专题13—三角函数的图像与性质-近8年高考真题分类汇编—2022届高三数学一轮复习

专题13—三角函数的图像与性质

考试说明：1、能画 的图像，了解三角函数

的周期性；

2、理解正弦函数、余弦函数在区间上的性质，理解

正切函数在内的单调性；

3、了解函数的物理意义；能画出的图像，了解对函数图像变化的影响；

          4、了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，

会用三角函数解决一些简单实际问题。

高频考点：1、三角函数的图像及其变换；

2、三角函数的性质；

3、三角函数的最值及值域；

4、三角函数图像与性质的综合应用。

三角函数的图象与性质是高考的必考点，多以选择题、填空题的形式考查，也常常与三角恒等变换综合以解答题形式出现或以解答题形式考查三角函数图像与性质的综合应用。

一、典例分析

1．（2021•新高考Ⅰ）下列区间中，函数单调递增的区间是　　

A． B．， C． D．，

分析：本题需要借助正弦函数单调增区间的相关知识点求解．

解答：解：令，．

则，．

当时，，，

，，

故选：．

点评：本题考查正弦函数单调性，是简单题．

2．（2021•乙卷）函数的最小正周期和最大值分别是　　

A．和 B．和2 C．和 D．和2

分析：化简函数的表达式，再利用三角函数的周期，正弦函数的最值求解即可．

解答：解：，

．

当时，函数取得最大值；

函数的周期为，最大值．

故选：．

点评：本题考查了辅助角公式、三角函数的周期性与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

3．（2020•新课标Ⅰ）设函数在，的图象大致如图，则的最小正周期为　　

A． B． C． D．

分析：由图象观察可得最小正周期小于，大于，排除，；再由，求得，对照选项，，代入计算，即可得到结论．

解答：解：由图象可得最小正周期小于，大于，排除，；

由图象可得，

即为，，

若选，即有，由，可得不为整数，排除；

若选，即有，由，可得，成立．

故选：．

点评：本题考查三角函数的图象和性质，主要是函数的周期的求法，运用排除法是迅速解题的关键，属于中档题．

4.（2019•新课标Ⅱ）下列函数中，以为最小正周期且在区间，单调递增的是　　

A． B． C． D．

分析：根据正弦函数，余弦函数的周期性及单调性依次判断，利用排除法即可求解．

解答：解：不是周期函数，可排除选项；

的周期为，可排除选项；

在处取得最大值，不可能在区间，单调递增，可排除．

故选：．

点评：本题主要考查了正弦函数，余弦函数的周期性及单调性，考查了排除法的应用，属于基础题．

5．（2019•新课标Ⅲ）设函数，已知在，有且仅有5个零点．下述四个结论：

①在有且仅有3个极大值点；

②在有且仅有2个极小值点；

③在单调递增；

④的取值范围是，．

其中所有正确结论的编号是　　

A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④

【分析】依题意作出 的图象，可判断①和②，根据在，有且仅有5个零点，可得，解出，然后判断③是否正确即可得到答案．

解答：解：依题意作出 的图象如图，其中，

显然①正确，②错误；

当，时，，，

在，有且仅有5个零点，

，

，故④正确，

因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，

下面判断③是否正确，

当时，，，

若在单调递增，

则，即，

，故③正确．

故选：．

点评：本题考查了三角函数的图象与性质，关键是数形结合的应用，属中档题．

6．（2018•新课标Ⅰ）已知函数，则　　

A．的最小正周期为，最大值为3 

B．的最小正周期为，最大值为4 

C．的最小正周期为，最大值为3 

D．的最小正周期为，最大值为4

分析：首先通过三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步利用余弦函数的性质求出结果．

解答：解：函数

，

故函数的最小正周期为，

函数的最大值为，

故选：．

点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数的性质的应用．

7．（2017•天津）设函数，，其中，．若，，且的最小正周期大于，则　　

A．， B．， 

C．， D．，

分析：由题意求得，再由周期公式求得，最后由若求得值．

解答：解：由的最小正周期大于，得，

又，，得，

，则，即．

，

由，得．

，．

取，得．

，．

故选：．

点评：本题考查由三角函数的部分图象求解析式，考查型函数的性质，是中档题．

8．（2016•新课标Ⅰ）已知函数，，为的零点，为图象的对称轴，且在，上单调，则的最大值为　　

A．11 B．9 C．7 D．5

分析：根据已知可得为正奇数，且，结合为的零点，为图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合在，上单调，可得的最大值．

