专题12 二项式-十年高考数学（理）客观题（2012-2021）真题分项详解

专题12  二项式定理

【2020年】

1.（2020·新课标Ⅰ）的展开式中x3y3的系数为（    ）

A. 5 B. 10

C. 15 D. 20

【答案】C

【解析】展开式的通项公式为（且）

所以与展开式的乘积可表示为：

或

在中，令，可得：，该项中的系数为，

在中，令，可得：，该项中的系数为

所以的系数为

2.（2020·北京卷）在的展开式中，的系数为（    ）．

A. -5 B. 5 C. -10 D. 10

【答案】C

【解析】展开式的通项公式为：，

令可得：，则的系数为：.

3.（2020·天津卷）在的展开式中，的系数是_________．

【答案】10

【解析】因为的展开式的通项公式为，令，解得．

所以的系数为．

4.（2020·新课标Ⅲ）的展开式中常数项是__________（用数字作答）．

【答案】240

【解析】

其二项式展开通项：

当，解得

的展开式中常数项是：.

【2019年】

5．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x2 )(1+x）4的展开式中x3的系数为（   ）

A．12 B．16 C．20      D．24

【答案】A

【解析】由题意得x3的系数为，故选A．

6．【2019年高考浙江卷理数】在二项式的展开式中，常数项是__________；系数为有理数的项的个数是__________．

【答案】    5

【解析】由题意，的通项为，当时，可得常数项为；若展开式的系数为有理数，则，有共5个项．

7．【2019年高考江苏卷理数】设．已知．

（1）求n的值；

（2）设，其中，求的值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）因为，

所以，

．

因为，

所以，

解得．

（2）由（1）知，．

．

解法一：

因为，所以，

从而．

解法二：

．

因为，所以．

因此．

【2018年】

8. （2018年全国Ⅲ卷理数）的展开式中的系数为

A. 10    B. 20    C. 40    D. 80

【答案】C

【解析】由题可得

令,则，所以，故选C.

9. （2018年浙江卷）二项式的展开式的常数项是___________．

【答案】7

【解析】二项式的展开式的通项公式为,

令得，故所求的常数项为

10 （2018年天津卷）在的展开式中，的系数为____________.

【答案】

【解析】结合二项式定理的通项公式有：，

令可得：，则的系数为：.

【2017年】

11.【2017课标1，理6】展开式中的系数为

A．15    B．20    C．30    D．35

【答案】C 

【解析】因为，则展开式中含的项为，展开式中含的项为，故前系数为，选C.

12.【2017课标II，理6】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（   ）

A．12种                    B．18种               C．24种              D．36种

【答案】D

【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有种方法，然后进行全排列即可，由乘法原理，不同的安排方式共有种方法。 故选D。

13.【2017天津，理14】用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）

【答案】 1080

【解析】

14.【2017山东，理11】已知的展开式中含有项的系数是，则             .

【答案】4

【解析】由二项式定理的通项公式，令得：，解得．

【2016年】

15.【2016高考新课标2理数】如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（    ）

（A）24            （B）18             （C）12               （D）9

【答案】B

【解析】由题意，小明从街道的E处出发到F处最短路径的条数为6，再从F处到G处最短路径的条数为3，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为，故选B.

16.【2016年高考四川理数】设i为虚数单位，则的展开式中含x4的项为

（A）－15x4     （B）15x4     （C）－20i x4     （D）20i x4

【答案】A

【解析】二项式展开的通项，令，得，则展开式中含的项为，故选A.

17【2016年高考四川理数】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为

（A）24       　（B）48     　（C）60      　（D）72

【答案】D

【解析】由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5，其他位置共有种排法，所以奇数的个数为，故选D.

18.【2016高考新课标3理数】定义“规范01数列”如下：共有项，其中项为0，项

为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若，则不同的“规范01数列”共有

（     ）

（A）18个    （B）16个    （C）14个    （D）12个

【答案】C

【解析】由题意，得必有，，则具体的排法列表如下：

19.【2016年高考北京理数】在的展开式中，的系数为__________________.（用数字作答）

【答案】60.

【解析】根据二项展开的通项公式可知，的系数为。

20.【2016高考新课标1卷】的展开式中,x3的系数是         .（用数字填写答案）

【答案】10

【解析】

试题分析：的展开式的通项为(，1，2，…，5)，令得，所以的系数是.

21.【2016高考天津理数】的展开式中x2的系数为__________.(用数字作答)

【答案】－56

【解析】展开式通项为，令，，所以的．故答案为－56．

22.【2016高考山东理数】若（ax2+）5的展开式中x5的系数是—80，则实数a=_______.

【答案】－2

【解析】因为，所以由，因此

23.【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）

（1）求 的值；

（2）设m，nN*，n≥m，求证：

（m+1）+（m+2）+（m+3）+…+n+（n+1）=（m+1）.

【答案】（1）0（2）详见解析

【解析】

解：（1）

（2）当时，结论显然成立，当时

又因为

所以

因此

【2015年新课标1卷】

24、的展开式中，y²的系数为

（A）10 （B）20 （C）30（D）60

【解析】本题考查二项式公式，把x+y看做是一个整体，因此可得

只能是中的某一项，故可得系数为：，故选择C.

【2015年新课标2卷】

25．（5分）（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a=　3　．

【2015年北京卷】

26．（5分）（2015•北京）在（2+x）5的展开式中，x3的系数为　   　（用数字作答）

27．（5分）（2015•天津）在（x﹣）6的展开式中，x2的系数为-----．

【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得x2的系数．

【解答】解：（x﹣）6的展开式的通项公式为Tr+1=•（x）6﹣r•（﹣）r=（﹣）r••x6﹣2r，

令6﹣2r=2，解得r=2，∴展开式中x2的系数为×=，

故答案为：．

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．

【2014年新课标1卷】

28.的展开式中的系数为        .(用数字填写答案)

解析：，故展开式中的系数为

【2014年新课标2卷】

29． (x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝________．(用数字填写答案)

13.　[解析] 展开式中x7的系数为Ca3＝15，即a3＝，解得a＝.

【2014年全国大纲卷】

30．（5分）的展开式中x2y2的系数为　70　．（用数字作答）

【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有

【专题】5P：二项式定理．

【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x、y的幂指数都等于2，求得r的值，即可求得展开式中x2y2的系数．

【解答】解：的展开式的通项公式为 Tr+1=•（﹣1）r••=•（﹣1）r••，

令 8﹣=﹣4=2，求得 r=4，

故展开式中x2y2的系数为 =70，

故答案为：70．

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．

31．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝(　　)．

A．－4       B．－3       C．－2       D．－1

答案：D

解析：因为(1＋x)5的二项展开式的通项为(0≤r≤5，r∈Z)，则含x2的项为＋ax·＝(10＋5a)x2，所以10＋5a＝5，a＝－1.

【2013年全国新课标1卷】

32、设m为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若13=7，则＝   (    )

A、5    B、6  C、7  D、8

【命题意图】本题主要考查二项式系数最大值及组合数公式，考查方程思想，是容易题.

【解析】由题知=，=，∴13=7，即=，

解得=6，故选B.