专题3 立体几何中三个角求解问题专题提升卷-2021-2022学年高一数学下学期期末复习备考精准测试卷（人教A版2019必修第二册）

这是一份专题3 立体几何中三个角求解问题专题提升卷-2021-2022学年高一数学下学期期末复习备考精准测试卷（人教A版2019必修第二册），文件包含专题3立体几何中三个角求解问题专题提升卷解析版-2021-2022学年高一数学下学期期末复习备考精准测试卷人教A版2019必修第二册docx、专题3立体几何中三个角求解问题专题提升卷原卷版-2021-2022学年高一数学下学期期末复习备考精准测试卷人教A版2019必修第二册docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
高一下学期期中复习备考精准测试卷---第二篇 专题提升卷
专题3 立体几何中三个角求解问题
类型解读
类型一 空间线线角
【典型例题】如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1=AB=2，BC=3.

（1）求证：AB1平面BC1D；（2）求AB1与BD所成角的余弦值.
【解决策略】
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）利用三角形中位线定理证明ODAB1，再用线面平行的判定定理证明AB1平面BC1D；
（2）先判断出∠ODB（或其补角）为AB1与BD所成的角，再解三角形求出余弦值.
【详解】
（1）证明：如图，连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD．∵四边形BCC1B1是平行四边形．
∴点O为B1C的中点．∵D为AC的中点，∴OD为△AB1C的中位线，∴OD∥AB1．
∵OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，∴AB1∥平面BC1D．
（2）解：由（1）可知，∠ODB为AB1与BD所成的角或其补角，∵AA1＝AB＝2，∴AB1＝2，OD，
在Rt△ABC中，D为AC的中点，则BD， 同理可得，OB，在△OBD中，
cos∠ODB，∴AB1与BD所成角的余弦值为．

【点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
【变式训练】已知在正四面体中，点为棱的中点，则异面直线与成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如图，取的中点，连接，则由题意可得为异面直线与所成的角，然后在中利用余弦定理求解即可
【详解】设正四面体的棱长为，如图，取的中点，连接，因为点为棱的中点，所以∥，，所以为异面直线与所成的角或其补角，因为正四面体的棱长为，所以，所以，

类型二 空间线面角
【典型例题】如图，在直三棱柱中，，，，，点为的中点．

（1）求三棱锥的体积．（2）求直线与平面所成角的余弦值．
【解决策略】
【答案】（1）4；（2）.
【分析】
（1）利用即可求解；
（2）容易证明平面，进而由线面角的定义即可求解；
【详解】（1）三棱柱是直三棱柱，平面，，，，所以，所以，又是的中点，，
又，．
（2）由（1）知，又平面，所以，，平面，为直线与平面所成角，在中，，，，，即直线与平面所成角的余弦值为.
【点睛】求空间中直线与平面所成角的常见方法为：
（1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；
（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线长的比值即线面成角的正弦值；
（3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值.
【变式训练】已知四边形．现将沿BD边折起，使得平面平面BCD，．点P为线段的中点．请你用几何法解决下列问题：

（1）求证：平面ACD；
（2）若M为CD的中点，求MP与平面BPC所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）根据为等边三角形，证明再证明平面得到利用线面垂直的判定定理证明平面；
（2）利用等体积法求得点M到面PBC的距离，再利用线面角的定义可求得答案．.
【详解】
，为等边三角形，为中点．

取中点﹐连接则，平面平面平面平面平面又，平面
平面又且平面.
由可知，，所以，作于H，连接BM，因为平面所以平面又点P为线段的中点，所以，　

又M为CD的中点，所以，所以，
在中，，所以满足，所以，所以，设点M到面PCB的距离为，，所以，解得，又，设MP与平面BPC所成角为，所以，所以MP与平面BPC所成角的正弦值．
类型三 空间面面角
【典型例题】如图，已知三棱柱，平面平面ABC，，，E，F分别是AC，的中点．请你用几何法解决下列问题：

（1）证明：；（2）求直线EF与平面所成角的余弦值；
（3）求二面角的正弦值
【解决策略】
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．
【分析】
（1）运用几何法，则需要通过证明线面垂直实现；
（2）取中点，连接､，在平面上的射影在直线上，连接，交于，则是直线与平面所成角(或其补角)，可求得直线与平面所成角的余弦值．
（3）过点B作于H，连接AH， 在平面的射影是，利用射影面积法可求得二面角的正弦函数值．
【详解】
证明：（1）连接，，是的中点，，又平面平面，平面，平面平面，平面，，，，，，平面，.

