专题19等差数列与等比数列A辑-2022年高考数学压轴必刷题（第二辑）

2022年高考数学压轴必刷题（第二辑）

专题19等差数列与等比数列A辑

1．已知数列满足，.若恒成立，则实数的最大值是（    ）(选项中为自然对数的底数，大约为)

A． B． C． D．

【答案】D

由得，

设，

，在单调递减，在单调递增，

故，则，

所以， ，

由得易得，

记，所以，记，，

当即得时单调递增，

当即得时单调递减，

所以，得，

故选：D.

2．数列满足：，，数列前项和为，则以下说法正确个数是（    ）

①；

②；

③；

④.

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

解：在①中，用数学归纳法求证：

当时，，成立，假设，

则一方面，

另一方面由于时，，

∴ ，

∴ ，故①正确；

在②中，由于当时，令，

则，

由于时，，故，在单调递增，，

所以在上单调递增，故，

所以，即，

则，

∴ ，故②正确；

在③中，由于，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，故③正确；

在④中，，，故④正确.

故选：.

3．设数列为等差数列，为其前项和，若，，，则的最大值为（   ）

A．3 B．4 C． D．

【答案】B

【解析】

∵S4≥10，S5≤15
∴a1+a2+a3+a4≥10，a1+a2+a3+a4+a5≤15
∴a5≤5，a3≤3
即：a1+4d≤5，a1+2d≤3
两式相加得：2（a1+3d）≤8
∴a4≤4
故答案是4

4．已知数列：，，，，，..，，，，，，，…的前n项和为，正整数，满足：①，②是满足不等式的最小正整数，则（    ）

A．6182 B．6183 C．6184 D．6185

【答案】B

由题意可知，数列的规律为：分母为的项有项．将数列中的项排成杨辉三角数阵且使得第k行每项的分母为，该行有项，如下所示：

对于①，位于数阵第11行最后一项，对应于数列的项数为

，

∴；

对于②，数阵中第k行各项之和为，

则，

且数列的前k项之和

，

，

而，

故恰好满足的项位于第11行．

假设位于第m项，则有

，

可得出．

由于，，

则，∴．

因为前10行最后一项位于的第

项，

因此，满足的最小正整数，

所以．

故选：B

5．在平面直角坐标系中，定义（）为点到点的变换，我们把它称为点变换，已知，，，是经过点变换得到一组无穷点列，设，则满足不等式最小正整数的值为（    ）

A．9 B．10 C．11 D．12

【答案】C

由定义知，，，即．

，

观察可得，

，

，

∴数列是等比数列，公比为2，首项为1．∴．

，由，解得．即的最小值为11.

故答案为：C

6．设正项数列的前项和满足，记表示不超过的最大整数，． 数列的前项和为，则使得成立的的最小值为（    ）

A．1179 B．1178 C．2019 D．2018

【答案】B

因为①，令得，．

又②，

①式减②式可得，整理得，根据可知，数列是首项为1，公差为2的等差数列，．

，

当且时，，；

当且时，，；

当且时，，.

，，

所以使成立的的最小值为1178.

故选B．

7．意大利数学家斐波那契（1175年—1250年）以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，…，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为（设是不等式的正整数解，则的最小值为（    ）

A．10 B．9 C．8 D．7

【答案】C

解析：∵是不等式的正整数解，

∴，

∴，

∴，

即

∴，

∴，

∴，

∴，

令，则数列即为斐波那契数列，

，即，

显然数列为递增数列，所以数列亦为递增数列，

不难知道，，且，，

∴使得成立的的最小值为8，

∴使得成立的的最小值为8.

故选：C.

8．将正整数20分解成两个正整数的乘积有，，三种，其中是这三种分解中两数差的绝对值最小的.我们称为20的最佳分解.当（且）是正整数n的最佳分解时，定义函数，则数列的前100项和为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

解：依题意，当为偶数时，；

当为奇数时，，

所以，

，

．

故选：B.

9．已知正项数列的前n项和为满足:若记表示不超过m的最大整数，则（    ）

A．17 B．18 C．19 D．20

【答案】B

当时，．

当时，由，及得，，

所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，

因此，

则．

．

又当时，

对于

，

．

故选：B.

10．是公比不为1的等比数列的前n项和，是和的等差中项，是和的等比中项，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

设的公比为，由于，

所以，，，

又是和的等差中项，所以，

即，

化简得，

由于，所以，，

所以，

，

，

因为是和的等比中项，

所以，

即，

所以，令，

则，

当，即时，取得最大值，最大值为.

