故B选项正确，不符合题意；设，由题意得，，设直线、的斜率分别为、，
则，当时，，即直线与直线关于轴对称，C选项正确，不符合题意；∵点到准线的距离为，点到准线的距离为，
∴，D选项正确，不符合题意.
4.(2020·全国卷Ⅰ高考文科·T21)已知A,B分别为椭圆E:+y2=1(a>1)的左、右顶点,G为E的上顶点,·=8,P为直线x=6上的动点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.
(1)求E的方程;(2)证明:直线CD过定点.
【解析】(1)依据题意作图如图所示:
由题设得A(-a,0),B(a,0),G(0,1).则=(a,1),=(a,-1).由·=8得a2-1=8,即a=3.所以E的方程为+y2=1.
(2)设P,则直线AP的方程为:y=,即:y=,联立直线AP的方程与椭圆方程可得:整理得:x2+6x+9-81=0,解得:x=-3或x=,
将x=代入直线y=可得:y=,所以点C的坐标为.
同理可得:点D的坐标为,
所以直线CD的方程为:y-=,
整理可得:y+==,
整理得:y=x+=故直线CD过定点.
5.(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且过点A(2,1).
(1)求C的方程;
(2)点M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D为垂足.证明:存在定点Q,使得|DQ|为定值.
【解析】(1)由题意得+=1,=,解得a2=6,b2=3.所以C的方程为+=1.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).若直线MN与x轴不垂直,设直线MN的方程为y=kx+m,代入+=1得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0.于是x1+x2=-,x1x2=.①,由AM⊥AN知·=0,
故(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=0,可得(k2+1)x1x2+(km-k-2)(x1+x2)+(m-1)2+4=0.将①代入上式可得(k2+1)-(km-k-2)+(m-1)2+4=0.整理得(2k+3m+1)(2k+m-1)=0.因为A(2,1)不在直线MN上,所以2k+m-1≠0,故2k+3m+1=0,k≠1(A(2,1)不在直线MN上).于是MN的方程为y=k-(k≠1).所以直线MN过点P.若直线MN与x轴垂直,可得N(x1,-y1).由·=0得(x1-2)(x1-2)+(y1-1)(-y1-1)=0.又+=1,可得3-8x1+4=0.解得x1=2(舍去),x1=.此时直线MN过点P.令Q为AP的中点,即Q.若D与P不重合,则由题设知AP是Rt△ADP的斜边,
故|DQ|=|AP|=.若D与P重合,则|DQ|=|AP|.综上,存在点Q,使得|DQ|为定值.
6.(2020·北京高考·T20)已知椭圆C:+=1过A(-2,-1),且a=2b.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点B(-4,0)作直线l与C交于M,N,MA与NA与x=-4交于P,Q,求.
【解析】(1)由已知得,+=1,a=2b,所以a2=8,b2=2,所以椭圆C的方程为+=1.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),显然MN斜率存在,设为k,则MN:y=k(x+4),
由得(1+4k2)x2+32k2x+64k2-8=0,所以x1+x2=-,x1x2=,*
AM方程为y+1=(x+2),又y1=k(x1+4),令x=-4得,yP=-,同理,yQ=-,所以===,结合*知,x1x2+2(x1+x2)+8==-(x1+x2),
所以===1,与M,N顺序无关,所以=1.
7．（2021·河南新乡市·高三一模）已知动点到点的距离与到直线的距离之比为.
（1）求动点的轨迹的标准方程；
（2）过点的直线交于，两点，已知点，直线，分别交轴于点，.试问在轴上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，点.
【详解】（1）设点，则，化简得
故动点的轨迹的标准方程为
（2）设直线的方程为,联立方程组，得，
得: 或
，.设，定点存在，其坐标为
.
则,令，求出与轴的交点
即有:
即,
,即
当直线与轴重合时，
解得所以存在定点，的坐标为.
例8.（2019·全国高考真题）已知曲线，为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为.
（1）证明：直线过定点：
（2）若以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求该圆的方程.
【答案】(1)见详解；(2) 或.
【解析】
(1)证明：设,,则.又因为，所以.则切线DA的斜率为，故，整理得.设，同理得.,都满足直线方程.于是直线过点，而两个不同的点确定一条直线，所以直线方程为.即，当时等式恒成立.所以直线恒过定点.
(2)由(1)得直线方程为，和抛物线方程联立得：
化简得.于,设为线段的中点，则由于，而,与向量平行，所以，解得或.
当时，，所求圆的方程为;
当时，或，所求圆的方程为.
所以圆的方程为或.
例9．（2019·全国高考真题）已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│ =4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切．
（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径．
（2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│－│MP│为定值？并说明理由．
【答案】（1）或；（2）见解析.
