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    专题07 平面向量-十年高考数学(理)客观题(2012-2021)真题分项详解

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    专题07 平面向量-十年高考数学(理)客观题(2012-2021)真题分项详解

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    这是一份专题07 平面向量-十年高考数学(理)客观题(2012-2021)真题分项详解,文件包含专题07平面向量解析版-十年高考数学理客观题2012-2021真题分项详解doc、专题07平面向量原卷版-十年高考数学理客观题2012-2021真题分项详解doc等2份试卷配套教学资源,其中试卷共38页, 欢迎下载使用。


    专题07 平面向量
    【2021年乙卷】安徽、河南、山西、江西、甘肃、陕西、黑龙江、吉林、宁夏、新疆、青海、内蒙古
    1. 已知向量,若,则__________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程,即可解出.
    【详解】因为,所以由可得,
    ,解得.
    故答案为:.
    【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示,设,
    ,注意与平面向量平行的坐标表示区分.


    【2021年甲卷】贵州、云南、四川、西藏、广西
    2. 已知向量.若,则________.
    【答案】.
    【解析】
    【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量的坐标,利用向量的数量积为零求得的值
    【详解】,
    ,解得,
    故答案为:.
    【点睛】本题考查平面向量的坐标运算,平面向量垂直的条件,属基础题,利用平面向量垂直的充分必要条件是其数量积.

    【2021年新课标1卷】山东、广东、河北、江苏、湖北、湖南、福建
    3. 已知为坐标原点,点,,,,则( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】AC
    【解析】
    【分析】A、B写出,、,的坐标,利用坐标公式求模,即可判断正误;C、D根据向量的坐标,应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简,即可判断正误.
    【详解】A:,,所以,,故,正确;
    B:,,所以,同理,故不一定相等,错误;
    C:由题意得:,,正确;
    D:由题意得:,
    ,故一般来说故错误;
    故选:AC




    【2020年】
    4.(2020·新课标Ⅲ)已知向量a,b满足,,,则( )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】,,,.

    因此,.


    5.(2020·山东卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则 的取值范用是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】A
    【解析】

    的模为2,根据正六边形的特征,
    可以得到在方向上的投影的取值范围是,
    结合向量数量积的定义式,
    可知等于的模与在方向上的投影的乘积,
    所以的取值范围是,


    6.(2020·北京卷)已知正方形ABCD的边长为2,点P满足,则_________;_________.
    【答案】 (1). (2).
    【解析】以点A为坐标原点,、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系,

    则点、、、,

    则点,,,
    因此,,.


    7.(2020·天津卷)如图,在四边形中,,,且,则实数的值为_________,若是线段上的动点,且,则的最小值为_________.

    【答案】 (1). (2).
    【解析】
    ,,,


    解得,
    以点为坐标原点,所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系,

    ,
    ∵,∴的坐标为,
    ∵又∵,则,设,则(其中),
    ,,

    所以,当时,取得最小值.


    8.(2020·浙江卷)设,为单位向量,满足,,,设,的夹角为,则的最小值为_______.
    【答案】
    【解析】,



    .


    9.(2020·江苏卷)在△ABC中,D在边BC上,延长AD到P,使得AP=9,若(m为常数),则CD的长度是________.

    【答案】
    【解析】∵三点共线,
    ∴可设,
    ∵,
    ∴,即,
    若且,则三点共线,
    ∴,即,
    ∵,∴,
    ∵,,,
    ∴,
    设,,则,.
    ∴根据余弦定理可得,,
    ∵,
    ∴,解得,
    ∴的长度为.
    当时, ,重合,此时的长度为,
    当时,,重合,此时,不合题意,舍去.


    10.(2020·新课标Ⅱ)已知单位向量a,b的夹角为45°,ka–b与a垂直,则k=__________.
    【答案】
    【解析】由题意可得:,
    由向量垂直的充分必要条件可得:,
    即:,解得:.