故选：D

11．已知数列中，，下列说法正确的是（    ）.

A．存在实数，使数列单调递减

B．若存在正整数，使，则

C．当时，对任意正整数，都有

D．若对任意正整数，都有，则

【答案】D

对于A，

当，可以无穷大，不存在使恒成立，

故A错误；

对于B，不妨取，则，

即存在正整数，使，但，故B错误；

对于C，取，则，

,故C错误；

对于D，，

即，

累加可得，，

假设时，存在充分大的，使得，即，

与题设矛盾，所以，

故选：D

12．已知数列满足，，，给出下列两个命题，则（    ）

命题①：对任意和，均有

命题②：存在和，使得当时，均有

注：和分别表示与中的较大和较小者.

A．①正确，②正确 B．①正确，②错误

C．①错误，②正确 D．①错误，②错误

【答案】A

因为，，对任意和，

所以，，以此类推，，即可得：，

所以所有分母均为大于1的正数，

所以，，以此类推可得，即可得 (当且仅当时等号成立),所以命题命题①为真；

当，即，令，则，

当数列为等比数列符合题意，

则有：，解得：，

当时，， ，当时，均有.

所以，存在和，使得当时，均有，命题②正确.

故选：A

13．设常数，无穷数列满足，，若存在常数，使得对于任意，不等式恒成立，则的最大值为（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】D

解：，，

.

,

,

,

，

以上个式子累加可得：，

，又不等式恒成立,

恒成立，

当时，，满足题意，此时；

当时，可得，所以.

存在常数，使得对于任意，不等式恒成立，

当时，存在常数，恒成立.

又，.

故选：D.

14．已知正项数列满足，则下列正确的是（    ）

A．当时，递增，递增

B．当时，递增，递减

C．当时，递增，递减

D．当时，递减，递减

【答案】B

解：设，单调递减，画出图像如图所示：

由图像知，所以对于

当时，不妨确定的位置，根据，把标到图上，如图所示：

由图像知，，所以，所以，一直根据图像推下去可得：对于数列，所以奇数项，所有偶数项.

从作图过程可以看出：，

所以可得：数列递增数列，递减数列.

当时，不妨确定的位置，根据，把标到图上，如图所示：

由图像知，，所以，一直根据图像推下去可得：对于数列，所以奇数项，所有偶数项.

从图像可以看出：，

所以：数列递减数列，递增数列.

故选：B.

15．设数列满足对任意的恒成立，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．数列单调递增

C．存在正整数M，当时，恒成立

D．存在正整数M，当时，恒成立

【答案】D

解：

令，则，

对A：反例：，，

满足

此时，，，故A错误；

对B：反例：，，

满足，

此时，，，，数列不是单调递增数列.

对C：反例：，满足条件.

但对任意的有，

因此不存在正整数M，当时，恒成立.

对D：当时，

因此，

即

因此存在正整数，

当时，恒成立，故D正确.

故选：D

16．已知数列满足，则下列错误的是（    ）

A．若时，则数列单调递增

B．存在时，使数列为常数列

C．若时，则单调递减数列

D．若时，则

【答案】C

（1）∵，

∴，

由数学归纳法思想，

(i)时，时，，，

(ii)假设时，，则由得，

综合(i)(ii)得对所有，，

∴数列是递增数列，A正确，

（2）若，则，依次得到，数列是常数列，B正确；

（3）设，，当或时，，当时，，∴在上递增，在上递减．在是递增，极小值为，极大值为，所以有唯一零点，且零点在上，进一步，，即零点在上，设其为，若，则，，，，数列不是递减数列，C错；

（4）时，，

由（3）知此方程有唯一解，，

又由（3）当时，，而，所以，，…，，

∵，∴由，可得，，

而，所以，

综上．D正确．

故选：C．

17．已知数列由首项及递推关系确定.若为有穷数列，则称a为“坏数”.将所有“坏数”从小到大排成数列，若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

由，得

则，即

所以数列为等差数列,则

则，所以

当时, ，满足条件.

当分母为0，得，即时，数列为有穷数列.

当时, 数列为有穷数列.则

当分母为0时，无意义，此时数列为有穷数列，此时对应的值为

所以，由，则，即

设，则

所以在上单调递增.

所以

设设，则

所以在上单调递增.

所以

所以选项C正确

故选：C

18．已知数列和，，，，，（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

由，及递推关系式可知，.

