大题专项训练14：立体几何（计算面积、体积、距离）-2022届高三数学二轮复习

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二轮大题专练14—立体几何（计算面积、体积、距离）1．从是的中点，③是的内心三个条件中任选一个条件，补充在下面问题中，并完成解答，在四棱锥中，底面是矩形，底面，且，，，，分别为，的中点．（1）判断与平面的位置关系，并证明你的结论；（2）若是侧面上的一点，且_____，求三棱锥的体积．1.解：（1）与平面平行．证明如下：连接，则与交于点，在中，，均为中点，，平面，平面，平面．（2）选择条件①：平面，平面，，又底面是矩形，，，平面，，是的三等分点，且，，三棱锥的高为，底面，底面，，在中，为中点，，三棱锥的体积为：，选择条件②：平面，平面，，底面是矩形，，，平面，是中点，是中点，在中，，三棱锥的高为，底面，底面，，在中，为中点，，三棱锥的体积为：．选择条件③：平面，平面，，底面是矩形，，，平面，设的内切圆与边相切于点，则，平面，平面，，，三棱锥的高为，在中，，，，，底面，底面，，在中，为中点，，三棱锥的体积为：．2．如图1，在中，，，，分别是，边上的中点，将沿折起到△的位置，使，如图2．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求点到平面的距离．2.（Ⅰ）证明：在图中，，为，边中点  所以．又，所以．在图2中，，且，则平面．又因为平面，所以．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知平面，且平面，所以平面平面，且平面平面，在正△中，过作，垂足为，所以平面．即为三棱锥底面上的高，在△中，．在△中，，，所以．在梯形中，．设点到平面的距离为，因为，所以，解得．即点到平面的距离为．3．如图，平行四边形中，，平面，，，．（1）求证：平面平面；（2）若点，分别是，的中点，求三棱锥的体积．3.解：（1）证明：因为平面，平面，所以．又，，平面平面，平面，所以平面，而平面，所以．在平行四边形中，，所以．由平面，平面，所以，而，平面，平面，所以平面．又平面，所以平面平面．（2）由（1）可知，，而，则为等腰直角三角形，又，所以，连接，由点，分别是，的中点，所以，且，所以，则，在平行四边形中，，为三棱锥的高，所以，所以三棱锥的体积为．4．如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面．（1）求证：；（2）若，，，求三棱柱的高．4.解：（1）证明：连结，则为与的交点，因为侧面为菱形，所以，又平面，，又，平面，平面，平面，由于平面，故．（2）作，垂足为，连结，作，垂足为，由于，，，故平面，所以．又，，平面，平面，所以平面．因为，，所以为等边三角形，又，可得，由于，所以，由，且，得，又为的中点，所以点到平面的距离为，故三棱柱的高为．5．如图，四棱锥中，，平面平面．（Ⅰ）若，证明：；（Ⅱ）若，，且，求的取值范围．5.（Ⅰ）证明：设平面平面，，平面，平面，平面，又平面，平面平面，，，，，平面，平面，，即：．（Ⅱ）解：连接，在中，由余弦定理得，则，故，以点为坐标原点，以，的方向为轴，轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示：则，0，，，0，0，，，，，，，，设，，，则，当时，平面平面，又平面平面，平面平面，平面，，即，，即，由，得，又，，即，，解得或，当时，；当时，，．的长的取值范围为，，．6．如图，在四棱锥中，平面平面，，分别为线段，的中点．四边形是边长为1的正方形，，．（1）求证：平面；（2）求直线与所成角的余弦值；（3）点在直线上，若平面平面，求线段的长．6.解：（1）证明：取线段中点，连结、，点为中点，，，四边形是正方形，，，，，四边形是平行四边形，，平面，平面，平面．（2）解：连结，，为中点，，平面，平面平面，平面平面，，，正方形，，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，1，，，，0，，，1，，，，1，，设直线与所成角为，则．直线与所成角的余弦值为．（3）解：设，，，，，，，，，1，，，1，，设平面的法向量，，，则，取，得，1，，设平面的法向量，，，则，取，得，，，平面平面，，解得，． 7．如图，四棱锥的底面是长方形，侧棱底面，，是的中点．（1）证明：平面；（2）若点在线段（不包含端点）上，二面角为，且直线平面，求线段的长．7.解：（1）证明：连结，交于，连结，底面为长方形，为对角线，的中点，又是的中点，，平面，平面，平面．（2）由底面，知，，二面角为，二面角的平面角，，，底面是正方形，，以为原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，由，得，0，，，0，，，1，，，2，，假设上存在点，使得平面，设，，，，，则，，，2，，，，，，，，，2，，直线平面，，，解得，，．8．如图所示，在三棱锥中，，，，点，分别为，的中点．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求四面体的体积．8.（Ⅰ）证明：因为，所以，，又，，平面，所以平面，又平面，所以，因为，为的中点，所以，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得为三棱锥的高，又点，分别为，的中点，所以，，由余弦定理可得，又，，所以，所以，所以四面体的体积为．