河南省实验中学2021-2022学年高二上学期期中考试 数学（理）（含答案与解析）练习题

河南省实验中学2021——2022学年上期期中试卷

高二  理科数学  命题人：   审题人：

（时间：120分钟，满分：150分）

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是（    ）

A．若，则                B．若，，则

C．若，则           D．若，则

2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为. 若，，，则角（　　）

A．            B．            C．或            D．或

3．已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列中，，，依次成等比数列，则的值是（    ）

A．             B．            C．            D．58

4．已知△ABC中，角所对的边分别为，若△ABC的面积为，，则的值为（    ）

A．              B．             C．             D．

5．在△ABC中，，，边上的中线的长度为，则△ABC的面积为（    ）

A．            B．           C．             D．

6．一弹球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)（    ）

A．300米           B．299米         C．199米          D．166米

7．在△ABC中，，则△ABC是（    ）

A．等腰三角形                          B．直角三角形

C．等腰或直角三角形                     D．等边三角形

8．《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.如图所示的图形，在AB上取一点，使得，，过点作交圆周于D，连接OD.作交OD于.则下列不等式可以表示的是

A．             B．

C．          D．

9．设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的n∈N*，都有＝，则＋的值为（    ）

A．           B．           C．           D．

10．已知，，且，则的最小值为（    ）

A．            B．            C．4            D．6

11．已知数列的前n项和为，且，若，则数列的最大值为（    ）

A．第5项         B．第6项         C．第7项         D．第8项

12.数列满足，，. 设，记表示不超过的最大整数．设，若不等式，对恒成立，则实数的最大值为（    ）

A．         B．         C．         D．

二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13．在锐角三角形△ABC中，，，，则________

14．设等比数列的前n项和为，若，则数列的公比 =________.

15．设，满足约束条件若有最小值，则的取值范围为________.

16．已知等比数列的公比为q，前n项积为，且满足条件：. 给出下列结论：①；②；③是数列中的最大项；④使成立的最大自然数n是198，其中结论正确的序号是____________．

三、解答题（本题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或运算步骤）

17．已知不等式的解集是，求不等式的解集.

18．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，角A、B、C的度数成等差数列，．

（1）若，求c的值；

（2）求的最大值．

19．设为数列的前项和，且.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前项和.

20．为响应国家号召，积极引进外资，现欲在郑州金水区创建一工厂，目前两条公路，AB的交汇点A处有一居民区，现拟在两条公路之间的区域内建造工厂P，同时在两公路旁M，N（异于点A）处设两个销售点，且满足，（千米），（千米），设.（注：）

（1）试用表示，并写出的范围；

（2）当为多大时，工厂产生的噪声对居民区的影响最小（即工厂与居民区的距离最远）.

21．某电动摩托车企业计划在2021年投资生产一款高端电动摩托车．经市场调研测算，生产该款电动摩托车需投入设备改造费1000万元，生产该款电动摩托车万台需投入资金万元，且，生产1万台该款电动摩托车需投入资金3000万元；当该款电动摩托车售价为5000（单位：元/台）时，当年内生产的该款摩托车能全部销售完．

（1）求的值，并写出2021年该款摩托车的年利润（单位：万元）关于年产量（单位：万台）的函数解析式；

（2）当2021年该款摩托车的年产量为多少时，年利润最大？最大年利润是多少？

（年利润销售所得投入资金设备改造费）

22．设数列的前n项和为，．

（1）求数列的通项公式；

（2）令，数列的前项和为，若对任意的正整数，恒有，求实数的取值范围．

河南省实验中学2021——2022学年上期期中答案

高二  理科数学

1．A

【分析】

利用基本不等式可推出A正确；利用不等式的性质可推出B不正确；作差后，可知当时，C不正确；当时，D不正确.

【详解】

对于A，因为，所以，，所以，故A正确；

对于B，若，则，又，所以，故B不正确；

对于C，因为，，

所以当时，，此时，故C不正确；

对于D，当时，不成立，故D不正确.

