专题4—函数的奇偶性-近8年高考真题分类汇编—2022届高三数学一轮复习

专题4—函数的奇偶性

考试说明：结合具体函数，了解函数奇偶性的含义。

高频考点：1、利用奇偶性求值、求解析式；

2、与指数函数、对数函数、三角函数相结合的复合函数的奇偶性；

3、奇偶性、周期性、单调性相结合的问题。

在高考中，函数的奇偶性主要以选择题、填空题的形式出现，是高考的高频考点，学生要熟练掌握与指数、对数函数等函数相结合的复合函数的奇偶性。

一、典例分析

1．（2021•上海）以下哪个函数既是奇函数，又是减函数　　

A． B． C． D．

分析：结合基本初等函数的单调性及奇偶性分别检验各选项即可判断．

解答：解：在上单调递减且为奇函数，符合题意；

因为在上是增函数，不符合题意；

，为非奇非偶函数，不符合题意；

故选：．

点评：本题主要考查了基本初等函数的单调性及奇偶性的判断，属于基础题．

2．（2021•甲卷）设是定义域为的奇函数，且．若，则　　

A． B． C． D．

分析：由已知及进行转化得，再结合从而可求．

解答：解：由题意得，

又，

所以，

又，

则．

故选：．

点评：本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数值，解题的关键是进行合理的转化，属于基础题．

3．（2021•乙卷）设函数，则下列函数中为奇函数的是　　

A． B． C． D．

分析：先根据函数的解析式，得到的对称中心，然后通过图象变换，使得变换后的函数图象的对称中心为，从而得到答案．

解答：解：因为，

所以函数的对称中心为，

所以将函数向右平移一个单位，向上平移一个单位，

得到函数，该函数的对称中心为，

故函数为奇函数．

故选：．

点评：本题考查了函数奇偶性和函数的图象变换，解题的关键是确定的对称中心，考查了逻辑推理能力，属于基础题．

4．（2021•甲卷）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当，时，．若（3），则　　

A． B． C． D．

分析：由为奇函数，为偶函数，可求得的周期为4，由为奇函数，可得（1），结合（3），可求得，的值，从而得到，时，的解析式，再利用周期性可得，进一步求出的值．

解答：解：为奇函数，（1），且，

偶函数，，

，即，

．

令，则，

，．

当，时，．

（2），

（3）（1），

又（3），，解得，

（1），，

当，时，，

．

故选：．

点评：本题主要考查函数的奇偶性与周期性，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．

5．（2019•上海）已知，函数，存在常数，使为偶函数，则的值可能为　　

A． B． C． D．

分析：直接利用三角函数的性质的应用和函数的奇偶性的应用求出结果．

解答：解：由于函数，存在常数，

为偶函数，

则：，

由于函数为偶函数，

故：，

所以：，

当时．

故选：．

点评：本题考查的知识要点：三角函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．

6．（2017•全国）函数的定义域，若和都是偶函数，则　　

A．是偶函数 B．是奇函数 C．（2）（4） D．（3）（5）

分析：根据函数是偶函数，建立方程关系进行推理判断即可．

解答：解：和都是偶函数，

，，

得，，

即，，

则，

则，则，

则函数是周期为4的周期函数，

又当时，（2），，（4），

（2）（4），

故选：．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，根据具体判断函数的周期性是解决本题的关键．

7．（2015•山东）若函数是奇函数，则使成立的的取值范围为　　

A． B． C． D．

分析：由为奇函数，根据奇函数的定义可求，代入即可求解不等式．

解答：解：是奇函数，

，

即，

整理可得，，

，

，

，

，

，

整理可得，，

，

解可得，，

故选：．

点评：本题主要考查了奇函数的定义的应用及分式不等式的求解，属于基础试题．

8．（2014•新课标Ⅰ）设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是　　

A．是偶函数 B．是奇函数 

C．是奇函数 D．是奇函数

分析：根据函数奇偶性的性质即可得到结论．

解答：解：是奇函数，是偶函数，

，，

，故函数是奇函数，故错误，

为偶函数，故错误，

是奇函数，故正确．

