四川省凉山州2022届高三第二次诊断性检测数学（文科）试题

凉山州2022届高中毕业班第二次诊断性检测

数学（文科）

本试卷分选择题和非选择题两部分．第Ⅰ卷（选择题），第Ⅱ卷（非选择题），共4页，满分150分，考试时间120分钟．

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确．

2．选择题使用2B铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．

3．考试结束后，将答题卡收回．

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．集合，，则（    ）

A．或 B．

C．  D．

2．i为虚数单位，则（    ）

A． B． C． D．

3．已知平面向量与，若，，，则与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

4．在独立性检测中，我们常用随机变量来判断“两个分类变量有关系”，越大关系越强；越小关系越弱。（附：，其中）下面有甲乙丙丁四组关于“秃顶与患心脏病的列联表”（单位：人）

 甲

 乙

 丙

 丁

最能说明秃顶与患心脏病有关的一组数据是（    ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

5．已知双曲线，则下列说法正确的是（    ）

A．离心率为2  B．渐近线方程为

C．焦距为  D．焦点到渐近线的距离为

6．正项等比数列与正项等差数列，若，则与的关系是（    ）

A． B． C． D．以上都不正确

7．抛物线C：，若直线l：与C交于A，B（左侧为A，右侧为B）两点，则抛物线C在点A处的切线的斜率为（    ）

A．-3 B．1 C．3 D．-1

8．将函数的图象沿水平向平移个单位后得到的图象关于直线对称（向左移动，向右移动），当最小时，则（    ）

A． B． C． D．

9．如图所示，在空间直角坐标系中，三棱锥各个顶点的坐标分别为，，，，则该三棱锥俯视图的面积为（    ）

A．9 B．8 C．7 D．6

视图

10．定义在上的奇函数，满足，当时，则的解集为（    ）

A．  B．

C． D．

11．在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续．设第n月月底小王手中有现款为，则下列结论正确的是（    ）

（参考数据：，）

①  ②

③2020年小王的年利润约为40000元 ④两年后，小王手中现款约达41万

A．②③④ B．②④ C．①②④ D．②③

12．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．平面区域：，则的面积为______．

14．函数的极大值点为______．

15．甲、乙、三人去图书馆借书，他们每人借的不是杂志就是小说（每人只能借其中一种）．

（1）如果甲借的是杂志，那么乙借的就是小说．

（2）甲或丙借的是杂志，但是不会两人都借杂志．

（3）乙和丙不会两人都借小说．

则同时满足上述三个条件的不同借书方案有______种．

16．在中，，，则的取值范围为______．（结果用区间表示）

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分

17．（本小题12分）△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，．

（1）求角A；

（2）D为BC的中点，且，求的最大值．

18．（本小题12分）四川省凉山州各种特产、小吃尤其丰富，凉山州会理市羊肉粉早在清代中叶就名扬遐迩．凡来会理市品尝过会理市羊肉粉的人，无不交口称赞．尤其在冬季，吃一碗滚烫的羊肉粉，浑身暖和．羊肉粉的主要原料是羊肉和米粉制作有特殊的讲究，要选择山坡放养，体重在八九十斤左右的黑山羊宰杀，将羊头、羊腿、羊蹄、羊油、羊下水全部放进能装一、两百斤的大铁锅，掺上几里路运来优质山泉水，加上老姜、花椒、胡椒、白扣，等佐料，先要猛火烧开，用漏瓢捞出汤上面的泡沫，再用中火慢慢炖，时间达六、七个小时熬制呈乳白色米汤-样的原汤；羊肉粉的米线，是用会理农村本地产的稻谷跟大米制作出来，韧性好，饭粒不生硬，入口柔和，口味有大米的天然芳香；米粉要经过特殊处理：将水烧开，放人米粉，烧开捞起，放人冷水里（不停换水，直至冷却）．

会理市某羊肉粉店每天早晨处理好当天的米粉，以12元碗的价格售出，每碗获利5元，当天卖不出的米粉则每碗亏损2元，该店记录了30天的日需求量（单位：碗），整理如下表：

