（全国通用）2022年中考数学命题点及重难题型分类突破练 第八讲 反比例函数（原卷版+解析版）

第八讲反比例函数

考点一、反比例函数的概念

一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数.

【微点拨】

在中，自变量的取值范围是， ()可以写成()的形式，也可以写成的形式.

考点二、反比例函数解析式的确定 

反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式.

考点三、反比例函数的图象和性质

1.反比例函数的图象

反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与轴、轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交．

【微点拨】

观察反比例函数的图象可得：和的值都不能为0，并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．

①的图象是轴对称图形，对称轴为两条直线；

②的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）；

③(k≠0)在同一坐标系中的图象关于轴对称，也关于轴对称.

    注：正比例函数与反比例函数，

当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称.

2.反比例函数的性质

（1）图象位置与反比例函数性质

 　　当时，同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小；当时，异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大.

（2）若点()在反比例函数的图象上，则点（）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称.

（3）正比例函数与反比例函数的性质比较

（4）反比例函数y＝中的意义

①过双曲线(≠0) 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为.

②过双曲线(≠0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.

考点四、应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点

　　1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题.

2．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围.

命题点1反比例函数的图象与性质

1.已知点A（1，-3）关于x轴的对称点A'在反比例函数y=的图像上，则实数k的值为（  ）

A. 3         B.             C. ﹣3           D. ﹣

2.已知点（﹣2，a）（2，b）（3，c）在函数y（k＞0）的图象上，则下列判断正确的是（　　）

A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a

3.下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是(　　)

A．y＝ B．y＝－ C．y＝ D．y＝－

4.已知反比例函数(＜0)的图象上有两点A()，B()，且，则的值是(    )．

       A．正数    B．负数    C．非负数    D．不能确定

5.如图，点A是反比例函数y（x＞0）上的一点，过点A作AC⊥y轴，垂足为点C，AC交反比例函数y的图象于点B，点P是x轴上的动点，则△PAB的面积为（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8

6.如图所示，在直角坐标系xOy中，点A、B、C为反比例函数上不同的三点，连接OA、OB、OC，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B、C分别作BE，CF⊥x轴于点E、F，OC与BE相交于点M，记△AOD、△BOM、四边形CMEF的面积分别为S1、S2、S3，则（  ）

   A．S1＝S2＋S3    B．S2＝S3   C．S3＞S2＞S1   D．S1S2＜S32

7.如图（1），⊙O的半径为2，双曲线的解析式分别为和，则阴影部分的面积为(    )

A．       B．      C．      D．  

8.如图，一次函数y1＝kx＋b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m为常数且m≠0）的图象，都经过A（－1，2），B（2，－1），结合图象，则不等式kx＋b＞的解集是（      ）．

A. x＜－1          B. －1＜x＜0         C. x＜－1或0＜x＜2         D.－1＜x＜0或x＞2

命题点2反比例函数解析式的确定

类型一直接代点型

8.如图，已知A为反比例函数（<0）的图像上一点，过点A作AB⊥轴，垂足为B.若△OAB的面积为2，则k的值为（    ）

A.2        B. -2         C. 4          D.-4 

9.正比例函数y=2x与双曲线的一个交点坐标为A（2，m）．

（1）求出点A的坐标；

（2）求反比例函数关系式．

10.已知，与成正比例，与成反比例，且当＝1时，＝7；当＝2时，＝8．

(1) 与之间的函数关系式；

(2)自变量的取值范围；

(3)当＝4时，的值．

类型二利用几何图形性质求点型

11.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数y＝（k＞0，x＞0)的图象经过矩形对角线的交点E．若点A（2，0），D（0，4），则k的值为                 （   ）

A．16                B．20                  C．32                 D．40

12，如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图像经过、两点.已知平行四边形的面积是，则点的坐标为（  ）

A. B. 

C. D.

13.如图，正方形ABCD的两个顶点B，D在反比例函数y的图象上，对角线AC，BD的交点恰好是坐标原点O，已知B（﹣1，1），则k的值是（　　）

A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣1

14.如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x－1分别交x轴、y轴于点A和点B，分别交反比例函数y1＝（k＞0，x＞0），y2＝（x＜0）的图像于点C和点D，过点C作CE⊥x轴于点E，连结OC，OD．若△COE的面积与△DOB的面积相等，则k的值是      ．

15.如图在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A,C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D(-2,3)，AD=5，若反比例函数的图像经过点B，则k的值为（    ）

 A． B．8 C．10 D．

16.如图,过原点的直线与反比例函数(k>0)的图象交于A,B两点,点A在第一象限,点C在x轴正半轴上,连接AC交反比例函数图象于点D.AE为∠BAC的平分线,过点B作AE的垂线,垂足为E,连接DE,若AC＝3DC,△ADE的面积为8,则k的值为________.

