高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理学案设计

6.3.1二项式定理+6.3.2二项式系数的性质  (精讲）

一、必备知识分层透析

知识点1：知识链接

（1）

（2）

知识点2：二项式定理及相关概念

（1）二项式定理

一般地，对于每个（），的展开式中共有个，将它们合并同类项，就可以得到二项展开式：（）.这个公式叫做二项式定理.

（2）二项展开式

   公式中：，等号右边的多项式叫做的二项展开式.

（3）二项式系数与项的系数

二项展开式中各项的二项式系数为(),项的系数是指该项中除变量外的常数部分,包含符号等.

（4）二项式定理的三种常见变形

①

②

③

知识点3：二项展开式的通项

二项展开式中的()叫做二项展开式的通项,用表示,即通项为展开式的第项:.通项体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面有着广泛的应用.

知识点4：二项式系数的性质

①对称性：二项展开式中与首尾两端距离相等的两个二项式系数相等：

②增减性：当时，二项式系数递增，当时，二项式系数递减；

③最大值：当为奇数时，最中间两项二项式系数最大；当为偶数时，最中间一项的二项式系数最大.

④各二项式系数和： ；

奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等：

二、重点题型分类研究

题型1：求型的展开式

1．（2021·全国·高二课时练习）利用二项式定理展开下列各式：

（1）；（2）．

【答案】

（1）

（2）

（1）

（2）

2．（2021·全国·高二课时练习）求的展开式.

【答案】

【详解】

题型2：二项展开式的逆用

1．（2021·全国·高二课时练习）设，则可化简为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

利用和的立方公式：

易知．

故选：C

2．（2021·山东·兰陵四中高二期中）化简的结果为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

原式

，

故选：A.

3．（2021·广东肇庆·高二期末）设（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

故选：C.

4．（2021·全国·高二课时练习）求证：．

【答案】证明见解析

【详解】

证明：

.

5．（2021·全国·高二课时练习）化简：．

【答案】x5－1.

【详解】

解:原式＝ (x－1)5＋(x－1)4＋(x－1)3＋ (x－1)2＋(x－1)＋－1

＝[(x－1)＋1]5－1

＝x5－1.

题型3：二项展开式中的特定项或特定系数问题

1．（2021·全国·高二课时练习）求下列各展开式中的指定项：

（1）展开式中的第4项；

（2）展开式中的第3项．

【答案】

（1）（2）

（1）

展开式中的第4项为

（2）

展开式中的第3项

2．（2021·全国·高二课时练习）（1）求展开式中的前4项；

（2）求展开式中的第8项；

（3）求展开式中的第7项．

【答案】（1）第1项为1，第2项为，第3项为，第4项为；（2）；（3）

【详解】

（1）展开式的第1项为，

第2项为，

第3项为，

第4项为；

（2）展开式中的第8项为

（3）展开式中的第7项

3．（2021·广东·肇庆市高要区第二中学高二阶段练习）求展开式的.

（1）第6项的二项式系数；

（2）第3项的系数；

（3）常数项.

【答案】（1）126（2）9（3）

【详解】

（1）由二项式定理及展开式的通项公式可得：第6项的二项式系数为；

（2）由题意可知，，故第3项的系数为9；

（3）因为，

令，解得，

所以

即常数项为.

4．（2021·全国·高二单元测试）在二项式的展开式中，

（1）求展开式中的第四项；

（2）求展开式中的常数项；

（3）求展开式中各项的系数和.

【答案】（1）；（2）1；（3）.

【详解】

解：（1）因为二项式的展开式的通项为，

所以展开式的第四项为；

（2）二项式的展开式的通项为，由，可得常数项为1；

（3）在二项式的展开式中，令，可得展开式中各项的系数和为.

5．（2021·新疆·巴楚县第一中学高二期中（理））已知二项式的展开式中共有8项.

（1）求展开式的第4项的系数；

（2）求展开式中含的项.

