模拟考场卷04-2021-2022学年高一数学下学期期末复习备考精准测试卷（人教A版2019必修第二册）

高一下学期期中复习备考精准测试卷---第三篇  模拟考场卷

                         专题4  模拟考场卷

                 （考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1． 复数的共轭复数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先将复数化简，然后得出其共轭复数

【详解】，所以复数的共轭复数为

2． 设事件A，B，已知P（A）＝，P（B）＝，P(A∪B)＝，则A，B之间的关系一定为（    ）

A．两个任意事件 B．互斥事件

C．非互斥事件 D．对立事件

【答案】B

【分析】由题意先求P（A）＋P（B），然后检验P（A）＋P（B）是否与P(A∪B)相等，从而可判断是否满足互斥关系

【详解】因为P（A）＋P（B）＝＝P(A∪B)，所以A，B之间的关系一定为互斥事件．

3． 甲、乙两名射击运动爱好者在相同条件下各射击次，中靶环数情况如图所示．则甲、乙两人中靶环数的方差分别为（   ）

A．， B．， C．， D．，

【答案】D

【分析】求出平均数，利用方差公式即可求解.

【详解】实线的数字为：，虚线的数字为：，所以，,

.

4． 设，表示两条直线，，表示两个平面，则下列命题正确的是（    ）

A．若，.，则             B．若，，则

C．若，，则            D．若，，则

【答案】D

【分析】利用线面平行的位置关系可判断A；根据线面之间的位置关系可判断B、C；利用面面垂直的判定定理可判断D.

【详解】A错，∵线面平行，面中的线与此线的关系是平行或者异面，

B错，∵与面中一线平行的直线与此面的关系可能是在面内或者与面平行，

C错，∵两面垂直，与其中一面平行的直线与另一面的关系可能是平行，在面内也可能垂直；

D对，∵线与面平行，线垂直于另一面，可证得两面垂直，

5． 在新冠疫情的冲击下，全球经济受到重创，右图是各国公布的2020年第二季度国内生产值（GDP）同比增长率，现从这5个国家中任取2个国家，则这2个国家中第二季度GDP同比增长率至少有1个低于的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用列举法求解即可

【详解】令中国、澳大利亚、印度、英国、美国的2020年第二季度国内生产值（GDP）同比增长率分别为A，B，C，D，E，其中C，D都低于，则从这5个国家中任取2个国家有：

AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10种，其中至少有1个低于有AC，AD，BC，BD，CD，CE，DE共7种，所以所求概率为.

6． 已知平面四边形满足，平面内点满足，与交于点，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用基底表示，对照即可得到结果.

【详解】易知，，

，∴，

7． 已知：空间四边形ABCD如图所示，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且，，则直线FH与直线EG（    ）

A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直

【答案】B

【分析】由已知为三角形的中位线，从而且，由，得在四边形中，，即，，，四点共面，且，由此能得出结论．

【详解】

如图所示，连接EF,GH.

四边形是空间四边形，、分别是、的中点，为三角形的中位线

且又，，且，

在四边形中，，即，，，四点共面，且，

四边形是梯形，直线与直线相交，

8． 已知在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由利用余弦定理，可得，正弦定理边化角，在消去，可得，利用三角形是锐角三角形，结合三角函数的有界限，可得的取值范围．

【详解】由及余弦定理，可得，正弦定理边化角，得

，，，是锐角三角形，

，即．，，那么：

则，。

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9． 下列命题中是真命题的有（    ）

A．有A，B，C三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则样本容量为30

B．一组数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数相同

C．若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是甲

D．某一组样本数据为125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，则样本数据落在区间内的频率为

【答案】BD

【分析】利用分层抽样中样本的抽样比等于各层的抽样比即可判断A，求出这一组数据的平均数、众数、中位数即可判B，计算乙的方差，比较方差大小即可判断C，利用落在区间内的个数除以总的个数计算概率，即可判断D，从而得出正确选项.