17.如图，点D是OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，BD＝，∠ADB＝135°，S△ABD＝2．若反比例函数y＝(x＞0)的图像经过A、D两点，则k的值是(　　)

A．2     B．4    C．3     D．6

类型三利用h的几何意义求解析式

18.如图，A，B是双曲线上的两个点，过点A作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为C，若△ODC的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（      ）

1.    B．2   C．4   D．8

命题点3反比例函数与一次函数结合 

类型一同一坐标系中函数图象的判断

19.若函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，则函数y＝ax＋b和y＝在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　）

20.若ab＜0，则正比例函数y＝ax与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是(    )

21.已知正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A（﹣2， 4）．下列说法正确的是（　　）

A．正比例函数y1的解析式是y1=2x 

B．两个函数图象的另一交点坐标为（4，-2） 

C．正比例函数y1与反比例函数y2都随x的增大而增大

D．当x＜﹣2或0＜x＜2时， y2＜y1

类型二反比例函数与一次函数综合题

22在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2（x＞0）的图象如图所示、则当y1＞y2时，自变量x的取值范围为（　　）

A．x＜1 B．x＞3 C．0＜x＜1 D．1＜x＜3

23.如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A和点是线段上一点，过点C作轴，垂足为D，轴，垂足为E，．若双曲线经过点C，则k的值为（    ）

A． B． C． D．

24.如图，已知反比例函数y＝（k≠0）的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象在第一象限交于A（1，3），B（3，1）两点

（1）求反比例函数和一次函数的表达式；

（2）已知点P（a，0）（a＞0），过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交一次函数y＝﹣x+b的图象于点M，交反比例函数y＝上的图象于点N．若PM＞PN，结合函数图象直接写出a的取值范围．

25.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y2=(m≠0)的图象相交于第一、三象限内的A（3，5），B（a,-3）两点，与x轴交于点C.

（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；

（2）在y轴上找一点P使PB-PC最大，求PB-PC的最大值及点P的坐标；

（3）直接写出当y1＞y2时，x的取值范围.

命题点4反比例函数与几何图形结合 

26.如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A与原点O重合，顶点B落在x轴的正半轴上，对角线AC、BD交于点M，点D、M恰好都在反比例函数y（x＞0）的图象上，则的值为（　　）

A． B． C．2 D．

27.如图，点P（m，1），点Q（﹣2，n）都在反比例函数y的图象上．过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点M，N．连接OP，OQ，PQ．若四边形OMPN的面积记作S1，△POQ的面积记作S2，则（　　）

A．S1：S2＝2：3 B．S1：S2＝1：1 C．S1：S2＝4：3 D．S1：S2＝5：3

命题点5反比例函数与一次函数及几何图形结合

28.如图，双曲线经过点P（2，1），且与直线y=kx－4（k＜0）有两个不同的交点．

（1）求m的值；

（2）求k的取值范围．

29.已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A,与x轴交于点B(5,0),若OB＝AB,且S△OAB＝.

(1)求反比例函数与一次函数的表达式;

(2)若点P为x轴上一点,△ABP是等腰三角形,求点P的坐标.

30.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图像经过点A（0，-4）、B（2，0），交反比例函数（x>0）的图像于点C（3，a），点P在反比例函数的图像上，横坐为n(0<n<3)，PQ∥y轴交直线AB于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD、QD.

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）求△DPQ面积的最大值.

31，如图，已知反比例函数y＝的图象与直线y＝ax＋b相交于点A(－2，3)，B(1，m)．

（1）求出直线y＝ax＋b的表达式；

（2）在x轴上有一点P使得△PAB的面积为18，求出点P的坐标．

命题点6反比例函数的应用

32.如图，过直线上一点作轴于点，线段交函数（）的图像于点，点为线段的中点，点关于直线的对称点的坐标为(1，3) .   

（1）求、的值；

（2）求直线与函数（）图像的交点坐标；

（3）直接写出不等式（）的解集.

33.如图，反比例函数y＝（k≠0）的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于A（1，a）、B两点，点C在第四象限，BC∥x轴．

（1）求k的值；

（2）以AB、BC为边作菱形ABCD，求D点坐标．

34.已知自变量x与因变量y1的对应关系如表呈现的规律．

（1）直接写出函数解析式及其图象与x轴和y轴的交点M，N的坐标；

（2）设反比列函数y1＝（k＞0）的图象与（1）求得的函数的图象交于A，B两点，O为坐标原点且S△AOB＝30，求反比例函数解析式；已知a≠0，点（a，y2）与（a，y1）分别在反比例函数与（1）求得的函数的图象上，直接写出y2与y1的大小关系．

35.如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），连结AB，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线BD交双曲线y═（k≠0）于D、E两点，连结CE，交x轴于点F．

（1）求双曲线y＝（k≠0）和直线DE的解析式．

（2）求△DEC的面积．