【解析】（1）在直线上,设，则,又,，解得：,过点，,圆心必在直线上,设，圆的半径为
与相切,,又，即
，解得：或,当时，；当时，的半径为：或
（2）存在定点，使得,说明如下：
，关于原点对称且
直线必为过原点的直线，且
①当直线斜率存在时，设方程为：,则的圆心必在直线上
设，的半径为,与相切,
又，整理可得：,即点轨迹方程为：，准线方程为：，焦点
，即抛物线上点到的距离, ,
当与重合，即点坐标为时，
②当直线斜率不存在时，则直线方程为：,在轴上，设
，解得：，即若，则
综上所述，存在定点，使得为定值.
例10.（2019·全国高考真题（理））已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.
（1）证明：直线AB过定点：
（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.
【答案】(1)见详解；(2) 3或.
【解析】(1)证明：设,,则.又因为，所以.则切线DA的斜率为，故，整理得.设，同理得.,都满足直线方程.于是直线过点，而两个不同的点确定一条直线，所以直线方程为.即，
当时等式恒成立.所以直线恒过定点.
（2）由（1）得直线的方程为.由，可得，
于是
.设分别为点到直线的距离，则.因此，四边形ADBE的面积.设M为线段AB的中点，则，
由于，而，与向量平行，所以，解得或.当时，；当时
因此，四边形的面积为3或.
【压轴训练】
1．（2021·上海高三专题练习）已知，是双曲线的焦点，是过焦点的弦，且的倾斜角为，那么的值为( )
A．16 B．12 C．8 D．随变化而变化
【答案】A
【详解】由双曲线方程知，，双曲线的渐近线方程为,直线的倾斜角为，所以，又直线过焦点，如图,所以直线与双曲线的交点都在左支上.由双曲线的定义得，…………(1)，
…………(2),由(1)+(2)得，.
2．（2021·安徽高三一模）已知F1､F2为双曲线=1(a>0，b>0)的左､右焦点，过F2作倾斜角为60°的直线l交双曲线右支于A，B两点(A在x轴上方)，则的内切圆半径r1与的内切圆半径r2之比为___________.
【答案】
【详解】由内切圆的性质可知，的内切圆和的内切圆都与轴相切于双曲线的右顶点，可知三点共线.连接交于点，如图：
直线l的倾斜角为60°，所以，，在与中，
则，则为
3．（2020·全国高三其他模拟）已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线相交于、两点，若以线段为直径的圆过定点，则______．
【答案】3
【详解】点的坐标为，双曲线的方程可化为，
①当直线的斜率不存在时，点、的坐标分别为、，此时以线段为直径的圆的方程为；
②当直线的斜率存在时，设点、的坐标分别为，，记双曲线的左顶点的坐标为，直线的方程为，联立方程，消去后整理为，,
即时，有，
，
，，
．故以线段为直径的圆过定点，．
4．（2020·仙居县文元横溪中学高三）已知双曲线，点，在双曲线上任取两点、满足，则直线恒过定点__________；
【答案】
【详解】设的方程为,则由.
设,则是该方程的两根,∴,.
又,,故,∴,
又,,∴,
代入,得：
整理得：,∴,
∴或.当时,过与题意不符,故舍去。当时,过定点.
5．（2020·哈尔滨市第一中学校高三）已知抛物线，过定点作一弦，则______．
【答案】
【详解】直线的斜率不存在时，的方程为，代入，解得，，从而．直线的斜率存在时，设的方程为，代入中，消去得，
设，，则，，则有
，从而
．
综上，．
6．（2021·四川高三月考）已知点的坐标为，点的坐标为，点满足，记点的轨迹为．
（1）证明为定值，并写曲线的方程；
（2）设直线与曲线交于，两点，在轴上是否存在定点，使得对任意实数，直线，的斜率乘积为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见解析；；（2）存在，定点或者.
【详解】因为，两边平方得．
而，且，从而，
即，所以，从而的轨迹方程为．
设存在点满足条件，记，．由消去，
得．显然其判别式，所以，，
于是
．上式为定值，当且仅当，解得或．此时，或．从而，存在定点或者满足条件．
7．（2021·江苏盐城市·高三一模）设F为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆C交于两点.
（1）若点B为椭圆C的上顶点，求直线的方程；
（2）设直线的斜率分别为，，求证：为定值.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【详解】（1）若B为椭圆的上顶点，则.又过点，故直线
由可得，解得即点，又，故直线.
（2）设，
方法一：
设直线，代入椭圆方程可得：.
所以.故
.又均不为0，故，即为定值
方法二：
设直线，代入椭圆方程可得：.
所以.所以，即，
所以，
即为定值.
方法三：
设直线，代入椭圆方程可得：.
所以，所以.
所以，
把代入得.
方法四：
设直线，代入椭圆的方程可得，
则.
所以.
因为，
代入得.
8．（2021·河南高三月考）已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程，并说明曲线是什么样的曲线；
（2）设，是曲线上的两个动点，直线与交于点，.
①求证：点在定直线上；
②求证：直线与直线的斜率之积为定值.