故选：A

2．D

【分析】

由正弦定理即可求解．

【详解】

在中，由正弦定理可得，

所以，

因为，所以，

因为，所以或，

故选：D.

3．A

【分析】

由已知得和，可求出，利用等差数列的通项公式得到.

【详解】

设公差不为零的等差数列的公差为d，则有，

因为，，依次成等比数列，，

所以有，即，整理得，

因为，所以，，

因此，

故选：A.

4．D

【分析】

利用三角形的面积公式整理得出，利用二倍角的正弦和余弦公式化简得出，结合角的取值范围可求得结果.

【详解】

在中，因为，则，

，则，则，

所以，，可得，，故.

故选：D.

5．B

【分析】

根据题设条件结合余弦定理可求得，从而可得，结合三角形面积公式，即可求解.

【详解】

∵，，边上的中线的长度为

∴根据余弦定理可得，即，解得

∴

∴的面积为

故选：B

6．A

【分析】

根据题意，得到小球经过的里程，结合等比数列的求和公式，即可求解.

【详解】

由题意，可得小球10次着地共经过的路程为：

米

故选：A.

7．C

【分析】

根据，利用正弦定理转化为：，整理为再转化为角判断.

【详解】

因为，

所以由正弦定理得：，

所以 ，

即 ，

所以或 ，

所以或，

所以是等腰或直角三角形.

故选：C

【点睛】

本题主要考查正弦定理判断三角形的形状，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

8．A

【分析】

根据圆的性质、射影定理求出CD和DE的长度，利用CD>DE即可得到答案.

【详解】

连接DB，因为AB是圆O 的直径，所以，所以在中，中线，由射影定理可得，所以.

在中，由射影定理可得，即，

由得，

故选A.

【点睛】

本题考查圆的性质、射影定理的应用，考查推理能力，属于中档题.

9．C

【分析】

根据等差数列的性质及等差数列前n项和的性质，逐步化简，即可得到本题答案．

【详解】

由题意可知b3＋b13＝b5＋b11＝b1＋b15＝2b8，

∴＋＝＝＝＝＝＝

故选：C．

10．C

【分析】

由基本不等式得出关于的不等式，解之可得．

【详解】

因为，

所以，当且仅当时取等号．

，解得或（舍去），

所以，即的最小值.4．此时．

故选：C．

11．D

【分析】

由先求出，从而得出，由讨论出其单调性，从而得出答案.

【详解】

当时，；

由，当时，，

两式相减，可得，

解得，当时，也符合该式，故．

所以

由，解得；又，所以，所以，当时，，故，因此最大项为，

故选：D．

12．C

【详解】

由题意得：，

，又，

数列是以为首项，为公比的等比数列，，

又，，…，，，

，；

，，

，

，

，，，，

对恒成立，，则实数的最大值为.

故选：C.

【点睛】

关键点点睛：本题考查函数与导数、数列的综合应用问题，解题关键是能够采用构造法、累加法求得数列的通项公式，进而确定求和方法为裂项相消法，从而求得的形式.

13．

【分析】

由三角形面积公式求A，再由余弦定理求BC.

【详解】

∵ ，

∴，又，，

∴ ，又A为锐角，

∴ ，

由余弦定理可得，

∴ ，

∴ ，

故答案为：.

14．

【分析】

根据等比数列的前项和公式，和，对进行分类讨论，列出方程，即可求出结果.

【详解】

当时，

，；

当时， ，

得，

∴，

解得或 (舍去)或 (舍去)，

∴.

故答案为：.

15．

【分析】

分类讨论，当，，时，目标函数是否有最小值即可．

【详解】

作出可行域，如图所示阴影部分（含边界），

当时，目标函数是平行于轴的直线，存在最小值，满足题意，

当时，目标函数的斜率为负，此时目标函数有最大值，无最小值，当时，目标函数的斜率为正，此时目标函数有最小值，满足题意，综上可得，．

故答案为：

16．①②④

【分析】

①由，根据判断；②利用等比数列的性质判断；③利用前n项积的定义判断；④利用前n项积的定义结合等比数列的性质判断.