【答案】（1）；（2）

【详解】

（1）二项式的展开式有项，所以，可得，

展开式的通项为，

所以展开式的第4项的系数为；

（2）展开式的通项为，

所以含的项为.

题型4：三项展开式中的特定项或特定系数问题

1．（2021·全国·高二课时练习）的展开式中常数项是（    ）

A．-252 B．-220 C．220 D．252

【答案】A

【详解】

由，

可得二项式的展开式通项为，

令，解得，

所以展开式的常数项为.

故选：A.

2．（2021·全国·高二课时练习）在的展开式中，项的系数为（　　）

A． B． C．30 D．50

【答案】B

【详解】

表示5个因式的乘积，在这5个因式中，

有2个因式都选，其余的3个因式都选1，相乘可得含的项；

或者有3个因式选，有1个因式选，1个因式选1，相乘可得含的项，

故项的系数为，

故选B．

3．（2021·河南新乡·高三阶段练习（理））展开式中的系数为___________.

【答案】60

【详解】

解：由题意可得，展开式中含的项为，

而展开式中含的项为，

所以的系数为60.

故答案为：60.

4．（2021·山西大附中高三阶段练习（理））的展开式中常数项为_________.

【答案】

【详解】

中的常数项为,

故答案为:88

5．（2021·全国·高二课时练习）在的展开式中，的系数为__________．

【答案】60

【详解】

, 而在中 ， ，，则 ，的系数为60.

题型5：几个二项式的和或积的展开式中的特定项或特定系数问题

1．（2021·广东·深圳市富源学校高二期中）的展开式中所有项的系数和与常数项分别为（    ）

A．3；260 B． C． D．

【答案】C

【详解】

解：令，则，

所以的展开式中所有项的系数和为3；

因为的展开式中含的项为，

的展开式中常数项为，

所以的展开式中常数项为，

所以的展开式中所有项的系数和与常数项分别为.

故选：C.

2．（2021·陕西安康·高二期末（理））的展开式中的系数为，则其展开式中的常数项为（　　）

A． B． C．4 D．8

【答案】A

【详解】

的展开式中项为，

因的展开式中的系数为，

则，解得．

所以的展开式中常数项为.

故选：A.

3．（2021·全国·高二课时练习）的展开式中含项的系数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

二项式的展开式的通项，

其中，，

则的展开式中含项的系数为，

故选：B.

4．（2021·四川省德阳中学校高三阶段练习（理））的展开式中的系数为（    ）

A． B． C．120 D．200

【答案】A

【详解】

展开式的通项公式为，

当时，，此时只需乘以第一个因式中的即可，得到；

当时，，此时只需乘以第一个因式中的即可，得到；

据此可得：的系数为.

故选：A.

5．（2021·全国·高二课时练习）求的展开式中，按的升幂排列的前三项．

【答案】按升幂前三项依次为，，.

【详解】

由题设，两个二项式展开式分别为、，

∴按x的升幂排列的前三项：

第一项：，

第二项：，

第三项：.

6．（2021·全国·高二课时练习）求的展开式中的常数项和含的项．

【答案】；.

【详解】

展开式的通项为，

则常数项为；

含的项为.

题型6：系数最大项问题

1．（2021·上海市建平中学高三阶段练习）在的二项展开式中，系数最大的是第（    ）项

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【详解】

在二项式的展开式中，通项公式为，

故第r+1项的系数为 ，当时，系数为正，

因为,

所以当r＝4时，系数最大的项是第5项.

