大题专项训练15：立体几何（线线角、线面角）-2022届高三数学二轮复习

这是一份大题专项训练15：立体几何（线线角、线面角）-2022届高三数学二轮复习，共15页。
二轮大题专练15—立体几何（线线角、线面角）1．已知四棱锥中，四边形是菱形，且，为等边三角形，平面平面．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若点是线段上靠近的三等分点，求直线与平面所成角的正弦值．证明：（Ⅰ）取的中点，连接、和，因为为等边三角形，所以；又四边形是菱形，且，所以为等边三角形，所以；又，平面，平面，所以平面，又平面，所以；（Ⅱ）解：因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面；又，所以、、两两垂直；以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如图所示；不妨设，则，，，，0，，，0，；所以，，，，，；设平面的一个法向量为，，，由，得，令，得，1，，又，，，所以，，，又，，，所以，，，设直线与平面所成的角为，则．2．如图，在矩形中，，，点，分别在，上，且，，沿将四边形折成四边形，使点在平面上的射影在直线上．（1）求证：平面平面；（2）求证：平面；（3）求直线与平面所成角的正弦值．解：（1）证明：矩形中，，点在平面上的射影为，则平面，且平面，，又，平面，又平面，平面平面；（2）证明：，平面，平面．平面，由，同理可得平面，又．平面平面，平面；（3）如图所示，过作，过作平面，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系．在平面上的射影在直线上，设，，，；，3，，且，；，解得；，2，；，，，，，；且，5，，设平面的法向量为，，，，解得，令，得，得到平面的法向量为，0，；又，5，，，2，，，，，直线与平面所成角的正弦值为，．3．如图，直三棱柱中，，，若为的中点．（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的正弦值．解：（1）证明：连接，交于点，连接，直三棱柱中，是矩形，是的中点，为的中点，，平面，平面，平面．（2）三棱柱中，，，为的中点，以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，0，，，0，，，0，，，，，，0，，设平面的法向量，，，则，取，得，，，设与平面所成角为，则与平面所成角的正弦值为：．4．如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧面底面，且侧面为菱形，，是的中点，是与的交点．（1）求证：底面；（2）求与平面所成角的正弦值．解：（1）证法一：取的中点，连接，，是与的交点，且侧面是菱形，是的中点，，底面，底面，底面，，，为中点，，，四边形为平行四边形，，底面，底面，底面，，平面，平面，平面底面，平面，底面．证法二：取中点，连接，，是与的交点，且侧面为菱形，是的中点，，，是的中点，，，是的中点，，，，，四边形是平行四边形，，又底面，底面，底面．（2）连接，侧面为菱形，，△是正三角形，，侧面底面，侧面底面，侧面，底面，底面为正三角形，为的中点，，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，底面是边长为2的正三角形，，，，，0，，，1，，，0，，，1，，，1，，，1，，设平面的一个法向量为，，，由，取，得，，，与平面所成角的正弦值为：．5．如图，四棱锥，、分别是、的中点，底面为平行四边形．（1）求证：平面；（2）若，，求异面直线与所成的角的大小．（1）证明：取的中点，连接，，是的中点，，，是的中点，，，，，四边形是平行四边形，，平面，平面，平面．（2）解：由（1）知，，即为直线与所成的角，平行四边形，，设，则，，由余弦定理知，，即，解得，在中，，，故异面直线与所成的角的大小为．6．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，，，，分别是，的中点．（1）证明：；（2）设为线段上的动点，若线段长的最小值为，求直线与直线所成的角余弦值．解：（Ⅰ）证明：底面为菱形，，为正三角形，是的中点，，又，，又平面，，而，平面，平面，．（Ⅱ）过作于，连，由（Ⅰ）得平面，，线段长的最小值为，，，，，，解得．，，，分别是，的中点，，异面直线与所成的角即为与所成的角．．直线与直线所成的角余弦值为．故答案为：．7．如图，三棱锥S﹣ABC的底面ABC和侧面SBC都是等边三角形，且平面SBC⊥平面ABC．（Ⅰ）若P点是线段SA的中点，求证：SA⊥平面PBC；（Ⅱ）点Q在线段出上且满足AQ＝，求BQ与平面SAC所成角的正弦值．解：（1）证明：∵△ABC和△SBC都是等边三角形，且有公共边BC，∴AB＝SB＝AC＝SC，∵P是SA的中点，∴SA⊥BP，SA⊥CP，∵BP∩CP＝P，∴SA⊥平面PBC．（2）取BC的中点O，连结OA，OS，由条件得OA，BC，OS两两垂直，以O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系，如图，设AB＝2，则AO＝OS＝，则A（，0，0），B（0，1，0），C（0，﹣1，0），S（0，0，），Q（，0，），∴＝（，1，0），＝（），＝（，﹣1，），设平面SAC的一个法向量为＝（x，y，z），则，令x＝1，得＝（1，﹣，1），设BQ与平面SAC所成角为θ，则BQ与平面SAC所成角的正弦值为：sinθ＝＝＝．8．已知棱台ABC﹣A1B1C1，平面AA1C1C⊥平面A1B1C1，∠B1A1C1＝60°，∠A1B1C1＝90°，AA1＝AC＝CC1＝，D，E分别是BC和A1C1的中点（Ⅰ）证明：DE⊥B1C1；（Ⅱ）求DE与平面BCC1B1所成角的余弦值．解：（Ⅰ）证明：过点A作AO⊥平面A1B1C1，交A1C1于O，连结B1O，设AA1＝AC＝CC1＝＝1，则A1O＝1，A1B1＝2，∴B1O⊥A1C1，B1O＝，以O为原点，OB1，OC1，OA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则B（，﹣，），C（0，1，），D（，，），E（0，，0），B1（），C1（0，3，0），＝（﹣，，﹣），＝（﹣，3，0），＝0，∴DE⊥B1C1．（Ⅱ）解：＝（），＝（0，2，﹣），设平面BCC1B1的法向量＝（x，y，z），则，取y＝，得＝（3，，2），＝（﹣，，﹣），设DE与平面BCC1B1所成角为θ，则sinθ＝＝＝．cosθ＝＝．∴DE与平面BCC1B1所成角的余弦值为．