专题10—导数大题2-近8年高考真题分类汇编—2022届高三数学一轮复习

专题10—导数大题2

考试说明：1、了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，回求函数的单调区间；

2、了解函数在某点取得极值时的充要条件，会用导数求函数的极值，会求闭区间上函数的最大值和最小值。

3、了解导数的综合应用

题型特点：导数的综合应用是历年高考的热点，试题难度通常较大，多以压轴题的形式出现，命题的热点主要有利用导数研究函数的单调性、极值、最值；利用导数研究不等式；利用导数研究方程的根；利用导数研究恒成立问题等等，体现了分类讨论、数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想的运用。

一、典例分析

命题角度4—利用导数证明不等式问题

例1．（2021•乙卷）已知函数，已知是函数的极值点．

（1）求；

（2）设函数．证明：．

分析：（1）确定函数的定义域，令，由极值的定义得到，求出的值，然后进行证明，即可得到的值；

（2）将问题转化为证明，进一步转化为证明，令，利用导数研究的单调性，证明，即可证明．

解答：（1）解：由题意，的定义域为，

令，则，，

则，

因为是函数的极值点，则有，即，所以，

当时，，且，

因为，

则在上单调递减，

所以当时，，

当时，，

所以时，是函数的一个极大值点．

综上所述，；

（2）证明：由（1）可知，，

要证，即需证明，

因为当时，，

当时，，

所以需证明，即，

令，

则，

所以，当时，，

当时，，

所以为的极小值点，

所以，即，

故，

所以．

点评：本题考查了导数的综合应用，主要考查了利用导数研究函数的极值问题，利用导数证明不等式问题，此类问题经常构造函数，转化为证明函数的取值范围问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于难题．

命题角度5—利用导数研究恒成立问题

例2．（2020•海南）已知函数．

（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

（2）若，求的取值范围．

分析：（1）根据导数的几何意义即可求出切线方程，可得三角形的面积；

（2）方法一：不等式等价于，令，根据函数单调性可得，再构造函数，利用导数求出函数的最值，即可求出的范围；

方法二：构造两个基本不等式，，则原不等式转化为，再分类讨论即可求出的取值范围，

方法三：利用分类讨论的思想，当，此时不符合题意，当时，，令，

再根据导数和函数最值的关系即可证明，

方法四：先根据导数和函数的最值的关系求出，，再求出的范围，再利用导数求的范围，即可求出的范围．

方法五：等价于，构造函数（a），利用导数求出函数的最值，即可求出的范围．

解答：解：（1）当时，，

，

（1），

（1），

曲线在点，（1）处的切线方程为，

当时，，当时，，

曲线在点，（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积．

（2）方法一：由，可得，即，

即，

令，

则，

在上单调递增，

，

即，

令，

，

当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

（1），

，

，

故的范围为，．

方法二：由可得，，，

即，

设，

恒成立，

在单调递增，

，

，

即，

再设，

，

当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

（1），

，

即

，则，

此时只需要证，

即证，

当时，

恒成立，

当时，，此时不成立，

综上所述的取值范围为，．

方法三：由题意可得，，

，

易知在上为增函数，

①当时，（1），，

存在使得，

当时，，函数单调递减，

（1），不满足题意，

②当时，，，

，

令，

，

易知在上为增函数，

（1），

当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

（1），

即，

综上所述的取值范围为，．

方法四：，，，

，易知在上为增函数，

在上为增函数，在0，上为减函数，

与在0，上有交点，

存在，使得，

则，则，即，

当时，，函数单调递减，

当，时，，函数单调递增，

设，

易知函数在上单调递减，且（1），

当，时，，

，时，，

设，，，

恒成立，

在，上单调递减，

（1），

当时，，

，

．

方法五：等价于，该不等式恒成立．

当时，有，其中．

设（a），则（a），

则（a）单调递增，且（1）．

所以若成立，则必有．

下面证明当时，成立．

设，

，

在单调递减，在单调递增，

，

，

即，

把换成得到，

，．

，当时等号成立．

综上，．

点评：本题考查了导数的几何意义，以及导数和函数的最值的关系，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于难题．

