专题3—函数的单调性-近8年高考真题分类汇编—2022届高三数学一轮复习

专题3—函数的单调性

考试说明：理解函数的单调性及其几何意义；

高频考点：1、函数单调性的性质及判断方法；

2、幂函数、指数函数、对数函数和反比例函数的单调性；

3、复合函数的单调性；

4、三角函数的单调性；

5、函数单调性的应用：比如，画图象，求最值，求零点等。

函数的单调性是函数非常重要的性质， 高考中主要以选择题、填空题的形式考查，在大题导数题中也会重点考查，同学们在一轮复习中要练好基本功。

一、典例分析

1．（2021•甲卷）下列函数中是增函数的为　　

A． B． C． D．

分析：结合基本初等函数在定义域上的单调性分别检验各选项即可判断．

解答：解：由一次函数性质可知在上是减函数，不符合题意；

由指数函数性质可知在上是减函数，不符合题意；

由二次函数的性质可知在上不单调，不符合题意；

根据幂函数性质可知在上单调递增，符合题意．

故选：．

点评：本题主要考查基本初等函数的单调性的判断，属于基础题．

2．（2017•山东）若函数是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有性质，下列函数中具有性质的是　　

A． B． C． D．

分析：根据已知中函数具有性质的定义，可得时，满足定义．

解答：解：当时，函数在上单调递增，函数具有性质，

故选：．

点评：本题考查的知识点是函数单调性的性质，难度不大，属于基础题．

3．（2017•新课标Ⅱ）函数的单调递增区间是　　

A． B． C． D．

分析：由得：，，，令，则，结合复合函数单调性“同增异减”的原则，可得答案．

解答：解：由得：，，，

令，则，

时，为减函数；

时，为增函数；

为增函数，

故函数的单调递增区间是，

故选：．

点评：本题考查的知识点是复合函数的单调性，对数函数的图象和性质，二次数函数的图象和性质，难度中档．

4．（2020•新课标Ⅱ）若，则　　

A． B． C． D．

分析：方法一：由，可得，令，则在上单调递增，且，结合函数的单调性可得，的大小关系，结合选项即可判断．

方法二：根据条件取，，即可排除错误选项．

解答：解：方法一：由，可得，

令，则在上单调递增，且，

所以，即，由于，

故．

方法二：取，，满足，

此时，，可排除．

故选：．

点评：本题主要考查了函数的单调性在比较变量大小中的应用，属于基础试题．

5．（2016•天津）已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围是　　

A． B．，， 

C．， D．，

分析：根据函数的对称性可知在递减，故只需令即可．

解答：解：是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，

在上单调递减．

，，

．

，

解得．

故选：．

点评：本题考查了函数的单调性，奇偶性的性质，属于中档题．

6．（2020•海南）已知函数在上单调递增，则的取值范围是　　

A． B．， C． D．，

分析：由对数式的真数大于0求得函数的定义域，令，由外层函数是其定义域内的增函数，结合复合函数的单调性可知，要使函数在上单调递增，需内层函数在上单调递增且恒大于0，转化为，，，即可得到的范围．

解答：解：由，得或．

令，

外层函数是其定义域内的增函数，

要使函数在上单调递增，

则需内层函数在上单调递增且恒大于0，

则，，，即．

的取值范围是，．

故选：．

点评：本题考查复合函数单调性的求法，考查数学转化思想方法，是中档题．

7．（2013•天津）已知函数．设关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围是　　

A． B． 

C． D．

分析：排除法：取，由，得，分，，讨论，可得，检验是否符合题意，可排除、；取，由，得，分，，进行讨论，检验是否符合题意，排除．

解答：解：取时，，

，

，

（1）时，解得；

（2）时，解得；

（3）时，解得，

综上知，时，，，符合题意，排除、；

取时，，

，，

（1）时，解得，矛盾；

（2），解得，矛盾；

（3）时，解得，矛盾；

综上，，，不合题意，排除，

故选：．

点评：本题考查函数的单调性、二次函数的性质、不等式等知识，考查数形结合思想、分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，注意排除法在解决选择题中的应用．

8．（2013•福建）设，是的两个非空子集，如果存在一个从到的函数满足：；对任意，，当时，恒有，那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是　　

A．， 

B．，或 

C．， 

D．，

分析：利用题目给出的“保序同构”的概念，对每一个选项中给出的两个集合，利用所学知识，找出能够使两个集合满足题目所给出的条件的函数，即是函数的值域，且函数为定义域上的增函数．排除掉是“保序同构”的，即可得到要选择的答案．

