河南省实验中学2020-2021学年高二下学期期中考试 数学（文）（含答案）练习题

河南省实验中学2020——2021学年下期期中试卷

高二  文科数学  命题人：    审题人： 

 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．已知集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|2x＜4}，则A∩B＝（　　）

A．（﹣1，2） B．（2，3） C．{0，1} D．{0，1，2}

2．设i是虚数单位，则复数z＝2i（﹣2+3i）对应的点在复平面内位于（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i＝1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为＝0.85x﹣85.71．

①y与x具有正的线性相关关系；

②回归直线过样本点的中心（，）；

③若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg；

④若该大学某女生身高为170cm，则其体重必为58.79kg．

则上述判断不正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

4．要证明命题“所有实数的平方都是正数”是假命题，只需（　　）

A．证明所有实数的平方都不是正数 B．证明平方是正数的实数有无限多个 

C．至少找到一个实数，其平方是正数 D．至少找到一个实数，其平方不是正数

5已知函数，则f（x2）的定义域为（　　）

A．    （﹣∞，0）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）

B．    （﹣1，1）D．（0，1）

6．“ln（x+1）＜0”的一个必要而不充分条件是（　　）

A．﹣1＜x＜ B．x＞0 C．﹣1＜x＜0 D．x＜0

7．设，则a，b，c的大小关系是（　　）

A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a

8．设f（x）＝，则f（5）的值为（　　）

A．11 B．10 C．12 D．13

9．甲、乙、丙做同一道题，仅有一人做对．甲说：“我做错了．”乙说：“甲做对了．”丙说：“我做错了．”如果三人中只有一人说的是真的，以下判断正确的是（　　）

A．甲做对了B．乙做对了C．丙做对了 D．以上说法均不对

10．函数f（x）＝•cosx的部分图象大致为（　　）

A． B． 

C． D．

11．已知函数f（x）＝|log3x|在上的值域为[0，2]，则f（3m）的取值范围是（　　）

A．[﹣1，1] B．[0，1] C．[1，3] D．[0，3]

12．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，对于任意x∈R，都有f（x+4）＝f（x），且当x∈[0，2]时，f（x）＝x2﹣3，若方程f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）在区间（0，10）上有5个不同的实数根，则实数a的取值范围为（　　）

A．（0，）∪（6，10] B．（0，]∪[6，10） 

C．（0，）∪（6，10] D．（0，]∪[8，10）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．函数的零点∈[a﹣1，a]，a∈N*，则a＝　   　．

14.函数y＝（6﹣x﹣x2）的单调递增区间是　   　．

15．已知函数y＝f（x+1）﹣2（x∈R）为奇函数，，若函数f（x）与g（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则＝　   　．

16．已知函数若a，b，c互不相等，且f（a）＝f（b）＝f（c），则abc的取值范围是　   　．

三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

（一）必考题：共60分

17．（12分）已知命题p：“方程x2﹣ax+a+3＝0有解”，q：“存在x0∈[1，+∞），使得

（）x+（）x﹣a＞0成立”，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数a的取值范围．

18．（12分）某医疗机构承担了某城镇的新冠疫苗接种任务，现统计了前8天，每天（用t＝1，2，…，8表示）的接种人数y（单位：百）的相关数据，并制作成如图所示的散点图：

（1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，求y关于t的回归方程（系数精确到0.01）；

（2）根据该模型，求第10天接种人数的预报值；并预测哪一天的接种人数会首次突破2500人．

参考数据：＝12.25，（ti﹣）2＝42，（yi﹣）（ti﹣）＝70．

参考公式：对于一组数据（t1，y1），（t2，y2），…，（tn，yn），回归方程＝+t中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝﹣．

19．（12分）2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响，在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．某公司为了激励业务员的积极性，对业绩在60万到200万的业务员进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y（单位：万元）随着业绩值x（单位：万元）的增加而增加，但不超过业绩值的5%．

（1）若某业务员的业绩为100万，核定可得4万元奖金，若该公司用函数y＝lgx+kx+1（k为常数）作为奖励函数模型，则业绩200万元的业务员可以得到多少奖励？（已知lg2≈0.30，lg3≈0.48）

（2）若采用函数f（x）＝﹣（a﹣0.05）x+100a﹣9000，求a的范围．

20．（12分）2021年1月1日新中国成立以来第一部以“法典”命名的法律《中华人民共和国民法典》颁布施行，我国将正式迈入“民法典”时代．为深入了解《民法典》，大力营造学法守法用法的良好氛围，高三年级从文科班和理科班的学生中随机抽取了100名同学参加学校举办的“民法典与你同行”知识竞赛，将他们的比赛成绩分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）求a的值；

（2）估计这100名学生比赛成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（3）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”，请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为“比赛成绩是否优秀与文理科别有关”？

参考公式及数据：K2＝，n＝a+b+c+d．

21．（12分）设函数（a＞0且a≠1）是定义在R上的奇函数．

（1）若f（1）＞0，求使不等式f（2x2﹣x）+f（x2﹣k）＞0对x∈R恒成立的实数k的取值范围；

（2）设函数f（x）的图像过点，函数g（x）＝loga（f（x）+1）．若对于任意的x1，x2∈[0，1]，都有|g（x1）﹣g（x2）|≤M，求M的最小值．

（二）选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分

22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是（φ为参数）．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程是ρsinθ＝．