【详解】对于选项A：根据样本的抽样比等于各层的抽样比，样本容量为，故选项A 不正确；对于选项B：数据1，2，3，3，4，5的平均数为，众数和中位数都是，故选项B正确；对于选项C：乙组数据的平均数为，乙组数据的方差为

，所以这两组数据中较稳定的是乙，故选项C不正确；对于选项D：样本数据落在区间有120，122，116，120有个，所以样本数据落在区间内的频率为，故选项D，

10． 在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】根据正弦定理得到，，根据余弦定理得到，，得到答案.

【详解】，故，根据正弦定理：，即，

，故，，.，化简得到，解得或，若，故，故，不满足，故.

.

11． 已知向量(2，1)，(1，﹣1)，(m﹣2，﹣n)，其中m，n均为正数，且()∥，下列说法正确的是（    ）

A．a与b的夹角为钝角            B．向量a在b方向上的投影为

C．2m+n=4                 D．mn的最大值为2

【答案】CD

【分析】对于A，利用平面向量的数量积运算判断； 对于B，利用平面向量的投影定义判断；对于C，利用()∥判断；对于D，利用C的结论，2m+n=4，结合基本不等式判断.

【详解】对于A，向量(2，1)，(1，﹣1)，则，则的夹角为锐角，错误；

对于B，向量(2，1)，(1，﹣1)，则向量在方向上的投影为，错误；对于C，向量(2，1)，(1，﹣1)，则 (1，2)，若()∥，则(﹣n)=2(m﹣2)，变形可得2m+n=4，正确；

对于D，由C的结论，2m+n=4，而m，n均为正数，则有mn (2m•n) ()2=2，即mn的最大值为2，正确；

12．如图所示，正三角形ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，其中AB＝8，把△ADE沿着DE翻折至A'DE位置，使得二面角A'-DE-B为60°，则下列选项中正确的是（    ）

A．点A'到平面BCED的距离为3     B．直线A'D与直线CE所成的角的余弦值为

C．A'D⊥BD                        D．四棱锥A'-BCED的外接球半径为

【答案】ABD

【分析】作AM⊥DE，交DE于M,延长AM交BC于N,连接A'M,A'N.利用线面垂直的判定定理判定CD⊥平面A'MN,利用面面垂直的判定定理与性质定理得到到平面面BCED的高A'H,并根据二面角的平面角，在直角三角形中计算求得A'H的值，从而判定A;根据异面直线所成角的定义找到∠A'DN就是直线A'D与CE所成的角，利用余弦定理计算即可判定B;利用勾股定理检验可以否定C;先证明底面的外接圆的圆心为N,在利用外接球的球心的性质进行得到四棱锥A'-BCED的外接球的球心为O,则ON⊥平面BCED,且OA'=OC,经过计算求解可得半径从而判定D.

【详解】如图所示，作AM⊥DE，交DE于M,延长AM交BC于N,连接A'M,A'N.则A'M⊥DE,MN⊥DE, ,

∵∩MN=M,∴CD⊥平面A'MN,又∵CD⊂平面ABDC,∴平面A'MN⊥平面ABDC,在平面A'MN中作A'H⊥MN,则A'H⊥平面BCED,∵二面角A'-DE-B为60°，∴∠A'EF=60°，∵正三角形ABC中，AB=8,∴AN=,∴A'M=2,∴A'H=A'Msin60°=3，故A正确；连接DN,易得DN‖EC,DN=EC=4,

∠A'DN就是直线A'D与CE所成的角，DN=DA'=4,A'N=A'M=2,cos∠A'DN=,故B正确；

A'D=DB=4,A'B=,∴,∴A'D与BD不垂直，故C错误’

易得NB=NC=ND=NG=4，∴N为底面梯形BCED的外接圆的圆心，设四棱锥A'-BCED的外接球的球心为O,则ON⊥平面BCED,且OA'=OC,若O在平面BCED上方，入图①所示：设ON=x,外接球的半径为R,过O作A'H的垂线，垂足为P,则HP=x,易得,解得,舍去；

故O在平面BCED下方，如图②所示：设ON=x,外接球的半径为R,过O作A'H的垂线，垂足为P,

则HP=x,易得, 解得,∴,,故D正确.故选:ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且，，则________.