解答：解：对于，，存在函数，，满足：；对任意，，当时，恒有，所以选项是“保序同构”；

对于，或，存在函数，满足：

；对任意，，当时，恒有，所以选项是“保序同构”；

对于，，存在函数，满足：；

对任意

，，当时，恒有，所以选项是“保序同构”；

前三个选项中的集合对是“保序同构”，由排除法可知，不是“保序同构”的只有．

故选：．

点评：本题是新定义题，考查了函数的定义域和值域，考查了函数的单调性，综合考查了不同类型函数的基本性质，是基础题．

二、真题集训

1．（2019•北京）下列函数中，在区间上单调递增的是　　

A． B． C． D．

2．（2010•北京）给定函数①，②，③，④，其中在区间上单调递减的函数序号是　　

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

3．（2010•安徽）动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的单调递增区间是　　

A．， B．， C．， D．，和，

4．（2018•全国）的递增区间是　　

A． B． C．， D．

5．（2014•天津）函数的单调递增区间为　　

A． B． C． D．

6．（2015•全国）设函数在区间是减函数，则的最小值为　　

A．2 B．1 C． D．

7．（2019•新课标Ⅲ）设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则　　

A． 

B． 

C． 

D．

8．（2017•山东）若函数是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有性质．下列函数中所有具有性质的函数的序号为　    ．

①②③④．

9．（2015•天津）已知，，，则当的值为　　时，取得最大值．

10．（2012•上海）函数的最大值为　　．

11．（2018•江苏）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆的一段圆弧为此圆弧的中点）和线段构成．已知圆的半径为40米，点到的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求，均在线段上，，均在圆弧上．设与所成的角为．

（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；

（2）若大棚内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．

12．（2014•广东）设函数，其中．

（1）求函数的定义域（用区间表示）；

（2）讨论函数在上的单调性；

（3）若，求上满足条件（1）的的集合（用区间表示）．

真题集训 答案

1．解：在上单调递增，和在上都是减函数．

故选：．

2．（解：①是幂函数，其在上即第一象限内为增函数，故此项不符合要求；

②中的函数是由函数向左平移1个单位长度得到的，因为原函数在内为减函数，故此项符合要求；

③中的函数图象是由函数的图象保留轴上方，下方图象翻折到轴上方而得到的，故由其图象可知该项符合要求；

④中的函数图象为指数函数，因其底数大于1，故其在上单调递增，不合题意．

故选：．

3．解：设动点与轴正方向夹角为，则时，每秒钟旋转，在，上，在，上，动点的纵坐标关于都是单调递增的．

故选：．

4．解：令，求得或，

故函数的定义域为或，，

本题即求函数在定义域内的增区间．

结合二次函数的性质可得函数在定义域内的增区间为，

故选：．

5．解：令，可得，或，

故函数的定义域为，，，

当时，随的增大而减小，随的减小而增大，

所以随的增大而增大，即在上单调递增．

故选：．

6．解：可令，

由在递减，

可得在是增函数，且在恒成立，

可得且，

解得，

则的最小值是．

故选：．

7．解：是定义域为的偶函数，，

，，

在上单调递减，

，

故选：．

8．解：对于①，，则为实数集上的增函数；

对于②，，则为实数集上的减函数；

对于③，，则，

，当时，，

在定义域上先减后增；

对于④，，则，

在实数集上恒成立，

在定义域上是增函数．

具有性质的函数的序号为①④．

故答案为：①④．

9．解：由题意可得当最大时，和都是正数，

故有．

再利用基本不等式可得，

当且仅当时，取等号，即当时，取得最大值，

故答案为：4．

10．解：设，，，，

的导函数，

在，上为减函数，

的最大值为

的最大值为5

故答案为 5

 11.解：（1）

，

，

当、重合时，最小，此时；

当、重合时，最大，此时，

的取值范围是，；

（2）设年总产值为，甲种蔬菜单位面积年产值为，乙种蔬菜单位面积年产值为，

则

，其中，；

设，

则

；

令，解得，此时，；

当，时，，单调递增；

当，时，，单调递减；

时，取得最大值，即总产值最大．

，

，

，；

答：时总产值最大．

 12.解：（1）设，则等价为，

要使函数有意义，则，解得或，

即或，

则，①或，②，

，，

由①解得或，即或，

由②解得，即，

综上函数的定义域为，，，．

（2）

，

由，即，则

解得或，结合定义域知，或，

即函数的单调递增区间为：，，

同理解得单调递减区间为：，，，．

（3）由（1）得，

则，

即，

或或或，

，

，，，

（1），

且满足，，，

由（2）可知函数在上述四个区间内均单调递增或递减，结合图象，要使（1）的集合为：

，，，．