期中常考题型 专题训练2（二次函数与二次不等式）-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册

这是一份期中常考题型 专题训练2（二次函数与二次不等式）-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册，共21页。
期中专题复习之二次函数与二次不等式考向二  二次函数的图像与性质1、已知函数在闭区间，上有最大值5，最小值1，则的取值范围是　　A．， B．， C．， D．，【分析】函数的对称轴方程为，，，由此能求出的取值范围．【解答】解：函数在闭区间，上有最大值5，最小值1，函数的对称轴方程为，，，．的取值范围是，．故选：．2、函数在，上不单调，则实数的取值范围是　　A． B．， C．， D．，【分析】根据一元二次函数在，上不单调，故对称轴在区间上，建立不等关系解出即可．【解答】解：因为函数在，上不单调，所以，解得，故选：．3、已知函数，且是偶函数，则的大小关系是(　　)A．    B．)C．    D．【难度】★【答案】A【解析】由是偶函数可知函数关于直线对称，所以，又该函数图象开口向上，当时单调递增，故，故答案为A.4．已知函数，且函数在上是单调函数，则的取值范围是____________.【答案】或5、我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度（单位：与时间（单位：之间的关系为，那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为　　A．26米 B．28米 C．30米 D．32米【分析】因为烟花冲出后在爆裂的最佳时刻为高度最大时，所以最佳时刻为对称轴处，从而求出最佳时刻距地面高度．【解答】解：，烟花冲出后在爆裂的最佳时刻为，此时，故选：．6、若函数的定义域与值域都是，，则实数　　．【解答】解：函数的对称轴方程为，所以函数在，上为减函数，又函数在，上的值域也为，，则，即，由①得：，代入②得：，解得：（舍，．把代入得：．故答案为5．7、已知函数在区间上的最大值为4，求实数的值.【答案】或【解析】（1）若，不符合题意；（2）若则，由，得；（3）若时，则，由，得；综上知或8、已知函数．（1）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；（2）若不等式的解集为，求，时的值域．【解答】解：（1）函数的对称轴为，函数在上是增函数，，解得，实数的取值范围为：，．（2）不等式的解集为，方程的根为0，2，由根与系数的关系得：，即，函数，对称轴为，当，时：（1），（3），，时的值域为，．9、已知二次函数在区间，上有最大值4，最小值0．（1）求函数的解析式；（2）设．若在，时恒成立，求的取值范围．【解答】解：（1）其对称轴，，上，当时，取得最小值为，①．当时，取得最大值为，②．由①②解得：，故得函数的解析式为：（2）由当，时，恒成立，即恒成立，．设，则，可得：．当时，故得的取值范围是， 10、若二次函数满足，且．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）设，在，单调递增，求的取值范围．【解答】解：设，，，且，，且，整理可得，，，，，，，，；由（1）可知，，当时，在，单调递增，符合题意，当时，对称轴，由在，单调递增可得，，解可得，，综上可得，的范围，．11、设是定义在上的函数，且对任意实数，有．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）若，求和的值．【解答】解：（Ⅰ）依题意，令，则，，；（Ⅱ）依题意，方程有唯一解，即方程有唯一解，，解得．12、已知二次函数，（1）且不等式对一切实数恒成立．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设函数，关于的不等式，在，有解，求实数的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）二次函数，（1）；①；又不等式对一切实数恒成立；对一切实数恒成立；当时，不恒成立，不合题意，舍去；当时，要使得对一切实数恒成立，需要满足：；②由①②解得，；故函数的解析式为：．（Ⅱ）把代入函数；得；则关于的不等式在，有解，整理得，在，有解；只要使得；设，，，则，，，当时，；所以，，解得；或；故实数的取值范围为，，．13、某镇在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展养殖业，以增加收入，政府计划共投入72万元，全部用于甲、乙两个合作社，每个合作社至少要投入15万元，其中甲合作社养鱼，乙合作社养鸡，在对市场进行调研分析发现养鱼的收益、养鸡的收益与投入（单位：万元）满足，．设甲合作社的投入为（单位：万元），两个合作社的总收益为（单位：万元）．