    11.(2020·新课标Ⅰ)设为单位向量,且,则______________.
    【答案】
    【解析】因为为单位向量,所以
    所以
    解得:
    所以


    【2019年】
    12.【2019年高考全国I卷理数】已知非零向量a,b满足,且b,则a与b的夹角为
    A. B.
    C. D.
    【答案】B
    【解析】因为b,所以=0,所以,所以=,所以a与b的夹角为,故选B.


    13.【2019年高考全国II卷理数】已知=(2,3),=(3,t),=1,则· =
    A.−3 B.−2
    C.2 D.3
    【答案】C
    【解析】由=—=(1,t-3),,得,则,.故选C.


    14.【2019年高考北京卷理数】设点A,B,C不共线,则“与的夹角为锐角”是“”的
    A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
    C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
    【答案】C
    【解析】与的夹角为锐角,所以,即
    ,因为,所以|+|>||;
    当|+|>||成立时,|+|2>|-|2•>0,又因为点A,B,C不共线,所以与的夹角为锐角.故“与的夹角为锐角”是“|+|>||”的充分必要条件,故选C.


    15.【2019年高考全国III卷理数】已知a,b为单位向量,且a·b=0,若,则___________.
    【答案】
    【解析】因为,,
    所以,
    ,所以,
    所以 .


    16.【2019年高考天津卷理数】在四边形中,,点在线段的延长线上,且,则_____________.
    【答案】
    【解析】建立如图所示的直角坐标系,∠DAB=30°,则,.
    因为∥,,所以,
    因为,所以,
    所以直线的斜率为,其方程为,
    直线的斜率为,其方程为.
    由得,,
    所以.
    所以.



    17.【2019年高考江苏卷】如图,在中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点.若,则的值是_____.

    【答案】.
    【解析】如图,过点D作DF//CE,交AB于点F,由BE=2EA,D为BC的中点,知BF=FE=EA,AO=OD.




    得即故


    【2018年】
    18.【2018·全国I卷 】在中,为边上的中线,为的中点,则
    A. B.
    C. D.
    【答案】A
    【解析】根据向量的运算法则,可得
    ,所以.
    故选A.



    19.【2018·全国II卷 】已知向量,满足,,则
    A.4 B.3
    C.2 D.0
    【答案】B
    【解析】因为所以选B.


    20.(2018·浙江卷)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为,向量b满足b2−4e·b+3=0,则|a−b|的最小值是
    A.−1 B.+1
    C.2 D.2−
    【答案】A
    【解析】设,则由得,
    由b2−4e·b+3=0得因此|a−b|的最小值为圆心到直线的距离减去半径1,为选A.


    21.【2018·天津卷 】如图,在平面四边形ABCD中,若点E为边CD上的动点,则的最小值为

    A. B.
    C. D.
    【答案】A
    【解析】连接AD,取AD中点为O,可知为等腰三角形,而,所以为等边三角形,.


    =
    所以当时,上式取最大值,故选A.


    22.【2018·北京卷 】设a,b均为单位向量,则“”是“a⊥b”的
    A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
    C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
    【答案】C
    【解析】,因为a,b均为单位向量,所以 a⊥b,即“”是“a⊥b”的充分必要条件.故选C.


    23.【2018·全国III卷 】已知向量,,.若,则___________.
    【答案】
    【解析】由题可得,,,,即,故答案为.


    24.【2018·上海卷】在平面直角坐标系中,已知点、,、是轴上的两个动点,且,则的最小值为___________.
    【答案】-3
    【解析】根据题意,设E(0,a),F(0,b);
    ∴;
    ∴a=b+2,或b=a+2;
    且;
    ∴;
    当a=b+2时,;
    ∵b2+2b﹣2的最小值为;
    ∴的最小值为﹣3,同理求出b=a+2时,的最小值为﹣3.
    故答案为:﹣3.


    25.【2018·江苏卷】在平面直角坐标系中,为直线上在第一象限内的点,,以为直径的圆与直线交于另一点.若,则点的横坐标为___________.
    【答案】3
    【解析】设,则由圆心为中点得易得,与联立解得点的横坐标所以.所以,
    由得或,
    因为,所以


    【2017年】
    26.【2017·全国III卷 】在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若,则的最大值为
    A.3 B.2
    C. D.2
    【答案】A
    【解析】如图所示,建立平面直角坐标系.

