2022河南省实验中学高二上学期期中考试数学（文）试题含解析

河南省实验中学2021——2022学年上期期中试卷

高二  文科数学

（时间：120分钟，满分：150分）

一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1. 若，满足，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由不等式性质求解即可

【详解】,

，

，

，

，

又可得，

所以，

所以的取值范围是

故选：A

2. 等比数列的各项均为正数，且，则（    ）

A. 10 B. 5 C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】由等比数列的性质可知：，再由对数的运算性质计算即可求解．

【详解】等比数列的各项均为正数，且，

则有，，

则；

故选：C．

3. 的内角，，的对边分别为，，，满足，则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用余弦定理可求，再结合正弦定理即得.

【详解】因为，不妨设，

则

所以

故选：D

4. 已知不等式的解集为，那么不等式的解集为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由不等式的解集为知：，，，然后可求得不等式的解集．

【详解】解：不等式的解集为，

方程的两根为和1，且，

，，

不等式，

解得或，

不等式的解集为.

故选：D.

5. 已知等差数列和的前项和分别为和，且有，，则的值为（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用等差数列的求和公式可求得、的值，即可得解.

【详解】由等差数列的求和公式可得，，

因此，.

故选：B.

6. 在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，为使此三角形有两个，则满足的条件是（　　）

A.  B.  C.  D. 或

【答案】A

【解析】

【分析】作出图形可得出关于的不等式，由此可解得的取值范围.

【详解】如下图所示：

因为有两解，且，，则，即.

故选：A.

7. 已知实数满足不等式组，且的最大值是最小值的2倍，则

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】分析：首先根据题中所给的约束条件画出相应的可行域，结合目标函数的形式，结合其几何意义，能够判断出最优解的位置，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得到z的最值，再由最大值是最小值的2倍列式求得结果.

详解：根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，如图所示：

作出直线，平移直线，

由图可知，当直线经过点D时，直线在y轴上的截距最小，此时取得最大值，由，可得，所以的最大值是1，

当直线经过点B时，直线在y轴上的截距最大，此时取得最小值，

由，可得，所以最小值是，

因为的最大值是最小值的2倍，

所以，解得，故选B.

点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在解题的过程中，需要先画出约束条件对应的可行域，之后结合目标函数的形式得到其对应的几何意义，从而判断出其最优解，联立方程组求得最值，根据2倍关系找出其满足的等量关系式，最后求得结果.

8. 在数列中，，（，），则的最小值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用累加法可求得，从而可得化简后可求得其最小值

【详解】由题意可得，

当时，满足上式，则.

因为，

所以，

所以，

则，

故，当且仅当时，等号成立.

故选：C

9. “大玉米”是郑州新地标，被称为“中原第一高楼”，也被称为是世界上一座独一无二的标志性建筑.它是圆柱塔式建筑，夜晚其布景灯采用黄色设计，外形宛如一根“大玉米”.某人在地面上点测得塔底在南偏西，楼顶的仰角为，此人沿南偏东方向前进到点，测得楼顶的仰角为，按照此人的测量进行估算，则“大玉米”的高约为（    ）（参考数据：

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由题设塔高，利用余弦定理即求.

【详解】如图所示，平面，其中

设塔高，

在中，由余弦定理得

整理得：，

由求根公式可得，或（舍去）

所以“大玉米”的高约为.

故选：A.

10. 已知，则的最小值为

A. 6 B. 4 C.  D.

【答案】A

【解析】

【详解】因为，而（当且仅当时取等号），故（当且仅当取等号），应选答案A．

11. 已知数列满足且数列是单调递增数列，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据递增数列可得关于的不等式组，从而可求其取值范围.

【详解】由题意可得解得.

故选：A.

12. 在中，内角的对边为，若的倒数成等差数列，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据等差中项的性质可得，再利用基本不等式得到，最后利用余弦定理结合不等式，即可得到答案；

【详解】的倒数成等差数列，

，

，

由余弦定理得：

，，

故选：A.

二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知数列的前n项和，则数列的通项公式为______．

【答案】

【解析】

【分析】利用与关系即得.

【详解】因为，

当时，，

当时，，

所以．

故答案为：．

14. 不等式的解集为___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据分式不等式以及一元二次不等式解法即可求解.

【详解】即

即即，

所以或

解得或

所以不等式的解集为.

故答案为：

15. 若函数在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意，，…，都有，若函数在区间上是凸函数，则在△中，的最大值是______.

【答案】##

【解析】

【分析】根据题设凸函数的性质可得即可求最大值，注意等号成立条件.

【详解】由题设知：，

∴，当且仅当时等号成立.

故答案为：.

16. 数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝3n－1，则{an}的前60项和____________.

【答案】2760

【解析】

【详解】依题意有，……，以此类推，，……，以此类推，由此可知，从第一项起，依次取两个相邻奇数项的和都等于，从第二项其，依次取相邻偶数项的和是首项为，公差为的等差数列，故前项和为.

三．解答题（本大题共6小题，其中17题10分，其余每小题12分，共70分）

17. 已知在中，角的对边分别为，且．

（1）求角的大小；

（2）若的面积，求的值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【详解】试题分析：(1)利用内角互补,将角统一,再统一名称,解方程可得;

(2)已知,故公式选择,,最后用正弦定理将角化为边即可求解.

试题解析：（1）由，

得，即，

解得：或（舍去）.

因为，所以.

（2）由，得.

由余弦定理，得，

所以.

18. 已知公差不为零的等差数列{an}满足a1＝3，且a1，a4，a13成等比数列．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若Sn表示数列{an}的前n项和，求数列的前n项和Tn．

【答案】（1）an＝2n+1   

（2）Tn＝

【解析】

【分析】（1）根据题意得，设公差为d，代入可求得d值，代入等差数列通项公式，即可得答案.