（1）以样本估计总体，求该店采粉日需求量的平均数；

（2）以30天记录的日需求量的频率为概率，该店每天准备100碗米粉，记该店每天获得的利润为Y（单位：元），写出Y的所有可能值，并估计Y低于450元的概率．

19．（本小题12分）如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G，H分别是所在棱的中点．

（1）求证：E，F，C，H四点共面；

（2）求三棱锥的体积．

20．（本小题12分）如图，，，为椭圆上的三点，且为椭圆的上顶点，与关于y轴对称，

椭圆的左焦点，．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆的右焦点且与x轴不重合的直线交椭圆于A，B两点，M为椭圆的右顶点，连接MA、MB分别交直线于P，Q两点．

试判断AQ，BP的交点是否为定点？

若是，请求出该定点；若不是，请说明理由．

21．（本小题12分）设函数．

（1）求的单调区间；

（2），为的导函数，当时，，求整数k的最大值．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）求曲线上的动点到曲线距离的取值范围．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数．

（1）解不等式的解集；

（2）已知对任意恒成立，求实数m的取值范围．

凉山州2022届高中毕业班第二次诊断性检测

数学（文科）参考答案及评分意见

评分说明：

1．本解法给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解答与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则；

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变试题的内容及难度可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分的正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分；

3．解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数；

4．只给整数分数，选择题不给中间分．

一、选择题（每小题5分，共60分）

1-5．CBCAA 6-10．CDCBC 11-12．AD

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．25 14．-1 15．2 16．

三、解答题（共70分）

17．解：（1）∵

∴

即

又由余弦定理得

∴

∵

∴

因为D为边BC的中点

∴

∴即，

∵，∴

∴，∴

∵（当且仅当时，等号成立）

∴，∴

∴

所以，的最大值为．

18．解：（1）该米粉店日需求量的平均数为

（2）当日需求量为80碗时，该店每天获利

当日需求量为90碗时，该店每天获利（元）；

当日需求量为100碗以上时，该店每天获利（元）．

所以，Y的可能取值为360，430，500

所以，Y低于450元的概率为．

19．解：（1）证明：连接HE，，GF

∵在正方体中，GF分别是棱、BC的中点

∴且

∴四边形是平行四边形

∴

又在中，H，E分别是，AB的中点

∴，∴

∴E，F，G．H四点共面

（2）∵

又由点G到平面DEF的距离为2

∴．

20．解：（1）由题意可设椭圆的方程为

∵为椭圆的上顶点，∴，

又∵与关于y轴对称，由椭圆的对称性可知

∴

∴，又∵，∴，

∴椭圆的标准方程为．

（2）当轴时，设为则，，

直线MA的方程为，直线MB的方程为

令，可得，

此时，可得AQ和BQ的方程，并解得

则，可猜想AQ，BP的交点为定点，证明如下：

设，又∵M为椭圆的右顶点，∴

设直线MA：，代入，整理得，

∴，则

又由得，

∴，

又设直线MB：，

同理可得，，，又．

∴，

又∵A，B，E三点共线，

∴，即，

即，

∴，显然，∴（*）

又，

由*式可得，

∴，又N为公共点，

∴N，P，B三点共线，同理N，A，Q三点共线

∴直线AQ，BP交于一定点，且定点为．

21．（1）解：函数得定义域为，，

①当时，，即的增区间为，无减区；

②当时，令得，得，

即时，的减区间为，增区间为．

（2），当时，可变为，恒成立，

设，则，

设，则，

∵，∴．∴在为增函数，

又∵，，

∴，，即，

∴得，得，

∴在为减函数，在为增函数，

∴在上恒成立等价于：

，

由，，∴整数k的最大值为2．

22．解：（1）即

∴

∴

又由，即

∴

∴的普通方程为

的直角坐标方程为．

（2）设上的任意一点为

设点P到的距离为d，则

∵，∴

∴，即

∴到距离的范围为．

23．解：

（1）等价于或或

解得或

综上，原不等式的解集为．

（2）的图象如下：

∴

∵，对恒成立

∴即

∴m的取值范围为．