河南省实验中学2021-2022学年高二上学期期中考试 数学（文）（含答案）练习题

河南省实验中学2021——2022学年上期期中试卷

高二  文科数学   命题人：    审题人：

（时间：120分钟，满分：150分）

一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．若x，y满足﹣1＜x＜y＜1，则x﹣y的取值范围是（　　）

A．（﹣2，0） B．（﹣2，2） C．（﹣1，0） D．（﹣1，1）

2．等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5＝4，则（　　）

A．10 B．5 C．3 D．4

3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a：b：c＝2：4：5，则等于（　　）

A． B． C． D．

4．已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜1}，则不等式cx2﹣ax+b＞0的解集为（  ）

A．{x|x＜1}  B．{x|x或x＞1}  C．{x|﹣1＜x}  D．{x|x＜﹣1或x}

5．已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且有a1+a9＝2，b4+b6＝8，则的值为（　　）

A． B． C．2 D．3

6．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知B＝45°，，为使此三角形有两个，则b满足的条件是（　　）

A．      B．0＜b＜2      C．      D．或b＝2

7．已知，且z＝2x﹣y的最大值是最小值的2倍，则a等于（　　）

A． B． C． D．

8．在数列{an}中，a1＝1，an﹣an﹣1＝n（n∈N+，n≥2），则的最小值是（　　）

A． B． C．1 D．

9．“大玉米”是郑州新地标，被称为“中原第一高楼”，也被称为是世界上一座独一无二的标志性建筑．它是圆柱塔式建筑，夜晚其布景灯采用黄色设计，外形宛如一根“大玉米”．某人在地面上点C测得塔底B在南偏西70°，楼顶A的仰角为45°，此人沿南偏东50°方向前进280m到点D，测得楼顶A的仰角为30°．按照此人的测量进行估算，则“大玉米”的高约为（　　）（参考数据：4202＝176400）

A．280m B．150m C．290m D．170m

10．已知a＞b＞0，则的最小值为（　　）

A．6 B．4 C． D．

11．已知数列{an}满足an，且数列{an}是单调递增数列，则t的取值范围是（　　）

A．（，） B．（，+∞） C．（5，+∞） D．（1，4]

12．在△ABC中，内角A，B，C的对边为a，b，c，若a，b，c的倒数成等差数列，则B的范围为（　　）

A． B． C． D．

二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．若数列{an}的前n项和为，则数列{an}的通项公式an＝　      　．

14．不等式的解集为　              　．

15．如果函数f（x）在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，都有f（）．若y＝sinx在区间（0，π）上是凸函数，那么在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值是　                　．

16．数列{an}满足an+1+（﹣1）nan＝2n﹣1，则{an}的前60项和为　     　．

三．解答题（本大题共6小题，其中17题10分，其余每小题12分，共70分）

17．（10分）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，

且2sin2A+3cos（B+C）＝0．

（1）求角A的大小；

（2）若△ABC的面积，求b+c的值．

18．（12分）已知公差不为零的等差数列{an}满足a1＝3，且a1，a4，a13成等比数列．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若Sn表示数列{an}的前n项和，求数列的前n项和Tn．

19．（12分）已知对于正数a、b，存在一些特殊的形式，如：、、等．

判断上述三者的大小关系，并证明。

20．（12分）已知数列{an}中，a1＝1，an+1．

（1）求证：为等比数列，并求{an}的通项公式；

（2）数列{bn}满足bn＝（3n﹣1）•，求数列{bn}的前n项和为Tn．

21．（12分）已知关于x的不等式（ax﹣1）（x+1）＞0．

（1）若此不等式的解集为，求实数a的值；

（2）若a∈R，解这个关于x的不等式．

22．（12分）如图，已知扇形OMN是一个观光区的平面示意图，其中扇形半径为10米，∠MON，为了便于游客观光和旅游，提出以下两种设计方案：

（1）如图1，拟在观光区内规划一条三角形ABO形状的道路，道路的一个顶点B在弧MN上，另一顶点A在半径OM上，且AB∥ON，求△ABO周长的最大值；

（2）如图2，拟在观光区内规划一个三角形区域种植花卉，三角形花圃ABC的一个顶点B在弧MN上，另两个顶点A、C在半径OM、ON上，且AB∥ON，AC⊥ON，求花圃△ABC面积的最大值．

