专题7—函数的零点-近8年高考真题分类汇编—2022届高三数学一轮复习

专题7—函数的零点

考试说明：理解函数零点存在性定理，了解数形结合、分类讨论的数学思想。

高频考点：1、函数零点所在区间；

2、函数零点个数的判断；

3、利用零点的特征求参数的取值范围。

函数的的零点问题是高考的热门考点，而且经常出现在小题压轴题的位置，有一定的难度，考察学生的逻辑推理、直观想象、数学运算等多方面的能力，平时在学习中要多下功夫练习。

一、典例分析

1．（2019•新课标Ⅲ）函数在，的零点个数为　　

A．2 B．3 C．4 D．5

分析：令，得 或，再根据 的取值范围，求出零点．

解答：解：函数 在，的零点个数，

即方程 在区间，的根个数，

即 在区间，的根个数，

即 或 在区间，的根个数，

解得或 或．

所以函数在，的零点个数为3个．

故选：．

点评：本题考查了函数的零点与方程的根的关系，考查了方程思想，属于基础题．

2．（2014•上海）设为函数的零点，则　　

A． B． C． D．

分析：通过，（1），可得（1），故函数的零点在区间内，得到结果．

解答：解：函数的零点为，；（1），

（1），故函数的零点在区间内，

故选：．

点评：本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．

3．（2013•天津）函数的零点个数为　　

A．1 B．2 C．3 D．4

分析：通过令，将方程的解转化为函数图象的交点问题，从而判断函数的零点个数．

解答：解：函数，令，

在同一坐标系中作出．与，如图，

由图可得零点的个数为2．

故选：．

点评：本题考查函数的零点，函数的图象的作法，考查数形结合与转化思想．

4．（2020•天津）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是　　

A．，， B．，， 

C．，， D．，，

分析：问题转化为有四个根，与有四个交点，再分三种情况当时，当时，当时，讨论两个函数是否能有4个交点，进而得出的取值范围．

解答：解：若函数恰有4个零点，

则有四个根，

即与有四个交点，

当时，与图象如下：

两图象只有两个交点，不符合题意，

当时，与轴交于两点，

图象如图所示，

当时，函数的函数值为，

当时，函数的函数值为，

所以两图象有4个交点，符合题意，

当时，

与轴交于两点，

在，内两函数图象有两个交点，所以若有四个交点，

只需与在，还有两个交点，即可，

即在，还有两个根，

即在，还有两个根，

函数，（当且仅当时，取等号），

所以，且，

所以，

综上所述，的取值范围为，，．

故选：．

点评：本题考查函数的零点，参数的取值范围，关键利用分类讨论思想，分析函数的交点，属于中档题．

5．（2017•新课标Ⅲ）已知函数有唯一零点，则　　

A． B． C． D．1

分析：方法一：通过转化可知问题等价于函数的图象与的图象只有一个交点求的值．分、、三种情况，结合函数的单调性分析可得结论．

方法二：由已知令，则为偶函数，图象关于对称，结合已知函数有唯一零点及偶函数图象关于轴对称可求．

解答：解：因为，

所以函数有唯一零点等价于方程有唯一解，

等价于函数的图象与的图象只有一个交点．

①当时，，此时有两个零点，矛盾；

②当时，由于在上递增、在上递减，

且在上递增、在上递减，

所以函数的图象的最高点为，的图象的最高点为，

由于，此时函数的图象与的图象有两个交点，矛盾；

③当时，由于在上递增、在上递减，

且在上递减、在上递增，

所以函数的图象的最高点为，的图象的最低点为，

由题可知点与点重合时满足条件，即，即，符合条件；

综上所述，，

方法二：，

令，则为偶函数，图象关于对称，

若有唯一零点，则根据偶函数的性质可知当时，，

所以．

故选：．

点评：本题考查函数零点的判定定理，考查函数的单调性，考查运算求解能力，考查数形结合能力，考查转化与化归思想，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题．

6．（2015•天津）已知函数，函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是　　

A．， B． C． D．，

分析：求出函数的表达式，构造函数，作出函数的图象，利用数形结合进行求解即可．

解答：解：，

，

由，得，

设，

若，则，，

则，

若，则，，

则，

若，，，

则．

即，

作出函数的图象如图：

当时，，

当时，，

故当时，，有两个交点，

当时，，有无数个交点，

由图象知要使函数恰有4个零点，

即恰有4个根，

则满足，

故选：．

点评：本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．

7．（2014•新课标Ⅰ）已知函数，若存在唯一的零点，且，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

分析：由题意可得，；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可．

解答：解：，

，；

①当时，有两个零点，不成立；

②当时，在上有零点，故不成立；

③当时，在上有且只有一个零点；

故在上没有零点；

而当时，在上取得最小值；

故；

故；

综上所述，

实数的取值范围是；

故选：．

点评：本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，同时考查了函数的零点的判定的应用，属于基础题．