【答案】（1），曲线为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含，两点；（2）①证明见解析；②证明见解析.
【详解】
（1）解：由题意，得，化简，得，
所以曲线为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含，两点.
（2）证明：①由题设知，直线，的斜率存在且均不为0.设直线的方程为，由，可知直线的斜率为，方程为.
由得，解得，则，即.
直线的斜率为，则直线的方程为，将代入，解得，故点在直线上.
②由（1），得，，
所以.
结合，得为定值.即直线与直线的斜率之积为定值.
9．（2021·山东威海市·高三期末）已知椭圆的离心率为分别是它的左、右顶点，是它的右焦点，过点作直线与交于(异于)两点，当轴时，的面积为.
（1）求的标准方程;
（2）设直线与直线交于点，求证:点在定直线上.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【详解】（1）由题意知，所以，又，所以
当轴时，的面积为，所以,解得
所以，所以椭圆的标准方程为.
（2）由（1）知，设直线的方程为，
与椭圆联立，得.显然恒成立.
设，所以有
直线的方程为，直线的方程为，
联立两方程可得，所以
,由式可得，
代入上式可得，解得
故点在定直线上.
10．（2021·山东淄博市·高三一模）已知，是椭圆：长轴的两个端点，点在椭圆上，直线，的斜率之积等于.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设，直线方程为，若过点的直线与椭圆相交于，两点，直线，与的交点分别为，，线段的中点为.判断是否存在正数使直线的斜率为定值，并说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，理由见解析.
【详解】（1）由已知：，，因为在椭圆上，直线，的斜率之积等于，所以，解得：，
又，所以，所以椭圆的标准方程为，
（2）设，为过点的直线与椭圆的交点，
①当经过点的直线斜率不存在时，此时，为椭圆长轴端点，不妨设，，因为，，三点共线，坐标为，同理坐标为，此时线段的中点为，所以，
②当该直线的斜率存在时，设该直线的方程是，联立方程得：，
消元并化简得：，所以，，
设，，因为，，三点共线，即，
所以，由已知得，点不在直线上，且，所以，同理可得，
所以，
,将，代入上式并化简得：，所以的坐标为，
当时，直线的斜率，因为与的取值无关，所以，即，此时.
综合①②可知：存在使得直线的斜率为定值.
11.已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，原点到过点的直线距离是
（1）求椭圆的方程
（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，过作的垂线与直线交于点，求证：点在定直线上，并求出定直线的方程
【答案】（1）；（2）在这条定直线上.
【解析】（1）抛物线的焦点坐标为
直线的方程为：
椭圆方程为
（2）因为直线与椭圆相切
联立直线与椭圆方程：
即
切点坐标
即
的方程为
联立方程：
解得
在这条定直线上
12．（2019·北京高考真题（理））已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；
（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
【答案】(Ⅰ) ，；(Ⅱ)见解析.
【解析】
(Ⅰ)将点代入抛物线方程：可得：，
故抛物线方程为：，其准线方程为：.
(Ⅱ)很明显直线的斜率存在，焦点坐标为，
设直线方程为，与抛物线方程联立可得：.
故：.
设，则，
直线的方程为，与联立可得：，同理可得，
易知以AB为直径的圆的圆心坐标为：，圆的半径为：，
且：，，
则圆的方程为：，
令整理可得：，解得：，
即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.
13．（2020湖北高考模拟）已知动点到直线的距离比到定点的距离多1.
（1）求动点的轨迹的方程
（2）若为（1）中曲线上一点，过点作直线的垂线，垂足为，过坐标原点的直线交曲线于另外一点，证明直线过定点，并求出定点坐标.
【答案】（1）（2）证明见解析，定点坐标为
【解析】（1）设点，则.
当时，，即，整理得.
当时，，即，
整理得，由知，矛盾，舍去.∴所求轨迹方程为.
（2）设，，，则.
由、、三点共线知，即.
所以.①由得，
所以②,由①②得，即，此表达式对任意恒成立，
∴.即直线过定点，定点坐标为.
14．（2020·贵州高三开学考试）已知椭圆的中心在原点，一个焦点为，且经过点.
（1）求的方程；
（2）设与轴的正半轴交于点，直线：与交于、两点（不经过点），且.证明：直线经过定点，并求出该定点的坐标.
【答案】（1）；（2）直线经过定点.
【解析】（1）由题意，设椭圆：，焦距为，则，椭圆的另一个焦点为，由椭圆定义得，，，所以的方程.
（2）由已知得，由得，
当时，，，则，，
，，
由得，即，
所以，，解得或，
①当时，直线经过点，舍去；
②当时，显然有，直线经过定点.
15．（2020·江西高三月考）在平面直角坐标系中，已知，动点满足
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点的直线与交于两点，记直线的斜率分别为，求证：为定值.
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】设，则由知化简得，即动点的轨迹方程为；
设过点的直线为： ，由得，
,将代入得,故为定值.
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