，即

所以

                   ，

则，

故，代入 得

所以，

则，又

所以，.

故选：B

19．设数列为等差数列，且，，.记，正整数满足，则数列的前项和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

设的公差为，则，即，

所以，又，所以，

，

因为，，所以，

所以数列的前项和为.

故选：C.

20．已知数列的前项和为，则下列选项正确的是　　

A． B．

C． D．

【答案】B

解：因为，

令，在，

，故．

设，，则，

在上单调递增，

（1），即，．

令，则，

，故．

故

故选：．

21．已知数列满足，，若数列的前50项和为，则数列的前50项和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

由题意，数列满足，，若数列的前50项和为，

所以，

所以.

因为，所以，

所以，即，

所以数列的前50项和为

.

故选：B.

22．已知数列的前项和为，且，若，则取最小值时的值为（）

A． B． C． D．

【答案】A

∵，

∴

两式作差得

当n=10时，，又，

∴，∴且，

又=11-10=1，

∴由选项可得：取最小值时的值为10，

故选A.

23．设为不超过x的最大整数，为可能取到所有值的个数，是数列前n项的和，则下列结论正确个数的有　　

（1）

（2）是数列中的项  

（3）

（4）当时，取最小值

A．1个 B．2个 C．3个 D．4

【答案】C

当时，，故.

当时，，，，，故.

当时，，，，故，共有个数，即，故（1）结论正确.

以此类推，当，时，

，，

故可以取的个数为，即，

当时上式也符合，所以；

令，得，没有整数解，故（2）错误.

，

所以，

故，所以（3）判断正确.

，，当时，当时，故当时取得最小值，故（4）正确.综上所述，正确的有三个，故选C.

24．设数列是公差为2的等差数列，且首项，若，则（    ）

A．12224 B．12288

C．12688 D．13312

【答案】B

根据等差数列性质：若则与组合性质，

可得，

且，，，…，，，，

进而有，

于是，

由①+②得

整理得，即．

于是.

故选B．

25．如果，，，就称表示的整数部分，表示的小数部分.已知数列满足，，则等于（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

因为，

同理可得：

所以

所以当n为奇数时 ，当n为偶数时

所以=

故选D

26．已知数列满足：，，前项和为（参考数据：，，则下列选项错误的是（    ）.

A．是单调递增数列，是单调递减数列

B．

C．

D．

【答案】C

∵，，

∴，，，

设，，，则，

令，则，∴单调递增，

将，看作是函数图象上两点，则，

∴数列，都是单调数列，

，同理，，，即，，

∴单调递增，单调递减，而数列与的单调性一致，

∴是单调递增数列，是单调递减数列，A正确；

由得，

要证，即证，即，即证，

也即要证，等价于，

显然时，，时，，故成立，

∴不等式成立．B正确；

欲证，只需证，即

即，显然成立，

故，所以，

故C选项错误；

欲证，因单调性一致则只需证，只需证

因为，若，则；

又因为，若，则，

由数学归纳法有，则成立

故D选项正确。

故选：C

27．设，，是与的等差中项，则的最小值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

∵是与的等差中项，

∴，

即，

∴．

所以

当且仅当即时取等号，

∴的最小值为9．

28．已知数列的前项和，且，，则数列的最小项为（        ）

A．第3项 B．第4项  C．第5项  D．第6项

【答案】A

∵,

∴,则,即,

∴.

易知,

∵,

当时, ,

∴当时, ,

当时,,

又,

∴当时, 有最小值.

故选：A

29．已知数列满足：，且，下列说法正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C． D．

【答案】B

∵，

∴，

∴.

∵，故且，

于是与同号，

∴.

对于A，若，则，则，

∴，所以，故A错误；

对于C，考虑函数，如图所示

由图可知当时，数列递减，

所以，即，所以C不正确；

对于D，设，则，

由上图可知，，

即，

等价于，

化简得：，

而显然不成立，所以D不正确；

由排除法可知B正确.

故选：B.

30．已知三角形的三边长是公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长是（   ）

A．18 B．15 C．21 D．24

【答案】B

根据题意设△ABC的三边长分别为a，a+2，a+4，且a+4所对的角为最大角α，

∵sinα，∴cosα或，

当cosα时，α＝60°，不合题意，舍去；

当cosα时，α＝120°，由余弦定理得：cosα＝cos120°，

解得：a＝3或a＝﹣2（不合题意，舍去），

则这个三角形周长为a+a+2+a+4＝3a+6＝9+6＝15．

故选B．