8．（2018•新课标Ⅲ）函数在，的零点个数为　　．

分析：由题意可得，可得，，即，即可求出．

解答：解：，

，，

，，

当时，，

当时，，

当时，，

当时，，

，，

，或，或，

故零点的个数为3，

故答案为：3

点评：本题考查了余弦函数的图象和性质以及函数零点的问题，属于基础题．

9．（2018•上海）设，函数，，若函数与的图象有且仅有两个不同的公共点，则的取值范围是　　

分析：把函数与的图象有且仅有两个不同的公共点，转化为在上有两不同根，可得．

解答：解：函数与的图象有且仅有两个不同的公共点，

即方程有两不同根，

也就是有两不同根，

，在上有两不同根．

，或，．

又，且，

，仅有两解时，应有，

则．

的取值范围是．

故答案为：．

点评：本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法，是中档题．

10．（2016•山东）已知函数，其中，若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则的取值范围是　　．

分析：作出函数的图象，依题意，可得，解之即可．

解答：解：当时，函数的图象如下：

时，，

要使得关于的方程有三个不同的根，

必须，

即，

解得，

的取值范围是，

故答案为：．

点评：本题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析得到是难点，属于中档题．

二、真题集训

1．（2014•北京）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是　　

A． B． C． D．

2．（2015•上海）记方程①：，方程②：，方程③：，其中，，是正实数．当，，成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是　　

A．方程①有实根，且②有实根 B．方程①有实根，且②无实根 

C．方程①无实根，且②有实根 D．方程①无实根，且②无实根

3．（2015•天津）已知函数，函数，则函数的零点个数为　　

A．2 B．3 C．4 D．5

4．（2014•山东）已知函数丨丨，．若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是　　

A． B．， C． D．

5．（2013•湖南）函数的图象与函数的图象的交点个数为　　

A．3 B．2 C．1 D．0

6．（2013•重庆）若，则函数的两个零点分别位于区间　　

A．和内 B．和内 

C．和内 D．和内

7．（2012•辽宁）设函数满足，，且当，时，．又函数，则函数在上的零点个数为　　

A．5 B．6 C．7 D．8

8．（2020•上海）设，若存在定义域为的函数同时满足下列两个条件：

（1）对任意的，的值为或；

（2）关于的方程无实数解，

则的取值范围是　　．

9．（2015•湖北）函数的零点个数为　　．

10．（2015•江苏）已知函数，，则方程实根的个数为　　．

11.（2015•湖北）的零点个数为　　．

12．（2015•北京）设函数．

①若，则的最小值为　　；

②若恰有2个零点，则实数的取值范围是　　．

13．（2014•江苏）已知是定义在上且周期为3的函数，当，时，，若函数在区间，上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是　　．

真题集训 答案

1．解：，

（2），（4），

满足（2）（4），

在区间内必有零点，

故选：．

2．解：当方程①有实根，且②无实根时，△，△，

即，，

，，成等比数列，

，

即，

则，

即方程③的判别式△，此时方程③无实根，

故选：．

3．解：，

若，则时，，

若，则时，，

即．

由得到，

作出两个函数和的图象如图：

由图象知两个函数有两个不同的交点，

故函数的零点个数为2个，

故选：．

4．解：由题意可得函数的图象

和函数的图象有两个交点，

如图所示：，

数形结合可得，

故选：．

5．解：在同一坐标系下，画出函数的图象与函数的图象如图：

由图可知，两个函数图象共有2个交点

故选：．

6．解：，（a），（b），（c），

由函数零点存在判定定理可知：在区间，内分别存在一个零点；

又函数是二次函数，最多有两个零点，

因此函数的两个零点分别位于区间，内．

故选：．

7．解：因为当，时，．

所以当，时，，

，

当，时，，

；

当时，，

．

注意到函数、都是偶函数，

且，（1）（1），

，，

，（1），

（1），

根据上述特征作出函数、的草图，

函数除了0、1这两个零点之外，

分别在区间，，，，，，，上各有一个零点．

共有6个零点，

故选：．

8．解：根据条件（1）可得或（1），

又因为关于的方程无实数解，所以或1，

故，，，，

故答案为：，，，．

9．解：函数的定义域为：．

，

分别画出函数，的图象，

由函数的图象可知，交点个数为2．

所以函数的零点有2个．

故答案为：2．

10．解：由可得．

与的图象如图所示，图象有2个交点

与的图象如图所示，图象有两个交点；

所以方程实根的个数为4．

故答案为：4．

11.解：，

由得，

作出函数和的图象如图：

由图象可知，两个函数的图象有2个不同的交点，

即函数的零点个数为2个，

故答案为：2

12．解：①当时，，

当时，为增函数，，

当时，，

当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，

故当时，，

②设，

若在时，与轴有一个交点，

所以，并且当时，（1），所以，

而函数有一个交点，所以，且，

所以，

若函数在时，与轴没有交点，

则函数有两个交点，

当时，与轴无交点，无交点，所以不满足题意（舍去），

当（1）时，即时，的两个交点满足，，都是满足题意的，

综上所述的取值范围是，或．

13．解：是定义在上且周期为3的函数，当，时，，若函数在区间，上有10个零点（互不相同），在同一坐标系中画出函数与的图象如图：由图象可知．

故答案为：．