四川省凉山州2022届高三第二次诊断性检测数学（文）试卷(含答案)

四川省凉山州2022届高三第二次诊断性检测数学（文）试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、集合，，则(   )

A.或 B.

C  D.

2、i为虚数单位，则(   )

A. B. C. D.

3、已知平面向量与，若，，，则与的夹角为(   )

A. B. C. D.

4、在独立性检测中，我们常用随机变量来判断“两个分类变量有关系”.越大关系越强；越小关系越弱.（附：，其中）下面有甲乙丙丁四组关于“秃顶与患心脏病的列联表”（单位：人）

甲：

乙：

丙：

丁：

最能说明秃顶与患心脏病有关的一组数据是(   )

A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

5、已知双曲线，则下列说法正确的是(   )

A.离心率为2  B.渐近线方程为

C.焦距为  D.焦点到渐近线的距离为

6、正项等比数列与正项等差数列，若，则与的关系是(   )

A.  B.

C.  D.以上都不正确

7、抛物线，若直线与C交于A，B（左侧为A，右侧为B）两点，则抛物线C在点A处的切线的斜率为(   )

A.-3 B.1 C.3 D.-1

8、将函数的图象沿水平方向平移个单位后得到的图象关于直线对称（向左移动，向右移动），当最小时，则(   )

A. B. C. D.

9、如图所示，在空间直角坐标系中，三棱锥各个顶点坐标分别为，，，，则该三棱锥俯视图的面积为(   )

A.9 B.8 C.7 D.6

10、定义在R上的奇函数，满足，当时，则的解集为(  )

A.  B.

C. D.

11、在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元.余款作为资金全部用于再进货，如此继续.设第n月月底小王手中有现款为，则下列结论正确的是(   )（参考数据：，）

①

②

③2020年小王的年利润约为40000元

④两年后，小王手中现款约达41万

A. ②③④ B. ②④ C. ①②④ D. ②③

12、已知，，，则(   )

A.  B.

C.  D.

二、填空题

13、平面区域，则的面积为___________.

14、函数的极大值点为___________.

15、甲､乙､丙三人去图书馆借书，他们每人借的不是杂志就是小说（每人只能借其中一种）.

（1）如果甲借的是杂志，那么乙借的就是小说.

（2）甲或丙借的是杂志，但是不会两人都借杂志.

（3）乙和丙不会两人都借小说.

则同时满足上述三个条件的不同借书方案有___________种.

16、在中，，.则的取值范围为___________.（结果用区间表示）

三、解答题

17、中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，.

（1）求角A；

（2）若D为边BC的中点，且，求的最大值.

18、四川省凉山州各种特产、小吃尤其丰富，凉山州会理市羊肉粉早在清代中叶就名扬遐迩．凡来会理市品尝过会理市羊肉粉的人，无不交口称赞．尤其在冬季，吃一碗滚烫的羊肉粉，浑身暖和．羊肉粉的主要原料是羊肉和米粉制作有特殊的讲究，要选择山坡放养，体重在八九十斤左右的黑山羊宰杀，将羊头、羊腿、羊蹄、羊油、羊下水全部放进能装一、两百斤的大铁锅，掺上几里路运来优质山泉水，加上老姜、花椒、胡椒、白扣，等佐料，先要猛火烧开，用漏瓢捞出汤上面的泡沫，再用中火慢慢炖，时间达六、七个小时熬制呈乳白色米汤-样的原汤；羊肉粉的米线，是用会理农村本地产的稻谷跟大米制作出来，韧性好，饭粒不生硬，入口柔和，口味有大米的天然芳香；米粉要经过特殊处理：将水烧开，放入米粉，烧开捞起，放入冷水里（不停换水，直至冷却）．会理市某羊肉粉店每天早晨处理好当天的米粉，以12元碗的价格售出，每碗获利5元，当天卖不出的米粉则每碗亏损2元，该店记录了30天的日需求量（单位：碗），整理如下表：

（1）以样本估计总体，求该店采粉日需求量的平均数；

（2）以30天记录的日需求量的频率为概率，该店每天准备100碗米粉，记该店每天获得的利润为Y（单位：元），写出Y的所有可能值，并估计Y低于450元的概率．

19、如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G，H分别是所在棱的中点．

（1）求证：E，F，G，H四点共面；

（2）求三棱锥的体积．

20、如图，为椭圆上的三点，为椭圆的上顶点，与关于y轴对称，椭圆的左焦点，且.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆的右焦点且与x轴不重合的直线交椭圆于A,B两点，M为椭圆的右顶点，连接MA,MB分别交直线于P,Q两点.试判断AQ,BP的交点是否为定点？若是，请求出该定点；若不是，请说明理由.

21、设函数.

（1）求的单调区间；

（2），为的导函数，当时，，求整数的最大值.

22、平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）求曲线上的动点到曲线距离的取值范围.

23、已知函数.

（1）解不等式的解集；

（2）已知对任意恒成立，求实数m的取值范围.

参考答案

1、答案：C

解析：因为，，

所以，

故选：C.

2、答案：B

解析：由题意，

故选：B

3、答案：C

解析：因为，所以，

由，

解得：，

故选：C

4、答案：A

解析：解：由题意，，，

，，

因为，

所以，

所以最能说明秃顶与患心脏病有关的一组数据是甲组，

故选：A.