（2）取中点，连接､，则是平行四边形，由于平面，故，平行四边形是矩形，由（1）得平面，则平面平面，
在平面上的射影在直线上，连接，交于，则是直线与平面所成角(或其补角)，不妨设，则在△中，，，
是的中点，故，，
直线与平面所成角的余弦值为.
（3）过点B作于H，连接AH，因为平面平面ABC，所以平面，所以在平面的射影是，设二面角为，由图示知为锐角，
在中，，设，所以，，
在中，，．
所以二面角的正弦值为．

【点睛】几何法求线面角、二面角的常用方法：
（1）线面角的求法，找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解．
（2）二面角的求法，二面角的大小用它的平面角来度量．平面角的作法常见的有①定义法；②垂面法．注意利用等腰、等边三角形的性质．
【变式训练】如图，P是边长为2的正方形ABCD外一点，PA⊥AB，PA⊥BC，且PC＝5，则二面角P­-BD­-A的余弦值为________．

【答案】
【分析】根据PA⊥AB，PA⊥BC，易得PA⊥平面ABCD，再根据四边形ABCD为正方形，得到BD⊥AC，进而得到BD⊥平面PAO，从而由∠POA为二面角P­-BD­-A的平面角求解．
【详解】如图，

∵PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B，∴PA⊥平面ABCD．又BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD．
又四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面PAO(其中O为AC与BD的交点)，∴BO⊥PO，
∴∠POA为二面角P­BD­A的平面角．又AB＝，∴AC＝4，∴AO＝2．
又PA＝，PO=，所以
类型四 折叠问题
【典型例题】在矩形中，，，E、F分别为边、上的点，且，现将沿直线折成，使得点在平面上的射影在四边形内（不含边界），设二面角的大小为，直线与平面所成的角为，直线与直线所成角为，则（ ）

A． B． C． D．
【解决策略】
【答案】D
【分析】根据题意作出相应的二面角，线面角，线线角，结合点在平面上的射影求解.
【详解】过A作的垂线，分别交，，于M，G，N，如图，

显然.因为，所以直线与所成角即为.当在平面上的射影为G时，平面，此时.于是当在平面上的射影在线段上时，，
所以.由于，，进而得，.因为是在平面上的射影，所以由线面角最小性知，即.再由二面角的最大性知.
【点睛】根据二面角平面角、线面角、异面直线所成的的角的定义，分别在图形中作出或找到是解题的关键，再根据位置分析角的变化范围即可比较大小.
【变式训练】如图，E是直角梯形ABCD底边AB的中点，AB＝2DC＝2BC，将ADE沿DE折起形成四棱锥．

（1）求证：DE⊥平面ABE．
（2）若二面角为60°，求二面角的正切值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）根据E是直角梯形ABCD底边AB的中点，AB＝2DC＝2BC，易得DE⊥EB，DE⊥EA，再利用线面垂直的判定定理证明；
（2）易知∠AEB即二面角的平面角，取BE的中点为F，CD的中点为G，易证CD⊥平面AFG，得到∠FGA即为二面角的平面角求解.
【详解】
（1）在直角梯形ABCD中，因为DC//BE，且DC＝BE，所以四边形BCDE为平行四边形．
又∠B＝90°，从而DE⊥EB，DE⊥EA．又EB∩EA＝E，所以DE⊥平面ABE．
（2）由（1）知，∠AEB即二面角A­DE­B的平面角，故∠AEB＝60°．

又因为AE＝EB，所以△AEB为等边三角形．设BE的中点为F，CD的中点为G，连接AF，FG，AG．
从而AF⊥BE，FG∥DE，于是AF⊥CD，FG⊥CD，从而CD⊥平面AFG，因此CD⊥AG．所以∠FGA即所求二面角的平面角．因为DE⊥平面ABE，从而FG⊥平面AEB．所以FG⊥AF．于是在Rt△AFG中，可求得tan∠FGA＝．即二面角的正切值为．
综合训练
1.在正方体中，O是底面的中心，E为的中点，那么异面直线与所成角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】取的中点，连接，得出即为异面直线与所成角，在直角三角形中即可求解.
【详解】