（2）由（1）得an＝2n+1，即可求得，进而可得，根据裂项相消求和法，计算即可得答案.

【小问1详解】

由题意得：，设公差为，

所以（3+3d）2＝3（3+12d），解得d＝0（舍）或2，

所以an＝3+2（n﹣1）＝2n+1．

【小问2详解】

由于（1）得an＝2n+1，则＝n2+2n，

所以．

所以Tn＝

=＝．

19. 已知对于正数、，存在一些特殊的形式，如：、、等．判断上述三者的大小关系，并证明.

【答案】，证明见解析

【解析】

【分析】利用基本不等式可得出、、的大小关系.

【详解】解：，证明如下：

因为、均为正数，由基本不等式可得，

则，则，所以，

由上可知，则，即，

所以，，

综上所述，，当且仅当时，两个等号都成立.

20. 已知数列{an}中，a1=1，an+1=（n∈N*）．

（1）求证：{+}为等比数列，并求{an}的通项公式an；

（2）数列{bn}满足bn=（3n﹣1）××an，求数列{bn}的前n项和Tn．

【答案】（1）证明见解析（2）4﹣

【解析】

【详解】试题分析：（1）根据数列递推关系，结合等比数列的定义即可证明{+}为等比数列，并求{an}的通项公式an；

（2）利用错误相减法即可求出数列的和．

解（1）∵a1=1，an+1═，

∴，

即==3（+），

则{+}为等比数列，公比q=3，

首项为，

则+=，

即=﹣+=，即an=．

（2）bn=（3n﹣1）××an=，

则数列{bn}的前n项和Tn= ①

=+…+ ②，

两式相减得=1﹣=﹣=2﹣﹣=2﹣，

则 Tn=4﹣．

考点：数列的求和；数列递推式．

21. 已知关于x的不等式（ax﹣1）（x+1）＞0．

（1）若此不等式的解集为，求实数a的值；

（2）若a∈R，解这个关于x的不等式．

【答案】（1）a＝﹣2   

（2）答案不唯一，见解析

【解析】

【分析】（1）根据不等式解集，可得方程（ax﹣1）（x+1）＝0的两根是﹣1，﹣，代入即可得答案.

（2）分别讨论a＜﹣1、a＝﹣1、﹣1＜a＜0、a＝0和a＞0几种情况，结合一元二次不等式的解法，即可得答案.

【小问1详解】

∵不等式（ax﹣1）（x+1）＞0的解集为，

∴方程（ax﹣1）（x+1）＝0的两根是﹣1，﹣；

∴﹣a﹣1＝0，解得a＝﹣2；

【小问2详解】

当a＜0时，不等式可化为（x﹣）（x+1）＜0；

若a＜﹣1，则＞﹣1，解得﹣1＜x＜；

若a＝﹣1，则＝﹣1，解得不等式为；

若﹣1＜a＜0，则＜﹣1，解得＜x＜﹣1；

当a＝0时，不等式为﹣（x+1）＞0，解得x＜﹣1；

当a＞0时，不等式为（x﹣）（x+1）＞0，

∵＞﹣1，∴解不等式得x＜﹣1或x＞；

综上，当a＜﹣1时，不等式的解集为{x|﹣1＜x＜}；

当a＝﹣1时，不等式的解集为；

当﹣1＜a＜0时，不等式的解集为{x|＜x＜﹣1}；

当a＝0时，不等式的解集为{x|x＜﹣1}；

当a＞0时，不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞}．

22. 如图，已知扇形是一个观光区的平面示意图，其中扇形半径为10米，，为了便于游客观光和旅游，提出以下两种设计方案:

（1）如图1，拟在观光区内规划一条三角形形状的道路，道路的一个顶点在弧上，另一顶点在半径上，且，求周长的最大值；

（2）如图2，拟在观光区内规划一个三角形区域种植花卉，三角形花圃的一个顶点在弧上，另两个顶点､在半径､上，且，，求花圃面积的最大值.

【答案】（1）米（2）

【解析】

【分析】（1）要求周长的最大值，即求的最小值，设，在中由正弦定理求出，利用三角恒等变换，将转化为正弦型三角函数，即可求出最值；或由，利用余弦定理结合基本不等式，即可求出的最值；

（2）中的面积与（1）中面积相等，利用余弦定理结合基本不等式，即可求出的最大值；或过作于，设，，通过，求出，进而求出，求出面积关于的三角函数关系，利用三角恒等变换，以及正弦函数的图像求出其最值.

【详解】（1）解法1:∵，，∴，

又，设，，

在中由正弦定理知

，

∴，，

∴周长

，

，∴时，周长最大值米，

解法2:在中，因为，

，，∴，

由余弦定理知: ，

∴，

∴，

∴，当且仅当，等号成立；

（2）解法1:因为（2）中的面积与（1）中面积相等，

而在中，因为， ，，

∴，由余弦定理知: ，

∴，

∴，当且仅当，等号成立；

∴，

答:花圃面积最大值，最大值时.

解法2:过作于，∵，，

易知四边形为矩形，连结，设，，

∴，

在中，

∴

，时，最大值为.

答:花圃面积最大值为.

【点睛】本题考查三角函数最值应用问题，其方法有二：一利用正弦定理或直角三角形化边为角，借助三角恒等变换转化为正弦型函数的最值；二是利用余弦定理结合基本不等式，求出最值，计算量小.如果求最值选择二方法更为直接，如果是求取值范围，选择一方法比较好.属于中档题.