（1）当甲合作社的投入为25万元时，求两个合作社的总收益；（2）试问如何安排甲、乙两个合作社的投入，才能使总收益最大？【解答】解：（1）当甲合作社投入为25万元时，乙合作社投入为47万元，此时两个个合作社的总收益为： （万元；（2）甲合作社的投入为万元，则乙合作社的投入为万元，当时，则，．令，得，则总收益为，显然当时，函数取得最大值，即此时甲投入16万元，乙投入56万元时，总收益最大，最大收益为89万元、当时，则，则，则在，上单调递减，．即此时甲、乙总收益小于87万元．又，该公司在甲合作社投入16万元，在乙合作社投入56万元，总收益最大，最大总收益为89万元．14、已知二次函数的图象过点，且不等式的解集为．（1）求的解析式；（2）若在区间，上有最小值2，求实数的值；（3）设，若当，时，函数的图象恒在图象的上方，求实数的取值范围．【解答】解：（1）由，得，又1和3是方程的两根，所以，．解得，，因此．（2），，．对称轴为，分情况讨论：当时，在，上为增函数，，解得，符合题意；当时，在，上为减函数，在，上为增函数，，解得，其中舍去；当时，在，上为减函数，（2），解得，不符合题意．综上可得，或．（3）由题意，当，时，恒成立．即，，．设，，，则．令，于是上述函数转化为，因为，，所以，，又在，上单调递减，所以当时，，于是实数的取值范围是． 考向三  二次不等式1、关于的不等式的解集中恰有两个正整数，则实数的取值范围是　　A．， B．， C．， D．【解答】解：①当时，的解集为，不满足解集中恰有两个正整数；②当时，不等式解集为；③当时，的解集为，又因为解集中恰有两个正整数，即解集中包含2，3，，故选：．2、已知，关于的不等式的解集是　　A．或 B． C．或 D．【解答】解：不等式可化为；方程的两根为，，且，，；原不等式的解集为，或．故选：．3、若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为　　A． B．， C． D．，【解答】解：①时，恒成立；②，△，解得综上，，故选：．4、对，不等式恒成立，则实数的取值范围是　　A．， B．， C．， D．，【解答】解：对，不等式恒成立，①当且，即时，对恒成立，满足题意；②当且时，则有，解得．综合①②，可得，故实数的取值范围为，，故选：．5、已知不等式的解集为，则不等式的解集为　　．【解答】解：不等式的解集为，所以方程的解为2和6，且；由根与系数的关系得，，解得，，且；所以不等式化为，解得或，所以所求不等式的解集为或．故选：或．6、已知函数．（1）解关于的不等式；（2）若，，恒成立，求实数的取值范围．【分析】（1）不等式等价于，通过与的大小比较，求解即可．（2），设（a），，，要使（a）在，上恒成立，只需，求解即可．【解答】解：（1）不等式等价于，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．（2），设（a），，，要使（a）在，上恒成立，只需，即解得或，所以的取值范围为或．7、已知不等式的解集为．（Ⅰ）求实数，的值（Ⅱ）解不等式．【解答】解：因为不等式的解集为，所以1和是方程的两个实数根．故：，解得．由知不等式，即，即．当时，解得或，所以原不等式的解集为：或；当时，解得，所以原不等式的解集为：，当时，解得或，所以，原不等式的解集为：或．8、（1）若关于的不等式的解集为或，求，的值；（2）解关于的不等式．【解答】解：（1）由题意可知，方程的两个不相等的实根分别为1和，于是有，解得；（2）原不等式等价于，即，①当时，原不等式的解集为；②当时，方程的两根为和；当时，不等式的解集为或；当时，若，即，原不等式的解集为；若，即，原不等式的解集为；若，即，原不等式的解集为，综上所得：当时，原不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为． 考向三  二次方程与函数的关系1、（多选）若关于的一元二次方程有实数根，，且，则下列结论中正确的有　　A．当时，， B． C．当时， D．二次函数的图象与轴交点的坐标为和【解答】解：当时，方程化为，解得，，故正确；函数，要使方程有实数根，，且，则，故正确；方程的两根为2，3，则方程的两根，，则，故错误；二次函数，二次函数的图象与轴交点的坐标为和，故正确．故选：．2、关于的方程的两根分别在区间和内，则实数的取值范围是　　A． B． C．，， D．【解答】解：设函数，方程的两根分别在区间和内，函数的两个零点分别在区间和内，，即，解得：或，故选：． 3、关于x的方程的两根分别在区间和内，则实数a的取值范围是(   )A. B.C. D.【答案】B构造二次函数，其开口向上.依题意，的零点分别在区间和内，所以，即，解得.故选B.4、已知方程的一个实根在区间内，另一个实根大于，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．或【答案】B【解析】令，∵方程的一个实根在区间内，另一个实根大于，∴，解得．