（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程和直线C2的直角坐标方程；

（Ⅱ）过点O的直线l与C1异于点O的交点为点A，与C2的交点为点B，求|OA|•|OB|的值．

23．（10分）设函数f（x）＝|2x+1|+|2x﹣1|．

（1）求不等式f（x）≥6的解集；

（2）若f（x）的最小值是m，a＞0，b＞0，且a+b＝m，求的最小值．

河南省实验中学2020--2021学年下期期中试卷

参考答案：

一、选择题

1-5  CCADB     6-10  DBACD   11-12 CA 

二、填空题

13.  3   14.    15.  3m  16. （10，12）

三、解答题

17.  解：根据题意，对于命题p：“方程x2﹣ax+a+3＝0有解”，

若P为真，即方程x2﹣ax+a+3＝0有解，

则有△＝a2﹣4（a+3）≥0，解得：a≤﹣2或a≥6，

故p：a≤﹣2或a≥6，                    ........................................................................   3分

若q为真，设t＝（）x，当x∈[1，+∞）时，0＜t≤，

则t2+t＞a在（0，]上有解，此时（t2+t）max＝，必有a＜，

故q：a＜，                              ........................................................................   6分

若p或q为真题，p且q为假命题，则p、q一真一假，    ...................................................    7分

当p真q假时，有，此时a≥6，

当p假q真时，有，此时﹣2＜a＜，        ...................................................   11分

综合可得：a的取值范围为（﹣2，）∪[6，+∞），        ...................................................  12分

18. 解：（1）由题意可得， ...................................................  2分

所以＝，

故＝＝12.25﹣1.667×4.5≈4.75，           .....................................................................    5分

所以y关于t的回归方程为＝1.67t+4.75；        .........................................................................    6分

（2）第10天接种人数的预报值为2145人，

当t＝12时，的预报值为＝1.67×12+4.75＝24.79，

当t＝13时，的预报值为＝1.67×13+4.75＝26.46＞25，

故预计从第13天开始，接种人数会突破2500人．     ......................................................................... 12分

19. 解：（1）对于函数模型y＝lgx+kx+1（k为常数），

当x＝100时，y＝4，代入解得k＝，即y＝lgx+x+1，  ...................................................  2分

当x∈[60，200]时，y＝lgx+x+1是增函数，

当x＝200时，y＝lg200+2+1≈5.3，

∴业绩为200万元的业务员可以得到5.3万元的奖励．   ..................................................................... 5分

（2）对于函数模型f（x）＝，

∵函数f（x）在[60，200]递增，∴，即a≤30.05； ...................................................  8分

又由奖金不超过业绩的5%，得f（x）＝≤x×5%，

∴对于x∈[60，200]恒成立，

记g（x）＝，

∴二次函数g（x）图像开口向上且a≤30.05，且函数图像的对称轴方程为x＝2a≤60.1，

∴g（x）max＝g（200）≤0，解得a≥10，

综合可知，10≤a≤30.05．                         ......................................................................... 12分

20. 解：（1）由题意可知：（0.005+0.010+0.020+0.040+a+0.010）×10＝1，解得：a＝0.015． .........2分

（2）∵（0.005+0.010+0.020）×10＝0.35＜0.5，（0.005+0.010+0.020+0.040）×10＝0.75＞0.5，

∴中位数在[70，80）之间，设为m，

∴0.35+（m﹣70）×0.04＝0.5，解得：m＝73.75，

∴这100名学生比赛成绩的中位数估计值为73.75．              ................................................... 6分

（3）抽取的100名学生中，“优秀”的人数为100×（0.015+0.010）×10＝25人，“非优秀”的人数为100﹣25＝75人，

2×2列联表如下图：

∴K2＝≈3.030＜3.841，       ................................................... 11分

∴没有95%的把握认为“比赛成绩是否优秀与文理科别有关”． ..............................................12分

21. 解：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）＝0，∴2﹣t＝0，解得t＝2，

则，

而f（2x2﹣x）+f（x2﹣k）＞0等价于f（2x2﹣x）＞﹣f（x2﹣k）＝f（k﹣x2），

若f（1）＞0，则，结合a＞0且a≠1，解得a＞1，...........................................  2分

则为增函数，

结合f（2x2﹣x）＞f（k﹣x2），可得2x2﹣x＞k﹣x2，

根据题意，3x2﹣x﹣k＞0对x∈R恒成立．

则△＝1+12k＜0，解得，

即实数k的取值范围为（﹣∞，﹣）；                 ................................................... 6分

（2）∵函数f（x）的图像过点，∴，

解得a＝﹣1（不符，舍去）或a＝2，                     ................................................... 8分

∴．

根据复合函数“同增异减”可知g（x）在x∈[0，1]上单调递增，

∴g（x）min＝g（0）＝0，．

∵对于任意的x1，x2∈[0，1]，都有|g（x1）﹣g（x2）|≤M，

且g（x）在区间[0，1]上恒有g（x）＞0，

∴M≥g（x）max﹣g（x）min＝，

即M的最小值为．                                   ..............................................12分

22. 解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程是（φ为参数），转换为直角坐标方程为x2+（y﹣1）2＝1，整理得x2+y2＝2y，根据，转换为极坐标方程为ρ＝2sinθ．

直线C2的极坐标方程是ρsinθ＝，根据，

转换为直角坐标方程为y＝．                       ................................................... 5分

（Ⅱ）设直线l的极坐标方程为θ＝α，

与曲线C1的交点为A，

则，整理得ρ1＝2sinα，

与曲线C2的交点为B，

则，整理得，

所以．      ................................................... 10分

23. 解：解：（1）f（x）＝|2x+1|+|2x﹣1|＝，

因为f（x）≥6，所以或或，

解得x≤﹣或x≥，

故不等式f（x）≥6的解集为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．  ............................................... 5分

（2）由（1）可知f（x）的最小值为2，即m＝2，所以a+b＝2，

则＝（）（a+b）＝（++10）≥×（6+10）＝8，

当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立，

故的最小值为8．                            ................................................... 10分