专题12 二项式-十年高考数学（理）客观题（2012-2021）真题分项详解

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专题12  二项式定理【2020年】1.（2020·新课标Ⅰ）的展开式中x3y3的系数为（    ）A. 5 B. 10C. 15 D. 20【答案】C【解析】展开式的通项公式为（且）所以与展开式的乘积可表示为：或在中，令，可得：，该项中的系数为，在中，令，可得：，该项中的系数为所以的系数为 2.（2020·北京卷）在的展开式中，的系数为（    ）．A. -5 B. 5 C. -10 D. 10【答案】C【解析】展开式的通项公式为：，令可得：，则的系数为：. 3.（2020·天津卷）在的展开式中，的系数是_________．【答案】10【解析】因为的展开式的通项公式为，令，解得．所以的系数为． 4.（2020·新课标Ⅲ）的展开式中常数项是__________（用数字作答）．【答案】240【解析】其二项式展开通项：当，解得的展开式中常数项是：. 【2019年】5．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x2 )(1+x）4的展开式中x3的系数为（   ）A．12 B．16 C．20      D．24【答案】A【解析】由题意得x3的系数为，故选A． 6．【2019年高考浙江卷理数】在二项式的展开式中，常数项是__________；系数为有理数的项的个数是__________．【答案】    5【解析】由题意，的通项为，当时，可得常数项为；若展开式的系数为有理数，则，有共5个项．  7．【2019年高考江苏卷理数】设．已知．（1）求n的值；（2）设，其中，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因为，所以，．因为，所以，解得．（2）由（1）知，．．解法一：因为，所以，从而．解法二：．因为，所以．因此．  【2018年】8. （2018年全国Ⅲ卷理数）的展开式中的系数为A. 10    B. 20    C. 40    D. 80【答案】C【解析】由题可得令,则，所以，故选C. 9. （2018年浙江卷）二项式的展开式的常数项是___________．【答案】7【解析】二项式的展开式的通项公式为,令得，故所求的常数项为 10 （2018年天津卷）在的展开式中，的系数为____________.【答案】【解析】结合二项式定理的通项公式有：，令可得：，则的系数为：.  【2017年】11.【2017课标1，理6】展开式中的系数为A．15    B．20    C．30    D．35【答案】C 【解析】因为，则展开式中含的项为，展开式中含的项为，故前系数为，选C.  12.【2017课标II，理6】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（   ）A．12种                    B．18种               C．24种              D．36种【答案】D【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有种方法，然后进行全排列即可，由乘法原理，不同的安排方式共有种方法。 故选D。 13.【2017天津，理14】用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）【答案】 1080【解析】   14.【2017山东，理11】已知的展开式中含有项的系数是，则             .【答案】4【解析】由二项式定理的通项公式，令得：，解得． 【2016年】15.【2016高考新课标2理数】如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（    ）（A）24            （B）18             （C）12               （D）9【答案】B【解析】由题意，小明从街道的E处出发到F处最短路径的条数为6，再从F处到G处最短路径的条数为3，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为，故选B.  16.【2016年高考四川理数】设i为虚数单位，则的展开式中含x4的项为（A）－15x4     （B）15x4     （C）－20i x4     （D）20i x4【答案】A【解析】二项式展开的通项，令，得，则展开式中含的项为，故选A. 17【2016年高考四川理数】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（A）24       　（B）48     　（C）60      　（D）72【答案】D【解析】由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5，其他位置共有种排法，所以奇数的个数为，故选D.  18.【2016高考新课标3理数】定义“规范01数列”如下：共有项，其中项为0，项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若，则不同的“规范01数列”共有（     ）（A）18个    （B）16个    （C）14个    （D）12个【答案】C【解析】由题意，得必有，，则具体的排法列表如下：0000[来源:学。科。