河南省实验中学2021——2022学年上期期中答案

高二  文科数学

一．选择题（共12小题）

1．A．2．C．3．D．4．D．5．B．6．A．7．B．8．C．9．A．10．A．11．A．12．A．

二．填空题（共4小题）

13．．   14．（﹣1，0）∪（1，+∞）．   15．．   16．1830

三．解答题（共6小题）

17．解：（1）由2sin2A+3cos（C+B）＝0，得2cos2A+3cosA﹣2＝0，

即（2cosA﹣1）（cosA+2）＝0，解得cosA或cosA＝﹣2（舍去），

由0＜A＜π，可得A；

（2）由，得bc＝20，又a2＝b2+c2﹣2bccosA＝21，

即有（b+c）2﹣2bc﹣2bccos21，即（b+c）2＝21+3bc＝21+3×20＝81，

所以b+c＝9．

18．解：（1）公差不为零的等差数列{an}满足：a1＝3，且a1，a4，a13成等比数列．

则：，即：（3+3d）2＝3（3+12d），

解得：d＝0或2（0舍去），

所以：an＝3+2（n﹣1）＝2n+1．

（2）由于：an＝2n+1，则：n2+2n，

所以：．

则：Tn，

，．

19．证明：，证明如下：

因为（）2，

又a，b是正数，所以a2+b2＞0，（a+b）2＞0，（a﹣b）2≥0，

所以（）2，当且仅当a＝b时，取等号，故；

因为（）20，当且仅当a＝b时，取等号，

所以；

故．

20．证明：（1）由0，得1，

∴3（），，

∴数列以为首项，3为公比的等比数列，

3n﹣1，

∴（n∈N*），

（2），

所以

两式相减得 ，

所以 。

21．解：（1）∵不等式（ax﹣1）（x+1）＞0的解集为，

∴方程（ax﹣1）（x+1）＝0的两根是﹣1，；

∴a﹣1＝0，∴a＝﹣2；

（2）∵（ax﹣1）（x+1）＞0，

∴a＜0时，不等式可化为（x）（x+1）＜0；

若a＜﹣1，则1，解得﹣1＜x；

若a＝﹣1，则1，解得不等式为∅；

若﹣1＜a＜0，则1，解得x＜﹣1；

a＝0时，不等式为﹣（x+1）＞0，解得x＜﹣1；

当a＞0时，不等式为（x）（x+1）＞0，

∵1，∴解不等式得x＜﹣1或x；

综上，a＜﹣1时，不等式的解集为{x|﹣1＜x}；

a＝﹣1时，不等式的解集为∅；

﹣1＜a＜0时，不等式的解集为{x|x＜﹣1}；

a＝0时，不等式的解集为{x|x＜﹣1}；

当a＞0时，不等式的解集为{x|x＜﹣1，或x}．

22．解：（1）∵AB∥ON，，∴，

又OB＝10，设∠MOB＝θ，θ∈（0，），

在△AOB中，由正弦定理可知，，

∴AB，OA，

∴△AOB的周长f（θ），θ∈（0，）．

化简得f（θ）．

∴时，△AOB的周长有最大值为米．

答：△ABO周长的最大值为米；

（2）∵图2中△ABC与图1中△ABO面积相等，

而在△ABO中，∵OB＝r＝10，AB∥ON，，

∴．

由余弦定理知，OB2＝OA2+AB2﹣2OA•AB•cos∠OAB，

∴100＝OA2+AB2+OA•AB≥3OA•AB，

∴OA，当且仅当OA＝AB时取“＝”．

∴平方米．

答：花圃△ABC面积的最大值为平方米，此时OA＝AB米．