2022年福建省福州市中考数学一模试卷

2022年福建省福州市中考数学一模试卷

1. 下列道路交通标志图中，是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

2. 下列事作中，必然事件是

A. 通常温度降到以下，纯净的水结冰
B. 射市运动员射击一次，命中靶心
C. 汽车累积行驶5000公里，从未出现故障
D. 经过有交通信号灯的路口，通到绿灯

3. 在一个不透明的盒子中装有红球和白球共20个，这些球除颜色外无其它差别，随机从盒子中摸出一个球，记下球的颜色后，放回并摇匀．通过大量的实验后发现摸出白球的频率稳定在，则盒子中白球的个数可能是

A. 4 B. 8 C. 10 D. 16

4. 下列y关于x的函数中，是二次函数的是

A.  B.
C.  D.

5. 如图，点D、E分别在的边AB、AC上，且，，，，则AC的长是
    

A.  B.  C. 3 D.

6. 二次函数的图象与x轴交点的情况是

A. 没有公共点 B. 有一个公共点 C. 有两个公共点 D. 与a的值有关

7. 如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到的两个矩形都与原矩形相似，则原矩形长与宽的比是
    

A. 2：1 B. 1：2 C. 3：2 D. ：1

8. 函数的图象是

A.  B.
C.  D.

9. 我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽和为60步，问长比宽多多少步？若设长比宽多x步，则下列符合题意的方程是

A.  B.
C.  D.

10. 已知点，，均在抛物线其中下列说法正确的是

A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则

11. 点关于原点对称的点的坐标是______.
12. 底面半径为3，母线长为5的圆锥的高是______.
13. 若是一元二次方程的解，则m的值是______.
14. 密闭容器内有一定质量的二氧化碳，在温度不变的情况下，当容器的体积单位：变化时，气体的密度单位：随之变化，已知密度是体积V的反比例函数关系，它的图象如图所示，则当时，相应的体积V是______
    
     

15. 如图，，，，，两两不相交，且半径都是1，则图中阴影部分的面积是______.
    
     

16. 如图，在四边形ABCD中，，，O为AB中点，过点O作于点是AB上的一个动点不C与点A，B重合，连接CE，DE，若且现给出以下结论：
    与一定相似；以点O为圆心，OA长为半径作，则与CD可能相离；的最大值是；当OM最大时，
    其中正确的是______写出所有正确结论的序号
17. 解方程：
    
    
    
    
    
    
     
18. 如图，内接于；，过圆心O作，垂足为若的半径为6，求OD的长．
    
    
    
    
     

19. 一个不透明的盒子中有2枚黑棋，3枚白棋，这些棋除颜色外无其它区别．现将盒子中的棋摇匀，随机摸出一枚棋，不放回，再随机摸出一枚棋．
    请用列表法或画树状图法表示出所有可能的情况；
    求摸出的2枚棋都是白棋的概率．
    
    
    
    
    
    
     
20. 汽车刹车后行驶的距离单位：关于行驶的时间单位：的函数解析式是当时，；当时，
    求该函数的解析式；
    请结合平面直角坐标系中给出的点，画出符合题意的函数图象，并写出汽车刹车后到停下来前进了多远？
     

21. 如图，已知线段BC绕某定点O顺时针旋转得到线段EF，其中点B的对应点是
    请确定点O的位置要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；
    在的情况下，点A位于BC上方，点D位于EF右侧，且，均为等边三角形．求证：可由绕点O顺时针旋转得到．
    
    
    
    
    
    
     
22. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象交点的横坐标是
    求k的值；
    若A是该反比例函数图象上的点，连接OA，将线段OA绕点O顺时针旋转得到线段OB，点B恰好在该一次函数的图象上，求点A的坐标．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，AB是半圆O的直径，C为半圆O上的点不与A，B重合，连接AC，的角平分线交半圆O于点D，过点D作AC的垂线，垂足为E，连接BE交AD于点
    求证：DE是半圆O的切线；
    若，半圆O的半径为4，求DF的长．
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD有交点，且点E与点C在BD同侧，连接BE，CE，DE，若∽
    求证：；
    若，，，求的面积．

25. 已知抛物线过点，，
    求抛物线的解析式；
    已知过原点的直线与该抛物线交于A，B两点点A在点B右侧，该抛物线的顶点为C，连接AC，BC，点D在点A，C之间的抛物线上运动不与点A，C重合
    ①当点A的横坐标是4时，若的面积与的面积相等，求点D的坐标；
    ②若直线OD与抛物线的另一交点为E，点F在射线ED上，且点F的纵坐标为，求证：
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：
根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
 

2.【答案】A
 

【解析】解：温度降到0摄氏度以下，纯净的水一定会结冰，是必然事件，
故A符合题意．
射击运动员射击一次，命中靶心可能会发生，也有可能不发生，是随机事件，
故B不合题意．
汽车累计行驶5000公里，从未出现故障，可能会发生，也有可能不发生，是随机事件，
故C不合题意．
经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯，可能会发生，也有可能不发生，是随机事件．
故D不合题意．
故选：
根据事件发生的可能性大小依次判断即可．
本题考查必然事件，理解各事件的含义，判断它们发生的可能性大小是求解本题的关键．
 