    设,
    易得圆的半径,即圆C的方程是,
    ,若满足,
    则 ,,所以,
    设,即,点在圆上,
    所以圆心到直线的距离,即,解得,
    所以的最大值是3,即的最大值是3,故选A.


    27.【2017·全国II卷 】已知是边长为2的等边三角形,为平面内一点,则的最小值是
    A. B.
    C. D.
    【答案】B
    【解析】如图,以为轴,的垂直平分线为轴,为坐标原点建立平面直角坐标系,

    则,,,设,所以,,,所以,,当时,所求的最小值为,故选B.


    28.【2017·北京卷 】设m,n为非零向量,则“存在负数,使得”是“”的
    A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
    C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
    【答案】A
    【解析】若,使,则两向量反向,夹角是,那么
    ;若,那么两向量的夹角为,并不一定反向,即不一定存在负数,使得,所以是充分而不必要条件,故选A.

    29.【2017·全国I卷 】已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则| a +2b |=___________.
    【答案】
    【解析】方法一:,
    所以.
    方法二:利用如下图形,可以判断出的模长是以2为边长,一夹角为60°的菱形的对角线的长度,则为.


    30.【2017·江苏卷】如图,在同一个平面内,向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为,且=7,与的夹角为45°.若,则___________.

    【答案】3
    【解析】由可得,,根据向量的分解,
    易得,即,即,即得,
    所以.


    31.【2017·天津卷】在中,,,.若,
    ,且,则的值为___________.
    【答案】
    【解析】由题可得,
    则.


    32.【2017·山东卷 】已知是互相垂直的单位向量,若与的夹角为,则实数的值是___________.
    【答案】
    【解析】∵,


    ,解得.
    33.【2017·浙江卷】已知向量a,b满足则的最小值是________,最大值是___________.
    【答案】4,
    【解析】设向量的夹角为,则,

    则,
    令,则,
    据此可得:,
    即的最小值是4,最大值是.

    【2016年】
    34.【2016高考山东理数】已知非零向量m,n满足4│m│=3│n│,cos=.若n⊥(tm+n),则实数t的值为( )
    (A)4 (B)–4 (C) (D)–
    【答案】B
    【解析】由,可设,又,
    所以, 所以,故选B.

    35.【2016高考新课标2理数】已知向量,且,则( )
    (A)-8 (B)-6 (C)6 (D)8
    【答案】D
    【解析】向量,由得,解得,故选D.
    36.【2016高考新课标3理数】已知向量 , ,则( )
    (A) (B) (C) (D)
    【答案】A
    【解析】由题意,得,所以,故选A.


    37.【2016年高考北京理数】设,是向量,则“”是“”的( )
    A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
    C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
    【答案】D
    【解析】由,故是既不充分也不必要条件,故选D.


    38.【2016高考天津理数】已知△ABC是边长为1的等边三角形,点分别是边的中点,连接
    并延长到点,使得,则的值为( )
    (A) (B) (C) (D)
    【答案】B
    【解析】设,,∴,,
    ,∴,故选B.


    39.【2016年高考四川理数】在平面内,定点A,B,C,D满足 ==,===-2,动点P,M满足 =1,=,则的最大值是( )
    (A) (B) (C) (D)
    【答案】B
    【解析】甴已知易得.以为原点,直线为轴建立平面直角坐标系,如图所示,则设由已知,得,又
    ,它表示圆上的点与点的距离的平方的,,故选B.



    40.【2016高考新课标1卷】设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m= .
    【答案】-2
    【解析】由,得,所以,解得.


    41.【2016高考江苏卷】如图,在中,是的中点,是上的两个三等分点,, ,则 的值是 ▲ .