取的中点，连接，如图所示，为的中点，，故即为异面直线与所成角，设正方体的棱长为，则在中，，
故，
2. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1－BD－A的正切值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用定义作出为所求的角，再通过可求.
【详解】如图所示，连接AC交BD于点O，连接A1O，则，∠A1OA为二面角A1－BD－A的平面角，

设A1A＝a，则AO＝a，所以.
3. 已知三棱锥S­ABC中，底面ABC是边长等于2的等边三角形，SA⊥面ABC，SA＝3，D为BC的中点，则SD与面ABC所成角的正切值为（ ）

A． B．
C．3 D．
【答案】A
【分析】首先找出SD与面ABC所成角为∠SDA，再求角的正切值.
【详解】连接AD．∵△ABC为等边三角形，D为BC的中点，∴ ．又SA⊥平面ABC，

∴∠SDA为SD与平面ABC所成的角，∴tan∠SDA＝．
4．把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角后，下列命题正确的是（ ）
A． B．
C．平面 D．平面平面
【答案】B
【分析】利用折前折后不变量可判断线线、线面、面面位置关系.
【详解】取的中点为连接、,由折前折后不变量可知，,,
为二面角的平面角，，选项，由上述可证，是正三角形，不正确．选项，易证平面，正确；选项， 易证为正三角形，不垂直，不正确；选项，由，是正三角形，取中点，连接，，为二面角的平面角,设正方形边长为1，则可求，，有，
可得，命题D不正确．

5. 如图，平面α⊥平面β，Aα，Bβ，AB与两平面α，β所成的角分别为和.过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′，B′，则AB∶A′B′等于（ ）

A．2∶1 B．3∶1
C．3∶2 D．4∶3
【答案】A
【分析】先用性质找出α，β的垂线，再作出相关线面角，设，利用直角三角形计算可得.
【详解】由已知条件知，设AB=2a，则BB′=2asin =a，A′B＝2acos＝a，∴在Rt△BB′A′中，得A′B′＝a，∴AB∶A′B′＝2∶1.
6. 如图，在棱长为的正方体中，点在线段上运动，则下列命题中错误的是（ ）

A．直线和平面所成的角为定值 B．点到平面的距离为定值
C．异面直线和所成的角为定值 D．直线和平面平行
【答案】A
【分析】逐个进行分析，对点取特殊点可得A正误，根据线面平行可知B的正误，依据线面垂直可知C的正误，然后利用线面平行可知D的正误.
【详解】对A，由平面，当点分别在点或时，线面角不一致，故A错误；对B，由//,平面,平面,所以//平面，所以点到平面的距离为直线上任意点到平面的距离，故B正确，对C，由平面即平面,,,平面，所以平面，所以，故C正确，对D，由平面即平面，//，平面，
平面，所以//平面，所以D正确。
7. 已知点在球O的表面上，平面，若与平面所成角的正弦值为，则球O表面上的动点P到平面距离的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】先画出图形，通过几何关系算出球的半径即可.
【详解】

如图，因为平面，，所以为球的直径，由得
作，则即为与平面所成角，所以，得
设由等面积法得，解得
所以，即，又平面过球心，所以P到平面距离即为半径的长所以P到平面距离的最大值为3.
8.如图，在四棱锥中，平面，，则异面直线与所成角的大小为________；直线与平面所成角的正弦值为________．

【答案】
【分析】由异面直线平面角的定义知：异面直线与所成角为，根据条件知且，即可求；过作于，连接，则直线与平面所成角为，根据题设线线、线面关系求、，进而求即可.
【详解】由知：异面直线与所成角即为与所成角，而平面，平面，知，∴在△中，，即.
设，由平面，平面，知，
∴在△中，有，而且，知：面，又，有面，∵面，即， 故在△中，有，过作于，连接，则直线与平面所成角为，且，,∴.

9．如图，多面体，，，，且，，两两垂直，给出下列5个结论：
①三棱锥的体积是定值；②球面经过点、、、四点的球的直径是；
③直线平面；④直线与所成角是；⑤二面角等于．
其中正确的结论是__．