解答：解：为的零点，为图象的对称轴，

，即

即即为正奇数，

在，上单调，则，

即，解得：，

当时，，，

，，

此时在，不单调，不满足题意；

当时，，，

，，

此时在，单调，满足题意；

故的最大值为9，

故选：．

点评：本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难，难度较大．

9．（2015•新课标Ⅱ）如图，长方形的边，，是的中点，点沿着边，与运动，记．将动点到，两点距离之和表示为的函数，则的图象大致为　　

A． B． 

C． D．

分析：根据函数图象关系，利用排除法进行求解即可．

解答：解：当时，，，

此时，，此时单调递增，

当在边上运动时，且时，

如图所示，，

，

，，

，

当时，，

当在边上运动时，，，

由对称性可知函数关于对称，

且，且轨迹为非线型，

排除，，，

故选：．

点评：本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件先求出时的解析式是解决本题的关键．

10．（2019•浙江）设函数，．

（Ⅰ）已知，，函数是偶函数，求的值；

（Ⅱ）求函数的值域．

分析：（1）函数是偶函数，则，根据的范围可得结果；

（2）化简函数得，然后根据的范围求值域即可．

解答：解：（1）由，得

，

为偶函数，，

，，或，

（2）

，

，，

，

函数的值域为：．

点评：本题考查了三角函数的奇偶性和三角函数的图象与性质，关键是熟练掌握三角恒等变换，属基础题．

二、真题集训

1．（2018•新课标Ⅲ）函数的最小正周期为　　

A． B． C． D．

2．（2016•浙江）设函数，则的最小正周期　　

A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关 

C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关

3．（2015•新课标Ⅰ）函数的部分图象如图所示，则的单调递减区间为　　

A．，， B．，， 

C．，， D．，，

4．（2015•安徽）已知函数，，均为正的常数）的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是　　

A．（2） B．（2） 

C．（2） D．（2）

5．（2014•全国）使函数为偶函数的最小正数　　

A． B． C． D．

6．（2014•新课标Ⅱ）设函数，若存在的极值点满足，则的取值范围是　　

A．，， B．，， 

C．，， D．，，

7．（2013•大纲版）已知函数，下列结论中不正确的是　　

A．的图象关于中心对称 

B．的图象关于对称 

C．的最大值为 

D．既是奇函数，又是周期函数

8．（2012•全国）设，函数在区间，单调增加，则的最大值为　　

A． B． C． D．

9．（2011•辽宁）已知函数，的部分图象如图，则　　

A． B． C． D．

10．（2020•上海）已知函数，．

（1）的周期是，求，并求的解集；

（2）已知，，，，求的值域．

11．（2015•山东）设．

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，，求面积的最大值．

真题集训答案

1．解：函数的最小正周期为，

故选：．

2．解：设函数，

图象的纵坐标增加了，横坐标不变，故周期与无关，

当时，的最小正周期为，

当时，，

的最小正周期为，的最小正周期为，

的最小正周期为，

故的最小正周期与有关，

故选：．

3．解：由函数的部分图象，可得函数的周期为，，．

再根据函数的图象以及五点法作图，可得，，即，．

由，求得，故的单调递减区间为，，，

故选：．

4．解：依题意得，函数的周期为，

，

．

又当时，函数取得最小值，

，，可解得：，，

．

．

（2），

，

又，而在区间，是单调递减的，

（2）．

故选：．

5．解：函数为偶函数，

，，

使函数为偶函数的最小正数．

故选：．

6．解：由题意可得，，即，，即．

再由，即，即，

即，即，故，

求得，或，

故选：．

7．解：对于，因为，

，所以，

可得的图象关于中心对称，故正确；

对于，因为，

，所以，

可得的图象关于直线对称，故正确；

对于，化简得，

令，，，

的导数

当时或，时，函数为减函数；

当，时，函数为增函数．

因此函数的最大值为时或时的函数值，

结合，可得的最大值为．

由此可得的最大值为而不是，故不正确；

对于，因为，所以是奇函数．

因为，

所以为函数的一个周期，得为周期函数．可得既是奇函数，又是周期函数，得正确．

综上所述，只有项不正确．

故选：．

8．解：，函数在区间，单调增加，

，函数，

的增区间满足：，，

解得，，

当时，的增区间为，，

函数在区间，单调增加，

，解得，

的最大值为．

故选：．

9．（解：由题意可知，所以，

函数的解析式为：，

因为函数过，，可得：，

又，

所以解得：，

又图象经过，可得：，

所以：，

所以：，

则．

故选：．

10．解：（1）由于的周期是，所以，所以．

令，故或，整理得或．

故解集为或，．

（2）由于，

所以．

所以．

由于，，

所以．

，

故，

故．

所以函数的值域为．

11．解：（Ⅰ）由题意可知，

由，可解得：，；

由，可解得：，；

所以的单调递增区间是，，；单调递减区间是：，，；

（Ⅱ）由，可得，

由题意知为锐角，所以，

由余弦定理，

可得：，即，且当时等号成立．

因此，

所以面积的最大值为．