3.【答案】B
 

【解析】解：根据题意，盒子中白球的个数可能是个，
故选：
用球的总个数乘以摸出白球的频率稳定值即可．
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
 

4.【答案】A
 

【解析】解：A、，是二次函数，故A符合题意；
B、，是一次函数，故B不符合题意；
C、，不是二次函数，故C不符合题意；
D、，不是二次函数，故D不符合题意；
故选：
根据二次函数的定义，、b、c为常数，，判断即可．
本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
 

5.【答案】C
 

【解析】解：，，
，
，，
∽，
，
，
，
故选：
根据两角相等的两个三角形相似证明∽，然后利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

6.【答案】C
 

【解析】解：二次函数，
，
二次函数图象与x轴交点情况是两个交点．
故选：
求出根的判别式的值，即可作出判断．
本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数是常数，的交点与一元二次方程根之间的关系．
决定抛物线与x轴的交点个数．
时，抛物线与x轴有2个交点；
时，抛物线与x轴有1个交点；
时，抛物线与x轴没有交点．
 

7.【答案】D
 

【解析】解：设原来矩形的长为x，宽为y，
则对折后的矩形的长为y，宽为，
得到的两个矩形都和原矩形相似，
：：，
解得x：：
故选：
表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，然后求解．
本题主要利用相似多边形对应边成比例的性质，需要熟练掌握．
 

8.【答案】C
 

【解析】解：函数中的，且关于y轴对称．
选项C符合题意．
故选：
根据反比例函数的值域进行判断．
本题考查了反比例函数的图象．解题时，从函数解析式入手分析得到：y的值是正数，且，由此得到该函数图象．
 

9.【答案】B
 

【解析】解：长与宽和为60步，长比宽多x步，
长为步，宽为步．
依题意得：
故选：
根据长与宽之间的关系，可得出长为步，宽为步，利用矩形的面积计算公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

10.【答案】D
 

【解析】解：，
函数的顶点坐标为，即为点B，
当时，抛物线开口向下，则当x越靠近3时，y的值越大，
当时，，
当时，，
当时，抛物线开口向上，则当x越靠近3时，y的值越小，
当时，，
故选项A，B无法确定，不符合题意；
当时，是最小值，此时，开口向上，则当x越靠近3时，y的值越小，
，故选项D正确，符合题意．
故选：
先将抛物线的解析式化为顶点式，然后得到函数的顶点即为点B，再由a的正负分情况讨论，得到y之间的大小关系．
本题主要考查二次函数的性质，熟知由抛物线的开口方向和点到对称轴的距离大小决定对应y值的大小是解题关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：根据两个点关于原点对称，
点关于原点对称的点的坐标是；
故答案为
根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是；
本题考查了关于原点对称的点的坐标，运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．
 

12.【答案】4
 

【解析】解：由题意得圆锥的高，
故答案为：
根据勾股定理求得圆锥的高即可．
本题考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的高、底面半径及母线构成直角三角形的三边长，难度不大．
 

13.【答案】2
 

【解析】解：把代入得，
解得
故答案为：
根据一元二次方程的解的意义，把代入原方程得到m的一次方程，然后解一次方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
 

14.【答案】3
 

【解析】解：设，把代入得：
，
故，
则当时，相应的体积
故答案为：
直接利用反比例函数解析式求法得出，再把代入求出答案．
此题主要考查了反比例函数的应用，正确求出反比例函数解析式是解题关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：五边形ABCDE的内角和，
所以阴影部分的面积，
答：图中阴影部分的面积是，
故答案为：
先根据多边形的内角和定理求出五边形的内角和，阴影部分得面积=圆心角为，半径为1的扇形的面积，再根据扇形的面积公式求出答案即可．
本题考查了相交两圆的性质，扇形的面积等知识点，能求出圆心角的度数的和是解此题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：，，
，
∽，
故正确；
，
，
①当点E在线段BO上时，如图，

，且，
与CD相交；
②当点E与圆心O重合时，如图，

，且，
与CD相切；
③当点E在线段OA上时，如图，
，且，

与CD相交；
综上，与CD相交或相切；
故②错误；
由可知，当点E与圆心O重合时，与CD相切，如图，此时OM的值最大，且，
故正确；
当OM最大时，如图，

，
设，，且，
，
，
，
，
解得：，
，
即OM最大时，，
故正确，
正确的是，
故答案为：
利用∽，故正确；根据点E在线段AB上的位置，分三种情形，分别通过画图可知，与CD相交或相切；由可知，当点E与圆心O重合时，与CD相切，此时OM的值最大，从而可判断成立；设，，根据的面积可得方程，从而求出CD的长．
本题是圆的综合题，主要考查了直线与圆的位置关系，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，通过点E的位置进行分类讨论，判断出CD与的位置关系是解题的关键．
 