故选：C

2．（2021·全国·高二专题练习）已知的展开式中常数项为45，则展开式中系数最大的是（    ）

A．第2项 B．第4项 C．第5项 D．第6项

【答案】D

【详解】

展开式的通项.令，解得，所以展开式中的常数项为，又，所以，所以即，其展开式共有11项，且正中间一项的二项式系数最大，又展开式中的二项式系数与对应项的系数相同，所以展开式中第6项的系数最大，

故选：D

3．（2021·全国·高二课时练习）在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，则展开式中二项式系数最大的项是第几项（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【详解】

二项式的展开式的通项为：，因为前三项的系数成等差数列，

所以，

即，

解得（舍去）

所以展开式中共9项，中间一项即第5项的二项式系数最大，

故选：D

4．（2021·辽宁·沈阳市第一二〇中学高二阶段练习）二项式的展开式中，二项式系数最大的项为__________．

【答案】

【详解】

解：当时，展开式中二项式系数最大的项是，

．

所以展开式中二项式系数最大的项是．

故答案为：.

5．（2021·重庆·模拟预测）设，则的展开式中第______项最大．

【答案】30

【详解】

解：设第项最大，则,

即，所以，解得，所以,

故的展开式中第30项最大．

故答案为：30.

题型7：赋值法解决系数和问题

1．（2021·北京丰台·高二期末）已知．

（1）求的值；

（2）求的值．

【答案】（1）；（2）.

【详解】

解：（1）因为，

所以令得.

（2）由二项式定理，得

因为

所以．

所以．

2．（2021·全国·高二课时练习）（1）已知.

求：①；

②；

【答案】（1）①；②；（2）①；②或.

【详解】

解：（1）令，则，

令，则.

①∴.

②∵展开式中，、、、都大于零，而、、、都小于零，

∴，

令，则.

所以.

3．（2021·全国·高二课时练习）设，求下列各式的值：

（1）；

（2）；

（3）．

【答案】

（1）

（2）

（3）

（1）

解：由，

令，可得.

（2）

解：令，可得，

所以.

（3）

解：令，可得，

令，可得，

所以

4．（2021·全国·高二课时练习）已知，求的值．

【答案】-256

【详解】

由，

令得①，

令得②，

联立①②得，，

，

所以．

5．（2021·全国·高二课时练习）设，求．

【答案】

【详解】

根据的展开式的通项公式为，

知展开式的各项系数中为负，为正；

令，

所以

．

6．（2022·全国·高三专题练习）设，求：

（1）；

（2）；

（3）．

【答案】

（1）

（2）

（3）

（1）

令得：；令得：，

.

（2）

令得：.

（3）

由（1）（2）知：，

两式作和得：，.

题型8：有关整除或求余问题

1．（2021·全国·高二课时练习）（1）求证：（）能被64整除；

（2）求除以7的余数.

【答案】（1）证明见解析；（2）5.

【详解】

（1）证明：

，

该式每一项都含因式，故能被64整除．

（2）

．

∵余数不能为负数（需转化为正数），

∴除以7的余数为5．

2．（2021·全国·高二课时练习）（1）求被100除所得的余数．

（2）用二项式定理证明：能被100整除．

【答案】（1）81；（2）证明见解析

【详解】

（1），展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数．

∵，前91项均能被100整除，后两项和为919，又余数为正，

∴可从前面的数中分离出1000，结果为，

∴被100除所得的余数为81．

（2）证明：∵

，

∴能被100整除．

3．（2021·全国·高二课时练习）已知，求证：能被整除．

【答案】证明见解析

【详解】

，

因为

显然括号内的数为正整数，故原式能被整除．

4．（2021·全国·高二单元测试）（1）求证：1＋2＋22＋…＋25n－1() 能被31整除；

（2）求除以9的余数；

（3）根据下列要求的精确度，求1.025的近似值．(精确到0.01)．

【答案】（1）证明见解析；（2）7；（3）1.10.

【详解】

（1）证明：∵

显然为整数，

∴原式能被31整除．

（2）

∵是正整数，

∴S被9除的余数为7.

（3）

题型9：利用二项式定理证明不等式

1．（2021·全国·高二课时练习）利用二项式定理证明：（，且）．

【答案】证明见解析

【详解】

证明：因为

，

所以，所以，即原不等式成立．

2．（2021·全国·高二课时练习）利用二项式定理，证明：（，）．

【答案】证明见解析

【详解】

证明：当，时，

，

所以原不等式成立．