【答案】2

【分析】由向量加减法的几何意义，求得，由为线段的中点，得到，即可求解.

【详解】以为临边作平行四边形，如图所示，由向量加减法的几何意义，可知，因为，所以，又由，且为线段的中点，所以.

14．现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7， 8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了 20组随机数：

7527  0293  7140  9857  0347  4373  8636  6947  1417  4698

0371  6233  2616  8045  6011  3661  9597  7424  7610  4281

根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为__________．

【答案】

【分析】根据数据统计击中目标的次数，再用古典概型概率公式求解.

【详解】由数据得射击4次至少击中3次的次数有15，所以射击4次至少击中3次的概率为.

15．．已知三棱锥中，三点在以为球心的球面上，若，，且三棱锥的体积为，则球的表面积为________.

【答案】

【分析】利用面积公式求出的面积，再利用余弦定理求出的长度，利用正弦定理求出的外接圆半径，根据勾股定理求出球的半径，由球的表面积公式即可求解.

【详解】的面积，设球心到平面的距离为，

则，解得，在中，由余弦定理

，，设的外接圆半径为，由正弦定理，则，解得，设球的半径为，则，所以球的表面积为.

16．（本题第一空2分，第二空3分）已知数据，，，，的方差为，平均数为，则数据，，，的标准差为__________，平均数为_________.

【答案】       

【分析】题中条件给了第一组数据的平均数和方差，根据平均数和标准差的定义推导出第二组数据的平均数和标准差即得.

【详解】根据平均数定义，故平均数.根据方差定义，故标准差

.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）实数分别取什么值时，复数对应的点在：

（1）第三象限；

（2）直线上.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）由题意可得即可求解；

（2）找出复数对应的点的坐标，代入直线的方程即可求解.

【详解】因为是实数，所以，也是实数.

（1）由题意可得 即，解得：，即当时，点在第三象限.

（2）对应点，由题意可得，整理可得：，解得：，即当时，点Z在直线上.

18．（12分） 已知的角，，对边分别为，，而且．

（1）求；（2）求周长的最大值．

【答案】（1）；（2）

【分析】

(1)选①,先利用正弦定理化简可得,进而得到,结合的范围即可求得;选②,先利用正弦定理可得,再利用余弦定理可得,结合的范围即可求得;

(2)由余弦定理可得,再利用基本不等式可得,进而求得周长的最大值.

【详解】

(1)因为,所以,因为,所以,即,因为,所以,所以,即;

(2)由(1)可知:,在中,由余弦定理得,即,

所以,所以,当且仅当时等号成立,

所以,即周长的最大值为.

19．（12分）在等腰梯形中，，，将它沿着两条高，折叠成如图所示的四棱锥（，重合）．

（1）求证：；

（2）设点为线段的中点，试在线段上确定一点，使得平面．

【答案】（1）证明见解析；（2）点为中点.

【分析】

（1）根据线面垂直的判定证平面，再由线面垂直的性质证；

（2）选取、的中点分别为，，由面面平行判定证面面，应用面面平行性质知平面，进而可知点的位置.