17.【答案】解：移项得：，
配方得：，
即，
开方得：，
原方程的解是：，
 

【解析】本题考查了解一元一次方程和用配方法解一元二次方程的应用，关键是配方后得出移项后配方得出，推出，开方后得出方程，求出方程的解即可．
 

18.【答案】解：如图，连接OB，OC，

，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
在中，
 

【解析】先证是等边三角形，可得，由勾股定理可求解．
本题考查了三角形的外接圆和外心，等边三角形的性质，勾股定理等知识，掌握圆周角定理是解题的关键．
 

19.【答案】解：列表如下：

由表知，共有20种等可能结果，其中摸出的2枚棋都是白棋的有6种结果，
所以摸出的2枚棋都是白棋的概率为
 

【解析】列表可得所有等可能结果；
从表格中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
 

20.【答案】解：当时，；当时，，
，解得，
该函数的解析式为；
，
时，S最大为，即汽车刹车后到停下来前进了米，
在中，当时，当时，当时，，
描点画出符合题意的函数图象如下：

 

【解析】用待定系数法即可得函数的解析式；
把中解析式化为顶点式即可得汽车刹车后到停下来前进了米，描点连线即可画出函数图象．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握二次函数的性质及应用．
 

21.【答案】解：如图，点O为所作；

证明：连接OA、OB、OC、OE、OD、OF，如图，
线段BC绕某定点O顺时针旋转得到线段EF，
，，，，
绕点O顺时针旋转得到，
，
，均为等边三角形，
，，
，
≌，
，，
，
可由绕点O顺时针旋转得到．
 

【解析】分别作BE和CF的垂直平分线，它们的交点即为O点；
连接OA、OB、OC、OE、OD、OF，如图，利用旋转的性质得到，，，，则可判断绕点O顺时针旋转得到，接着证明≌得到，，所以，然后利用旋转的定义得到结论．
本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了等边三角形的性质．
 

22.【答案】解：设交点坐标为，
在一次函数的图象上，
，
交点坐标为，
代入可得，
如图，分别过点A和点B作x轴的垂线，垂足分别为C和D，

，
，
设，
由旋转的性质可知，，，
，
，
≌，
，，
，
点B在上，
，解得或，
或
 

【解析】根据交点的横坐标求出交点的坐标，代入反比例函数的解析式，即可求出k；
由OA旋转到OB，以及边角关系可得≌，从而可以表示出点B的坐标，进而可得点A的坐标．
本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，三角形全等的判定及性质，分式方程的解法，利用全等用参数表达点B的坐标是解题关键．
 

23.【答案】证明：如图，连接OD，
，
，
是的角平分线，
，
，
，
，
，
是圆O的半径，
是半圆O的切线；

解：如图，连接BD，
，
∽，
，
，
，
半圆O的半径为4，
，
，
∽，
，
，
，
，
，，
∽，
，
，
，

答：DF的长为
 

【解析】连接OD，根据已知条件证明，进而可以解决问题；
连接BD，根据，可得∽，可得，证明∽，可得，所以，再证明∽，可得，求出AD，进而可以解决问题．
此题主要考查了圆的切线的性质与判定，也利用相似三角形的性质与判定解决问题，解题时首先利用已知条件证明切线，然后利用相似三角形的性质解决问题．
 

24.【答案】证明：，
，
∽，
，
，
，
；
解：过点A作于F，
，
，
设，则，
∽，
，
，
在中，，
，
，
，
十，
，
∽，
，
，
，
，
，
过点D作于N，
在中，，
，
，
，


 

【解析】根据四边形内角和定理求出，再根据相似三角形的性质证得，可得，再根据周角即可证明；
过点A作于F，过点D作于N，设，则，通过证明∽，求得，解直角三角形得，再根据相似三角形的性质得出BE的长和的度数，由勾股定理得DN，则答案可解．
本题考查了相似三角形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三边形解决问题．
 

25.【答案】解：抛物线过点，，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
，
将点代入，
，
；
①点A的横坐标是4，
，
设直线AB的解析式为，
，
，
，
联立方程组，
解得或，
，
如图1，过点D作轴交直线AB于点M，设，则，
，
，
，
的面积与的面积相等，
，
，
，
或，
点D在点A，C之间的抛物线上运动不与点A，C重合，
，
；
②设直线ED的解析式为，
设，，
联立方程组，
，
，，
，，
如图2，过点E作轴交于G，过点D作轴交于H，过点F作轴，交EG于点P，交DH于点Q，
，
，，
点F的纵坐标为，
，
，
，
，
，

 

【解析】由所给的点可知抛物线的对称轴为直线，由此可求m的值，再将点代入即可求解析式；
①求出和直线AB的解析式，联立方程组，求出，过点D作轴交直线AB于点M，设，则，则，再由三角形的面积关系可得，即，求出t的值即可求D点坐标；
②设直线ED的解析式为，设，，联立方程组，可求出，，过点E作轴交于G，过点D作轴交于H，过点F作轴，交EG于点P，交DH于点Q，由，可得，，再求出，即可证明所求式子．
本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行线的性质，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．