【详解】

①，因为，则，故正确；

②，故正确；

③，故错误；

④因为，

，故正确；

故答案为： ①②④

17．

【分析】

由题意可知，关于的二次方程的两根分别为、，利用韦达定理可求得、的值，再利用二次不等式的解法解不等式，即可得解.

【详解】

因为不等式的解集是，则，

且关于的二次方程的两根分别为、，

所以，解得，

不等式即为，解得.

故不等式的解集为.

18．（1）；（2）．

【分析】

（1）利用等差数列以及三角形内角和，正弦定理以及余弦定理求解即可；

（2）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数，结合三角函数的最值求解即可．

【详解】

（1）由角A、B、C的度数成等差数列，得2B＝A＋C．

又，∴．

由正弦定理，得，即．

由余弦定理，得，

即，解得．

（2）由正弦定理，得，

∴，．

∴

．

由，得．

所以当时，即时，．

19．

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

试题分析：

（Ⅰ）由求通项公式主要利用求解；（Ⅱ）整理数列的通项公式，结合其特点采用裂项相消法求和

试题解析：（1）当时，；

当时，

得：

但不符合上式，因此：

（2）当时，

当时，

且符合上式，因此：

考点：数列求通项公式及数列求和

20．（1），；（2）当时，工厂产生的噪声对居民区的影响最小.

【分析】

（1）由正弦定理求得，由三角形内角和求得范围；

（2）由余弦定理求得，并由三角函数恒等变换公式，结合正弦函数性质得最大值．

【详解】

解：（1）因为，

所以.

在中，由正弦定理得：

因为，所以，

（2）在中，

当且仅当，即时，取得最大值144，即取得最大值12.

答：当时，工厂产生的噪声对居民区的影响最小.

21．（1），；（2）年产量为5万台时，年利润最大，最大年利润是4000万元．

【分析】

（1）根据生产1万台该款电动摩托车需投入资金3000万元，求出的值，然后年利润销售额投入资金改造费，从而可求出所求；

（2）分段函数求最值分段求，利用二次函数的性质和基本不等式分别求出最值，比较即可求出所求．

【详解】

（1）由题意，所以，        

当时，；      

当时，，     

所以；

（2）当时，，

所以当时，．      

当时，，

因为，所以，当且仅当时，即时等号成立，   

所以，

所以当时，，因为， 

所以，当2021年该款摩托车的年产量为5万台时，年利润最大，最大年利润是4000万元．

22．（1）；（2）.

【分析】

（1）当时，可求的值，当时，与两式相减即可得两边同时乘以，得，令，可得是等差数列，求出的通项即可求的通项；

（2）由（1）知，利用乘公比错位相减求和求出，当，时单独讨论，当时，化为，即.令（，），则，计算判断的单调性求出的最小值，即可求得实数的取值范围．

【详解】

（1）由已知，，

当时，，解得.

当时，．

两式相减，得．

两边同时乘以，得，

令，则，

所以数列是公差为1的等差数列，其首项为

所以，即，

所以.

（2）由（1）知，，所以．

则，①

，②

①-②，得，

即，

，则.

由已知，对任意的正整数，恒有．

当时，化为，得.

当时，化为，

此时，为任意实数不等式都成立．

当时，化为，

即.

令（，），

则，

所以

．

当时，，则，

所以（，）单调递增，

所以的最小值为，则.

综上可知，，即的取值范围是．

【点睛】

关键点点睛：第一问的关键点是需要讨论，当时求得，当时，与已知条件两式相减得，这种类型需要两边同时乘以得，第二问是根据不等式恒成立求参数的值，求出可得，此时不是恒大于，当，时单独讨论，当时，分离化为，即，再构造（，），利用作差法判断单调性求最小值即可.