大题专练训练35：导数（最值与极值问题）-2022届高三数学二轮复习

这是一份大题专练训练35：导数（最值与极值问题）-2022届高三数学二轮复习，共8页。试卷主要包含了函数，已知函数，已知等内容，欢迎下载使用。
二轮大题专练35—导数（最值与极值问题）1．函数．（1）讨论在其定义域上的单调性；（2）设，，分别为的极大值和极小值，若，求的取值范围．解：（1）函数定义域为，，当时，，所以在单调递减；当时，，所以在单调递增；当时，在内有相异两根，设，，，令所以，或；令，；在上递增，在，上递减，在，上递增．（2）依题意可知，在内有相异两根，所以△，又，可得，此时设的两根为，，，，，，由，且，得．，由，得代入上式，得，令，所以，，则，，在上为减函数，从而，即，．2．已知函数．（1）当时，求在点，处的切线方程；（2）若有两个极值点．①求的取值范围；②证明的极小值小于．解：（1）当时，．，．又，在点，处的切线方程为．（2）①的定义域为，．令，△，的对称轴．当△时，即，，故，在上单调递增．此时无极值．当△时，即，，，函数在区间有两个变号零点，，不妨设，其中，．当时，，，在上单调递增；当时，，，在，上单调递减；当时，，，在，上单调递增．当有两个极值点时，的取值范围为．②由①可知，函数有唯一的极小值点为，且．又，．．．令，在上恒成立，在单调递减．，即的极小值小于．3．已知（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，讨论函数的单调增区间；（3）是否存在负实数，使，，函数有最小值？解：（1）当时，，，由，解得或；由，解得，故函数的单调减区间为：，，单调增区间为：；（2），①当，由得到，即增区间为；②当，，得到，即增区间为，；③当，，得到或，即增区间为，，，④当，，即增区间为；⑤当，，得到或，即增区间为，．（3）假设存在负实数，使，，函数有最小值．因，由②分两类（依据：单调性，极小值点是否在区间，上是分类“契机” ①当，当，，，递增，，即，解得；②当，由单调性知：，化简得：，解得，不合要求．综上，存在这样的负数，且为所求．4．已知函数．（1）若是函数的一个极值点，求实数的值；（2）当时，讨论函数的单调性；（3）当且时，求证：函数的最小值小于．解：（1），，依题意有，即，解得：；（2），当，即时，由，得或；  由，得，故在，上单调递增，在，上单调递减．当，即时，在上恒成立，故在上单调递增，当，即时，由，得或；由，得，故在，，上递增，在上递减．（3）当，且时，由（2）知函数在上递减，在，上递增，所以时，，令（a），，则（a），，则（a）在上恒成立，所以（a）在上是减函数，所以（a）（2），所以（a）在上是减函数，所以（a）（2），即函数的最小值小于．5．已知函数．（Ⅰ）若在处取到极值，求的值及函数的单调区间；（Ⅱ）若，求的取值范围．解：（Ⅰ）函数的定义域是，，在处取到极值，，解得：，时，，，故在递增，而，故时，，时，，在递减，在递增，故是的极小值点，符合题意；（Ⅱ）结合（Ⅰ），令，得，即存在，使得①，两边取对数得：，使得时，，，时，，故在递减，在，递增，故，①两边取对数得：，②结合①②故，令，则，则，故在递减，而（1），故时，，即时，，此时，．6．已知函数与在公共点处有共同的切线．（1）求实数的值；（2）设，若存在，使得当，时，的值域是，，求实数的取值范围．解：（1），，（1分）由题意知（1）（1），（2分）即，得．（3分）（2）由题得，定义域为，．（4分）①当时，，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以当，时，（1），的值域是，，不符合题意；（6分）②当时，，（ⅰ）当，即时，在上单调递减，符合题意，（7分）（ⅱ）当，即时，，的变化情况如下：100单调递减极小值单调递增极大值单调递减只需满足（2）（1），且，解得；（9分）（ⅲ）当，即时，，的变化情况如下：100单调递减极小值单调递增极大值单调递减若满足题意，只需满足，即，即只需满足，设，，所以（a）在上单调递增，所以当时，，所以满足题意；（11分）综上，实数的取值范围是．（12分）