命题角度6—利用导数研究函数性质的综合问题

例3．（2019•天津）设函数，其中．

（Ⅰ）若，讨论的单调性；

（Ⅱ）若，

（ⅰ）证明恰有两个零点；

（ⅱ）设为的极值点，为的零点，且，证明．

分析：，．时，，即可得出函数在上单调性．

由可知：，．令，，可知：可得存在唯一解．可得是函数的唯一极值点．令，可得时，．．（1）．可得函数在，上存在唯一零点．又函数在上有唯一零点1．即可证明结论．

由题意可得：，，即，，可得，由，可得．又，可得，取对数即可证明．

解答：解：，．

时，，

函数在上单调递增．

证明：由可知：，．

令，，可知：在上单调递减，又（1）．

且，

存在唯一解．

即函数在上单调递增，在，单调递减．

是函数的唯一极值点．

令，，，

可得（1），时，．

．

（1）．

函数在，上存在唯一零点．

又函数在上有唯一零点1．

因此函数恰有两个零点；

由题意可得：，，即，，

，即，

，可得．

又，

故，

取对数可得：，

化为：．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

二、真题集训

1．（2020•新课标Ⅰ）已知函数．

（1）当时，讨论的单调性；

（2）当时，，求的取值范围．

解：（1）当时，，

，设，

因为，可得在上递增，即在上递增，

因为，所以当时，；当时，，

所以的增区间为，减区间为；

（2）当时，恒成立，

①当时，不等式恒成立，可得；

②当时，可得恒成立，

设，则

，

可设，可得，

设，，

由，可得恒成立，可得在递增，

在递增，

所以，

即恒成立，即在递增，所以，

再令，可得，当时，，在递增；

时，，在递减，所以（2），

所以，

综上可得的取值范围是，．

2．（2019•天津）设函数，为的导函数．

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）当，时，证明；

（Ⅲ）设为函数在区间，内的零点，其中，证明．

（Ⅰ）解：由已知，，因此，

当，时，有，得，单调递减；

当，时，有，得，单调递增．

的单调增区间为，，单调减区间为，；

（Ⅱ）证明：记，依题意及（Ⅰ），

有，从而．

因此，在区间，上单调递减，有．

当，时，；

（Ⅲ）证明：依题意，，即．

记，则，且．

由及（Ⅰ），得，

由（Ⅱ）知，当，时，，在，上为减函数，

因此，，

又由（Ⅱ）知，，

故．

．

3．（2018•天津）已知函数，，其中．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若曲线在点，处的切线与曲线在点，处的切线平行，证明；

（Ⅲ）证明当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线．

（Ⅰ）解：由已知，，有，

令，解得．

由，可知当变化时，，的变化情况如下表：

函数的单调减区间为，单调递增区间为；

（Ⅱ）证明：由，可得曲线在点，处的切线的斜率为．

由，可得曲线在点，处的切线的斜率为．

这两条切线平行，故有，即，

两边取以为底数的对数，得，

；

（Ⅲ）证明：曲线在点处的切线，

曲线在点，处的切线．

要证明当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线，

只需证明当时，存在，使得与重合，

即只需证明当时，方程组

由①得，代入②得：

，③

因此，只需证明当时，关于 的方程③存在实数解．

设函数，既要证明当时，函数存在零点．

，可知时，；时，单调递减，

又，，

故存在唯一的，且，使得，即．

由此可得，在上单调递增，在，上单调递减，

在处取得极大值．

，故．

．

下面证明存在实数，使得，

由（Ⅰ）可得，当时，有

．

存在实数，使得．

因此，当时，存在，使得．

当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线．

【点评】本题考查导数的运算，导数的几何意义，运用导数研究指数函数与对数公式的性质等基础知识和方法，考查函数与方程思想，化归思想，考查抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，是难题．