2022届四川省凉山州高三第三次诊断考试（凉山三诊）数学（文科）含答案
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数学（理科）
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、选择题（本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.）
1．集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数，则（ ）
A．5 B． C． D．1
3．已知直线，，且，点到直线的距离（ ）
A． B． C． D．
4．下列选项中，p是q的充分不必要条件的是（ ）
A．中，，
B．，，b，c成等比数列
C．是数列的前n项和，p：数列为等比数列，q：数列，，成等比数列
D．，，
5．某大型露天体育场馆为了倡导绿色可循环的理念，使整个系统的碳排放量接近于0，场馆配备了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染排放量N（mg/L）与时间t的关系为（为最初污染物数量），如果前3个小时清除了30%的污染物，那么污染物清楚至最初的49%还需要（ ）小时．
A．9 B．6 C．4 D．3
6．如果一双曲线的实轴及虚轴分别是另一双曲线的虚轴及实轴，则称此两双曲线互为共轭双曲线．已知双曲线，互为共轭双曲线，的焦点分别为，，顶点分别为，，的焦点分别为，，顶点分别为，，过四个焦点的圆的面积为，四边形的面积为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．将函数的图象向左平移个单位，再将纵坐标伸长为原来的4倍（横坐标不变）得到函数的图象，且的图象上一条对称轴与一个对称中心的最小距离为，对于函数有以下几个结论：
（1）；（2）它的图象关于直线对称；（3）它的图象关于点对称；（4）若，则；则上述结论正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．函数，若在上有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．等差数列满足且，，若，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知下图中正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为2，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．已知抛物线，焦点为F，点M是抛物线C上的动点，过点F作直线的垂线，垂足为P，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
12．设函数若，且的最小值为，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．计算：______．
14．2022年中央一号文件公布，提出全面推进乡镇村振兴中点工作，而实施乡村振兴战略关键在教育．某乡村建有农业科技图书馆供村民免费借阅，现有近5年的借阅数据如下表：
年份 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 | 2021 |
年份代码x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
年借阅量y（万册） | 4.8 | 5.2 | 5.4 | 5.7 | 5.9 |
根据上表所得y关于x的线性回归方程为：则预计2022年借阅量大约为______万册（精确到小数点后两位）．
15．中，角A，B，C对边分别为a，b，c，点P是所在平面内的动点，满足（）．射线BP与边AC交于点D．若，，则面积的最小值为______．
16．正四面体ABCD的棱长为a，E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，若截面面积最小值为，则______．
三、解答题：（解答过程应写出必要的文字说明，解答步骤．共70分）
（一）必考题：每题12分，共60分
17．已知数列为等差数列，，数列为等比数列，，且满足，．
（1）求，；
（2）若中的各项均为正数，设数列的前n项和为，求数列的前n项和．
18．2022年，举世瞩目的冬奥会在北京举行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”有着可爱的外表和丰富的寓意，自亮相以来就好评不断，深受各国人民的喜爱．某市一媒体就本市小学生是否喜爱这两种吉祥物对他们进行了一次抽样调查，列联表如下：（单位：人）
| 喜爱 | 不喜爱 | 合计 |
男生 | 30 | 20 | 50 |
女生 | 40 | 10 | 50 |
合计 | 70 | 30 | 100 |
（1）根据列联表及参考公式和数据，能否在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为是否喜爱吉祥物与性别有关？
（2）现从样本男生中按分层抽样的方法取出6分，再从这6人中随机抽取3人，记抽取的3人中有X人喜爱吉祥物，求X的分布列和期望．
参考数据及公式：，其中
参考数据：
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
19．如图，在直三棱柱中，，，E，F为线段，的中点．
（1）证明：平面EF⊥平面；
（2）若直线EA与平面ABC所成的角大小为，求点C到平面的距离．
20．已知椭圆经过点，过其焦点且垂直于x轴的弦长为1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知曲线，在点P处的切线l交于M，N两点，且，求l的方程．
21．已知函数（，e为自然对数的底数）．
（1）若在处的切线与直线平行，求的极值；
（2）若，求证：．
（二）选做题：（共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．）
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为：（t为参数，），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）已知点，设曲线与曲线的交点分别为A，B，若，求．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数，
（1）若的解集为，求k的值；
（2）若，关于x的不等式有解，求实数a的取值范围．
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数学（文科）参考答案及评分意见
评分说明：
1. 本解法给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解答与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则；
2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变试题的内容及难度可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分的正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分；
3. 解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数；
4. 只给整数分数，选择题不给中间分.
一、选择题(每小题 5 分，共 60 分)
1-5. C B D D D 6-10. A C A D B 11-12. A B
二、填空题(每小题 5 分，共 20 分)
13. 18 14. 6.12 15. 16.
三、解答题（共 70 分）
17.解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为
解得：
————————————（6分）
(2) 由（1）得，
数列是首项为1，公差为1的等差数列
数列的前项和
所以，数列的前项和为
————————————（12分）
- 解：
所以，不能在犯错概率不超过2.5%的前提下，认为是否喜爱吉祥物与性别有关. ——（6分）
（2）由题意知，按分成抽样方法抽取出来的6人中，有男生4人，记为;
有女生2人，记为,则从这6人中抽取3人的不同取法为
所以，抽取的3人中至多1人是女生的概率 ————————（12分）
19.(1)证明：取的中点，连结（如图）
∵在中，、分别为、的中点
∴且
又在直三棱柱中，E是的中心
∴且
∴且
∴四边开BEFM为平行四边形
∴
∵在中，M为AC的中点，且
∴，且
∵平面，平面
∴
又
∴平面
∴平面
∵平面
（2）由（1）知，
因为直线与平面所成的角大小为
设点到平面的距离为
————————（12分）
20解：（1）设椭圆的半焦距为，
将代入，得
椭圆过
即：椭圆方程为 ————————————（4分）
（2）设
由，得
∴切线l得方程为，
代入中，得
，即
，满足△>0
∴直线l得方程为或 ————————————（12分）
21.解：（1） 则
处的切线与平行
即 即
由得，由得或
在为单调递减，在为单调递增
在处取得极小值，
在处取得极大值. ————————————（5分）
（2）设
设，设，
由，得，由，得
在上单调递减，在上单调递增
成立 ————————————（12分）
22.解：（1）的普通方程为，
∴的直角坐标方程为： ————————————（5分）
（2）将代入中得，
设对应的参数分别为则
∵，即，
即 ， ∴ 满足条件的不存在 ——————————（10分）
- 解（1）∵的解集为 即的根为
∴ ∴ ————————————（5分）
（2）
有解 等价于 有解
又
即成立 ∴ 即
∴的取值范围为.
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四川省凉山州2022届高三第三次诊断考试数学（理科）试题-826590e3079e4c66810ca202b5555d78： 这是一份四川省凉山州2022届高三第三次诊断考试数学（理科）试题-826590e3079e4c66810ca202b5555d78，共25页。