5、答案： A

解析：因为双曲线，所以，,

所以离心率；渐近线方程为，即；

焦距为；焦点坐标为，焦点到渐近线的距离为.

故选：A.

6、答案：C

解析：设等差数列公差为d，则，

又，，

,均为正项数列，.

故选：C

7、答案：D

解析：直线l与抛物线C方程联立，得或，

因为左侧为A，右侧为B，，

所以，由，

所以抛物线C在点A处的切线的斜率为，

故选：D

8、答案：C

解析：将函数的图象沿水平方向平移个单位后得到

即

由题意的图像关于直线对称.

所以，即,

当时，，此时最小

故选：C

9、答案：B

解析：点在平面xOy平面的射影的坐标为：，

点在平面xOy平面的射影的坐标为：，

点在平面xOy平面的射影的坐标为：，

因此三棱锥的俯视图为：，

根据空间两点间距离公式可得：，，，

因此是等腰三角形，底边DO上的高为：，

所以的面积为：，

故选：B

10、答案：C

解析：由题意，函数满足，可得，

所以函数是周期为4的函数，

又由为R上的奇函数，可得，

所以，可得函数的图象关于对称，

因为当时，

可函数的图象，如图所示，

当时，令，解得或，

所以不等式的解集为.

故选：C.

11、答案： A

解析：对于①选项，元，故①错误

对于②选项，第月月底小王手中有现款为，则第月月底小王手中有现款为，由题意故②正确；

对于③选项，由得

所以数列是首项为公比为1.2的等比数列，

所以，即

所以2020年小王年利润为元，故③正确；

对于④选项，两年后，小王手中现款为元，即41万，故④正确.

故选：A.

12、答案： D

解析：因为，

所以；

令，，

所以在上单调递增，

因为，所以，即，

所以，

所以；

同理，所以，即，也即，

所以，

所以.

综上，，

故选：D.

13、答案： 25

解析：如图，作出不等式组约束的平面区域（阴影部分），

所以联立方程得，易得，

所以的面积为

故答案为：25

14、答案：

解析：由题意知：定义域为，

，

当时，；当时，；

在，上单调递增，在上单调递减，

是的极大值点.

故答案为：.

15、答案：2

解析：①假设甲借的是杂志，

由（1）知：乙借的是小说；由（2）知：丙借的是小说；与（3）的结论矛盾，不合题意；

②假设甲借的是小说，

由（2）知：丙借的是杂志；则乙可借杂志，也可借小说，共种方案；

综上所述：满足上述三个条件的不同借书方案有种.

故答案为：2.

16、答案：

解析：，则由正弦定理可得：，令，则

又，，即；

，

，

，，即取值范围为.

故答案为：.

17、答案：（1）；

（2）.

解析：（1）由正弦定理可得：，，

，

，；

（2）由（1）知：，即；

在中，由余弦定理得：；

在中，由余弦定理得：；

，，

，整理可得：；

，即，

（当且仅当时取等号），，

即的最大值为.

18、答案：（1）96；

（2）可能取值为360，430，500，.

解析：（1）该米粉店日需求量的平均数为：；

（2）当日需求量为80碗时，该店每天获利

当日需求量为90碗时，该店每天获利（元）；

当日需求量为100碗以上时，该店每天获利（元）．

所以，Y的可能取值为360，430，500

所以，Y低于450元的概率为．

19、答案： （1）证明见解析

（2）1

解析：（1）证明：连接HE，，GF

在正方体中，GF分别是棱、BC的中点

且

四边形是平行四边形

又在中，H，E分别是，AB的中点

，

E，F，G．H四点共面

（2）在底面ABCD中，

.

又由点G到平面DEF的距离为2，所以.

所以.

20、答案：（1）；

（2）直线BP与AQ交点为定点.

解析：（1）与关于y轴对称，，，解得：；

椭圆的左焦点，，，

椭圆的标准方程为：；

（2）由（1）知：，，不妨设A在x轴上方；

当直线AB斜率不存在时，，，

直线，直线，，，

，，

直线，即；直线，即，

由得：，直线BP与AQ交点为；

若直线BP与AQ交点为定点，则该定点必为；

假设当直线AB斜率存在时，直线BP与AQ交点为，

设，，

直线：；直线：；

令，则，，，，

，，

整理可得：，两式作和得：；

，，

设，

由得：，，

此时，满足题意；

综上所述：直线BP与AQ交点为定点.

21、答案：（1）答案见解析；

（2）2

解析：（1）由题意知：定义域为，；

当时，，在上单调递增；

当时，若，；若时，；

在上单调递减，在上单调递增；

综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；

（2）当时，，；

由得：，即；

令，则；

令，则，

在上单调递增，

又，，

，使得，此时，

则当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增，

，，即，

又，，整数k的最大值为2.

22、答案：（1）；；

（2）.

解析：（1）由（t为参数）得：，；

即曲线的普通方程为：；

由得：，，

即曲线的直角坐标方程为：；

（2）设曲线上的动点，

则P到直线的距离，

，，，

，，

即曲线上的动点到曲线距离的取值范围为.

23、答案：（1）或

（2）

解析：（1）当时，

即，解得，故此时

当时，

即，解得，故此时无解

当时，

即，解得，故此时

综上所述不等式的解集为或

（2）当时，，此时当时，有最小值3，

当时，，此时当时，有最小值1，

当时，，此时当时，有最小值1，

综上所述，的最小值为1

对任意恒成立，则，解得

所以实数m的取值范围是