为偶函数，故错误，

故选：．

点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．

9．（2014•湖北）已知是定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点的集合为　　

A．， B．，，1， C．，1， D．，1，

分析：首先根据是定义在上的奇函数，求出函数在上的解析式，再求出的解析式，根据函数零点就是方程的解，问题得以解决．

解答：解：是定义在上的奇函数，当时，，

令，则，

，

令，

当时，，解得，或，

当时，，解得，

函数的零点的集合为，1，

故选：．

点评：本题考查函数的奇偶性及其应用，考查函数的零点，函数方程思想．

10．（2018•新课标Ⅲ）已知函数，（a），则　　．

分析：利用函数的奇偶性的性质以及函数值，转化求解即可．

解答：解：函数

满足，

所以是奇函数．

函数，（a），

可得（a），可得，

则．

故答案为：．

点评：本题考查奇函数的简单性质以及函数值的求法，考查计算能力．

二、真题集训

1．（2019•全国）下列函数中，为偶函数的是　　

A． B． 

C． D．

2．（2019•新课标Ⅱ）设为奇函数，且当时，，则当时，　　

A． B． C． D．

3．（2018•新课标Ⅱ）已知是定义域为的奇函数，满足，若（1），则（1）（2）（3）　　

A． B．0 C．2 D．50

4．（2014•大纲版）奇函数的定义域为，若为偶函数，且（1），则（8）（9）　　

A． B． C．0 D．1

5．（2014•湖南）已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（1）（1）　　

A． B． C．1 D．3

6．（2013•重庆）已知函数，，则　　

A． B． C．3 D．4

7．（2013•四川）已知是定义域为的偶函数，当时，，那么，不等式的解集是　　．

8．（2021•新课标Ⅰ）已知函数是偶函数，则　　．

9．（2020•江苏）已知是奇函数，当时，，则的值是　    ．

10．（2019•新课标Ⅱ）已知是奇函数，且当时，．若，则　　．

11．（2017•山东）已知是定义在上的偶函数，且．若当，时，，则　　．

12．（2015•新课标Ⅰ）若函数为偶函数，则　　．

13．（2014•新课标Ⅱ）偶函数的图象关于直线对称，（3），则　　．

14．（2014•湖南）若是偶函数，则　　．

真题集训 答案

1．解：．函数关于对称，函数为非奇非偶函数，

．函数的减函数，不具备对称性，不是偶函数，

，，

则函数是偶函数，满足条件．

．由得得，函数的定义为，定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，

故选：．

2．解：设，则，

，

设为奇函数，，

即．

故选：．

3．解：是奇函数，且，

，，

则，则，

即函数是周期为4的周期函数，

（1），

（2），（3）（1），

（4），

则（1）（2）（3）（4），

则（1）（2）（3）（1）（2）（3）（4）

（1）（2），

故选：．

4．解：为偶函数，是奇函数，

设，

则，

即，

是奇函数，

，

即，，

则（8），（9）（1），

（8）（9），

故选：．

5．解：由，将所有替换成，得

，

根据，，得

，再令，计算得，

（1）（1）．

故选：．

6．解：，

与互为相反数

则设，那么

令，即，此函数是一个奇函数，故，

，

．

故选：．

7．解：因为为偶函数，所以，

则可化为，

即，，

所以，

解得，

所以不等式的解集是．

故答案为：．

8．解：因为函数是偶函数，

为上的奇函数，

故也为上的奇函数，

所以，

所以．

故答案为：1．

9．解：是奇函数，可得，

当时，，可得（8），

则（8），

故答案为：．

10．解：是奇函数，，

又当时，，

，

，．

故答案为：

11．解：由．则，

为周期为6的周期函数，

（1），

由是定义在上的偶函数，则（1），

当，时，，

，

，

故答案为：6．

12．解：为偶函数，

，

，

，

，

，

，

．

故答案为：1．

13．解：法1：因为偶函数的图象关于直线对称，

所以，

即，

则（3），

法2：因为函数的图象关于直线对称，

所以（1）（3），

因为是偶函数，

所以（1），

故答案为：3．

14．解：若是偶函数，

则，

即，

即，

即，解得，

故答案为：．