网]11[来源:学科网ZXXK]1[来源:Z_xx_k.Com][来源:学科网ZXXK]1[来源:学,科,网Z,X,X,K]101110110100111011010011010001110110100110 19.【2016年高考北京理数】在的展开式中，的系数为__________________.（用数字作答）【答案】60.【解析】根据二项展开的通项公式可知，的系数为。  20.【2016高考新课标1卷】的展开式中,x3的系数是         .（用数字填写答案）【答案】10【解析】试题分析：的展开式的通项为(，1，2，…，5)，令得，所以的系数是. 21.【2016高考天津理数】的展开式中x2的系数为__________.(用数字作答)【答案】－56【解析】展开式通项为，令，，所以的．故答案为－56．  22.【2016高考山东理数】若（ax2+）5的展开式中x5的系数是—80，则实数a=_______.【答案】－2【解析】因为，所以由，因此  23.【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）（1）求 的值；（2）设m，nN*，n≥m，求证： （m+1）+（m+2）+（m+3）+…+n+（n+1）=（m+1）.【答案】（1）0（2）详见解析【解析】解：（1）（2）当时，结论显然成立，当时又因为所以因此  【2015年新课标1卷】24、的展开式中，y²的系数为（A）10 （B）20 （C）30（D）60【解析】本题考查二项式公式，把x+y看做是一个整体，因此可得 只能是中的某一项，故可得系数为：，故选择C.     【2015年新课标2卷】25．（5分）（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a=　3　． 考点：二项式定理的应用．菁优网版权所有专题：计算题；二项式定理．分析：给展开式中的x分别赋值1，﹣1，可得两个等式，两式相减，再除以2得到答案．解析：解：设f（x）=（a+x）（1+x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，令x=1，则a0+a1+a2+…+a5=f（1）=16（a+1），①令x=﹣1，则a0﹣a1+a2﹣…﹣a5=f（﹣1）=0．②①﹣②得，2（a1+a3+a5）=16（a+1），所以2×32=16（a+1），所以a=3．故答案为：3．评析：本题考查解决展开式的系数和问题时，一般先设出展开式，再用赋值法代入特殊值，相加或相减．   【2015年北京卷】26．（5分）（2015•北京）在（2+x）5的展开式中，x3的系数为　   　（用数字作答）考点：二项式定理的应用．菁优网版权所有专题：二项式定理．分析：写出二项式定理展开式的通项公式，利用x的指数为3，求出r，然后求解所求数值．解答：解：（2+x）5的展开式的通项公式为：Tr+1=25﹣rxr，所求x3的系数为：=40．故答案为：40．点评：本题考查二项式定理的应用，二项式系数的求法，考查计算能力．   27．（5分）（2015•天津）在（x﹣）6的展开式中，x2的系数为-----．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得x2的系数．【解答】解：（x﹣）6的展开式的通项公式为Tr+1=•（x）6﹣r•（﹣）r=（﹣）r••x6﹣2r，令6﹣2r=2，解得r=2，∴展开式中x2的系数为×=，故答案为：．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．　　  【2014年新课标1卷】28.的展开式中的系数为        .(用数字填写答案)解析：，故展开式中的系数为    【2014年新课标2卷】29． (x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝________．(用数字填写答案)13.　[解析] 展开式中x7的系数为Ca3＝15，即a3＝，解得a＝.      【2014年全国大纲卷】30．（5分）的展开式中x2y2的系数为　70　．（用数字作答） 【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有【专题】5P：二项式定理．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x、y的幂指数都等于2，求得r的值，即可求得展开式中x2y2的系数．【解答】解：的展开式的通项公式为 Tr+1=•（﹣1）r••=•（﹣1）r••，令 8﹣=﹣4=2，求得 r=4，故展开式中x2y2的系数为 =70，故答案为：70．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．　    31．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝(　　)．A．－4       B．－3       C．－2       D．－1答案：D解析：因为(1＋x)5的二项展开式的通项为(0≤r≤5，r∈Z)，则含x2的项为＋ax·＝(10＋5a)x2，所以10＋5a＝5，a＝－1.   【2013年全国新课标1卷】32、设m为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若13=7，则＝   (    )A、5    B、6  C、7  D、8【命题意图】本题主要考查二项式系数最大值及组合数公式，考查方程思想，是容易题.【解析】由题知=，=，∴13=7，即=，解得=6，故选B.