【详解】

（1）证明：∵，∴，．又∵，∴平面，∴．

结合已知，四棱锥中，，，∴，即．

又∵，∴平面，∴．

（2）解：取的中点，的中点，连接，，，则，，

∴平面，平面．∵，∴面面．

∵平面，∴平面，故当点为中点时满足条件．

20．（12分）有一种鱼的身体吸收汞，当这种鱼身体中的汞含量超过其体重的（即百万分之一）时，人食用它，就会对人体产生危害.现从一批该鱼中随机选出条鱼，检验鱼体中的汞含量与其体重的比值（单位：），数据统计如下：

（1）求上述数据的中位数、众数、极差，并估计这批鱼该项数据的分位数；

（2）有，两个水池，两水池之间有个完全相同的小孔联通，所有的小孔均在水下，且可以同时通过条鱼.

（ⅰ）将其中汞的含量最低的条鱼分别放入水池和水池中，若这条鱼的游动相互独立，均有的概率进入另一水池且不再游回，求这两条鱼最终在同一水池的概率；

（ⅱ）将其中汞的含量最低的条鱼都先放入水池中，若这条鱼均会独立地且等可能地从其中任意一个小孔由水池进入水池且不再游回水池，求这两条鱼由不同小孔进入水池的概率.

【答案】（1）中位数为；众数为；极差为；估计这批鱼该项数据的百分位数约为；（2）（ⅰ）；（ⅱ）.

【分析】

(1)由中位数—排序后处于中间的数，如有两个数取其平均数；众数—出现频率最高的数、极差—最大数与最小数的差；百分比位数—数据集中有n个数：当np为整数时，当np不为整数时；即可求出对应值；(2) （ⅰ）记：“两鱼最终均在水池”； ：“两鱼最终均在水池”求出概率，由它们的互斥性即可求得两条鱼最终在同一水池的概率；（ⅱ）记：“两鱼同时从第n个小孔通过”且鱼的游动独立，知，而10个事件互斥，则“两鱼同时从一个小孔通过”的概率即可求，它与“两条鱼由不同小孔通过”为互斥事件，进而求得其概率

【详解】

解：（1）由题意知，数据的中位数为数据的众数为，数据的极差为

估计这批鱼该项数据的百分位数约为

（2）（ⅰ）记“两鱼最终均在水池”为事件，则，记“两鱼最终均在水池”为事件，则，∵事件与事件互斥，∴两条鱼最终在同一水池的概率为

（ⅱ）记“两鱼同时从第一个小孔通过”为事件，“两鱼同时从第二个小孔通过”为事件，依次类推；而两鱼的游动独立，∴，记“两条鱼由不同小孔进入水池”为事件，则与对立，又由事件，事件，互斥

∴，即。

21．（12分）如图，在四棱锥中，是等边三角形，平面且为中点．

（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）

【分析】

（1）取边的中点E，即可证明四边形为平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可证明；

（2）取边的中点G，由，即可得到直线与平面所成角即为与平面所成角，再由等体积法求得，即可求得直线与平面所成角的正弦值．

【详解】

解：（1）如图所示：

取边的中点E，连，则三角形中位线可知：且，由题可知：且，且，即四边形为平行四边形，，

又平面平面，故平面；

（2）取边的中点G，则，且，直线与平面所成角即为与平面所成角，又，且易得,所以，由等体积法，，得，与平面所成角的正弦值为，故直线与平面所成角的正弦值为．

22．（12分）已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，且满足.

（1）求C；

（2）若，求当函数取最小值时的周长；

（3）求的取值范围．

【答案】（1）；（2）；（3）.

【分析】

（1）先由题中条件，得到，再由正弦定理将该式变形整理，求出，即可得出角；

（2）先将化简整理，得到，确定其取最小值时，，进而可求出各边长，得到三角形的周长；

（3）先由（1）得到，，将所求式子化为，化简整理后，利用三角函数的性质，即可求出其范围.

【详解】

（1）由题意可得，根据正弦定理可得，则，所以，又为三角形内角，所以，因此，所以；

（2）因为，由可得，因此；所以当且仅当时，取得最小值，此时；因为，所以，，则的周长为；

（3）因为，所以，，

因此，因为，所以，因此，所以，即的取值范围是.