【答案】①②④
【分析】由题意，构造长方体，设，，，由已知解得，，，
对于①，根据三棱锥的体积公式可判断；对于②，球面经过点、、、两点的球的直径即为长方体的对角线长，由此可判断；对于③，由可判断；对于④，由已知得即为直线与所成的角，解三角形可判断；对于⑤，由已知得异面直线与所成的角大小为二面角的二面角大小，解三角形可判断 ；
【详解】由题意，构造长方体，如下图所示，设，，，
则，，，解得，，，，对于①，三棱锥的体积为，故①对；对于②，球面经过点、、、两点的球的直径即为长方体的对角线长，即为，故②对；对于③，由于，和平面相交，则和平面相交，故③错．对于④，由于，则即为直线与所成的角，
由，则，故④对；对于⑤，因为，，所以异面直线与所成的角大小为二面角的二面角大小，连接，则为所求，，所以；⑤错误；

10．已知△ABC为等腰直角三角形，P为空间一点，且AC＝BC＝5，PC⊥AC，PC⊥BC，PC＝5，AB的中点为M，则PM与平面ABC所成的角为________．

【答案】45°
【分析】由线面垂直找出AM在面ABC内射影得线面角，在△PCM中计算而得.
【详解】∵PC⊥AC，PC⊥BC，AC∩BC＝C，∴PC⊥平面ABC，∴PM在平面ABC内的射影为CM，故∠PMC为PM与平面ABC所成的角．∵AC＝BC＝5，∠ACB＝90°，而AB的中点为M，∴CM＝5，又PC＝5，∴△PCM为等腰直角三角形，∴∠PMC＝45°，即PM与平面ABC所成的角为45°．
11. 如图，正方体的棱长为2．

（1）求异面直线与所成角的大小；
（2）求直线与平面所成角的正切值．
【答案】（1），（2）
【分析】
（1）连接，则由正方体的性可得∥，所以为异面直线与所成的角，然后在中求解即可；
（2）连接，交于，连接，则可得为直线与平面所成的角，然后利用已知的数据和正方体的性质可求得结果
【详解】
（1）连接，，因为多面体为正方体，所以∥，所以为异面直线与所成的角，因为，所以为正三角形，所以，
所以异面直线与所成角的大小为，
（2）连接，交于，连接，交于，因为平面，平面，
所以，因为，，所以平面，因为平面，所以，同理可得，因为，所以平面，所以为直线与平面所成的角，因为正方体的棱长为2，所以，所以，所以，，所以，所以，
所以直线与平面所成角的正切值为

12.如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面.

（1）求证：平面PBD；
（2）若，直线与平面所成的角为45°，求四棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）通过AC⊥BD与PD⊥AC可得平面；
（2）由题先得出∠PBD是直线PB与平面ABCD所成的角，即∠PBD=45°，则可先求出菱形ABCD的面积，进而可得四棱锥P- ABCD的体积.
【详解】
（1）因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又因为PD⊥平面ABCD，平面ABCD，
所以PD⊥AC，又，故AC⊥平面PBD；
（2）因为PD⊥平面ABCD，所以∠PBD是直线PB与平面ABCD所成的角，于是∠PBD=45°，因此BD=PD=2.又AB= AD=2，所以菱形ABCD的面积为，故四棱锥P- ABCD的体积.
13．如图1，在直角梯形中，，，且.现以为一边向梯形外作矩形，然后沿边将矩形翻折，使，如图2.

（1）求证：平面；
（2）若多面体的体积为，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）；
【分析】
（1）根据线面垂直的判定有面，由线面垂直的性质得，结合勾股定理，线面垂直的判定可证平面；
（2）由题设可求，过D作于G，连接CG，则直线与平面所成角的平面角为，利用勾股定理、直角三角形的面积求、，再由余弦定理求，进而可得其正弦值.
【详解】
（1）由题设，，，知：，即，又，，
∴面，面，则，∵直角梯形中，，
∴，，有，∴，而，∴平面.
（2）若，由多面体的体积为，而，
∴，即，则，
过D作于G，连接CG，则直线与平面所成角的平面角为，

由（1）知：，且，而，
∴，则，又，
∴在△中，，则.
14．如图，在矩形中，，E为的中点，把△和△分别沿折起，使点B与点C重合于点P．

（1）求证：平面；（2）求二面角的大小．
【答案】（1）证明见详解；（2）.
【分析】
（1）由矩形的性质知，由题意并根据线面垂直的判定即可证平面；
（2）过作于，连接，由已知可证平面，即知为二面角的平面角，结合余弦定理求其余弦值，进而确定其大小.
【详解】
（1）在矩形中，有，∴由题意知：，而，
∴平面；
（2）过作于，连接，又平面，由（1）知：，而，所以平面，∴为二面角的平面角，而，
∴，则，∵，∴.