    【答案】
    【解析】因为,

    因此,


    42.【2016高考浙江理数】已知向量a、b, |a| =1,|b| =2,若对任意单位向量e,均有 |a·e|+|b·e| ,则a·b的最大值是 .
    【答案】
    【解析】
    ,即最大值为



    【2015年新课标1卷】
    43、设D为ABC所在平面内一点= 3,则
    (A)=+ (B)=
    (C)=+ (D)=
    【解析】本题考查平面向量,画出图形,

    可知答案为A.


    【2015年新课标2卷】
    44.(5分)设向量,不平行,向量λ+与+2平行,则实数λ=------.

    考点:
    平行向量与共线向量.菁优网版权所有
    专题:
    平面向量及应用.
    分析:
    利用向量平行即共线的条件,得到向量λ+与+2之间的关系,利用向量相等解析.
    解析:
    解:因为向量,不平行,向量λ+与+2平行,所以λ+=μ(+2),
    所以,解得;
    故答案为:.
    评析:
    本题考查了向量关系的充要条件:如果两个非0向量共线,那么存在唯一的参数λ,使得



    【2015年北京卷】
    45.在△ABC中,点M,N满足=2,=,若=x+y,则x=-------,y=-------.

    考点:
    平面向量的基本定理及其意义.菁优网版权所有
    专题:
    平面向量及应用.
    分析:
    首先利用向量的三角形法则,将所求用向量表示,然后利用平面向量基本定理得到x,y值.
    解答:
    解:由已知得到===;
    由平面向量基本定理,得到x=,y=;
    故答案为:.
    点评:
    本题考查了平面向量基本定理的运用,一个向量用一组基底表示,存在唯一的实数对(x,y)使,向量等式成立.


    (2015•天津)
    46、在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,
    ∠ABC=60°.动点E和F分别在线段BC和DC上,且=λ,=,
    则•的最小值为  .
    【分析】利用等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表示为关于λ的代数式,根据具体的形式求最值.
    【解答】解:由题意,得到AD=BC=CD=1,所以•=()•()=()•()
    ==2×1×cos60°+λ1×1×cos60°+×2×1+×1×1×cos120°
    =1++﹣≥+=(当且仅当时等号成立);
    故答案为:.
    【点评】本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用、基本不等式求最值;关键是正确表示所求,利用基本不等式求最小值.
     





    【2014年新课标1卷】
    47.已知A,B,C是圆O上的三点,若,则与的夹角为 .
    解析:,如图所示,O为中点,即为圆O的直径,所以与的夹角为


    【2014年新课标2卷】
    48. 设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b=(  )
    A.1 B.2 C.3 D.5
    A [解析] 由已知得|a+b|2=10,|a-b|2=6,两式相减,得4a·b=4,所以a·b=1.



    【2014年全国大纲卷】
    49.(5分)若向量、满足:||=1,(+)⊥,(2+)⊥,则||=(  )
    A.2 B. C.1 D.

    【考点】9O:平面向量数量积的性质及其运算.菁优网版权所有
    【专题】5A:平面向量及应用.
    【分析】由条件利用两个向量垂直的性质,可得(+)•=0,(2+)•=0,由此求得||.
    【解答】解:由题意可得,(+)•=+=1+=0,∴=﹣1;
    (2+)•=2+=﹣2+=0,∴b2=2,
    则||=,
    故选:B.
    【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质,两个向量垂直,则它们的数量积等于零,属于基础题.


    【2013年全国新课标1卷】
    50、已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b,若b·c=0,则t=_____.
    【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积,是容易题.
    【解析】=====0,解得=.




    51.(2013课标全国Ⅱ,理13)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则=__________.

    答案:2
    解析:以AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系,如图所示,则点A的坐标为(0,0),点B的坐标为(2,0),点D的坐标为(0,2),点E的坐标为(1,2),则=(1,2),=(-2,2),所以.




    【2012年全国新课标1卷】
    52、已知向量夹角为45°,且,则= .

    【分析】由已知可得,=,代入|2|====可求
    【解答】解:∵,=1
    ∴=
    ∴|2|====
    解得
    故答案为:3
    【点评】本题主要考查了向量的数量积 定义的应用,向量的数量积性质||=是求解向量的模常用的方法




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