（全国通用）2022年中考数学命题点及重难题型分类突破练 第九讲 二次函数的图象与性质（原卷版+解析版）

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第九讲二次函数的图象与性质
考点一、二次函数的定义
一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.
【微点拨】
如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.
考点二、二次函数的图象与性质
1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
　　①；②；③；④，
　　其中；⑤.（以上式子a≠0）
　　几种特殊的二次函数的图象特征如下：
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标

当时
开口向上
当时
开口向下
(轴)
(0，0)

(轴)
(0，)


(，0)


(，)


()
2.抛物线的三要素：
　　开口方向、对称轴、顶点.
　　(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.
　　(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.
3.抛物线中，的作用：
　　(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.
　　(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，
　 　　故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即 、异号)时，对称轴在轴右侧.
　　(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.
　 　　当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：
　 　　①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.
　　以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .
4.用待定系数法求二次函数的解析式：
　　(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.
　　(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
　　(可以看成的图象平移后所对应的函数.)
　　(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：
　 　　（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).
【微点拨】
求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．

考点三、二次函数与一元二次方程的关系
　　函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.
　　(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；
　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；
　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.
　　　 通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：





的图象




的解
方程有两个不等实数解
方程有两个相等实数解

方程没有实数解

【微点拨】
二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定.
(1) 当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；
　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；
　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.
命题点1二次函数的基本性质
类型一开口方向、对称轴及顶点的确定(含解析式转化)
1.如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝－1.则下列选项中正确的是
A．abc0 C．c－a>0 D．当x＝－n2－2(n为实数)时，y≥c
【答案】D
【解析】本题考查了二次函数的图象和性质.∵抛物线开口向上，所以a＞0，∵二次函数图象的对称轴为x＝－1，所以－＝－1，所以b＝2a>0，∵抛物线与y轴正半轴交于点C，所以c＞0，所以abc>0，A错误；∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴b2－4ac>0，∴ 4ac－b2