湖北省汉川实验高中2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题（含答案）

汉川实验高中2020-2021学年度下学期高二年级期中考试

数学试卷

卷面满分  150分答卷时间  120分钟

★★★祝考试顺利★★★

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1、设集合则（）

A. B. C. D.

2、设复数满足，则的共轭复数（）

A. B. C. D.

3、若为的边的中点，（）

A. B. C. D.

4、已知随机变量，则E(ξ)等于(　　)

A．B．2C.3D.

5、已知命题是方程的一个根，，则是的（）

A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件

6、某班有50名学生，其中有45名学生喜欢乒乓球或羽毛球，32名学生喜欢乒乓球，26名学生喜欢羽毛球，则该班既喜欢乒乓球又喜欢羽毛球的学生数占该班学生总数的比例是（）

A. 38%B. 26%C. 19%D. 15%

7、设随机变量X的分布列为则P(|X－3|＝1)等于(　　)

A.B..CD.

8、已知随机变量X服从正态分布N(a,4)，且P(X>1)＝0.5，P(X>2)＝0.3，则P(X<0)等于(　　)

A．0.2B．0.3C．0.7D．0.8

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9、为做好精准扶贫工作，需关注贫困户的年收入情况.经统计，某贫困户近5年的年收入分别为，，，，.下面给出的指标可以用来评估该贫困户年收入的稳定程度（）

A. ，，，，的平均数 B. ，，，，的标准差

C. ，，，，的最大值 D. ，，，，的方差

10、若x≥y，则下列不等式中正确的是(　　)

A．2x≥2yB.≥C．x2≥y2D．x2＋y2≥2xy

11、在统计中，有一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)利用最小二乘法得到两个变量的线性回归方程为＝x＋，那么下列说法正确的是(　　)

A．相关系数r不可能等于1

B．直线＝x＋必经过点

C．直线＝x＋表示最接近y与x之间真实关系的一条直线

D．相关系数为r，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小

12、甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是(　　)

A．P(B)＝B．P(B|A1)＝

C．事件B与事件A1相互独立D．A1，A2，A3是两两互斥的事件

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.

13、已知，，则

14、的展开式中x3项的系数为(用数字作答)

15、从4名男生和3名女生中选出4名去参加一项活动，要求男生甲和乙不能同时参加，女生中的丙和丁至少有一名参加，则不同的选法种数为________．(用数字作答)

16、计算机毕业考试分为理论与操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，只有两部分考试都“合格”者，才给颁发计算机“合格证书”．甲、乙两人在理论考试中“合格”的概率依次为，，在操作考试中“合格”的概率依次为，，所有考试是否合格相互之间没有影响．则甲、乙进行理论与操作两项考试后，恰有一人获得“合格证书”的概率为________．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17、（10分）已知函数（为常数），且.

（1）求的值；

（2）解不等式.

18、（12分）如图，在三棱锥中，平面，，，分别为，的中点.求证：

（1）平面；

（2）.

19、（12分）的内角的对边分别为，，，面积为.已知，，再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的周长.

条件①：；条件②：.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

20、某篮球队在某赛季已结束的8场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如图所示．

(1)根据这8场比赛，估计甲每场比赛中得分的均值μ和标准差σ；

(2)假设甲在每场比赛的得分X服从正态分布N(μ，σ2)，且各场比赛间相互没有影响，依此估计甲在88场比赛中得分Y在26分以上的平均场数(结果保留整数)．

参考数据：

≈5.66，≈5.68，≈5.70.①P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.682 7；

②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.954 5；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.997 3.

21、下表为2017年至2020年某百货零售企业的线下销售额(单位：万元)，其中年份代码x＝年份—2016.

（1）已知y与x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程，并预测2021年该百货零售企业的线下销售额；

（2）随着网络购物的飞速发展，有不少顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长表示怀疑，某调查平台为了解顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长的看法，随机调查了55位男顾客、50位女顾客(每位顾客从“持乐观态度”和“持不乐观态度”中任选一种)，其中对该百货零售企业的线下销售额持续增长持乐观态度的男顾客有10人、女顾客有20人，能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关？

参考公式及数据：，＝－，

K2＝，n＝a＋b＋c＋d.

22、为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时．

（1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；

（2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ(单位：元)，求ξ的分布列与数学期望E(ξ)。

汉川实验高中2020-2021学年度下学期高二年级期中考试

数学答案评分标准

一、单项选择题答案（40分，每小题5分）

二、多项选择题答案（20分，每小题5分）

三、填空题答案（20分，每小题5分）

13、14、80       15、2316、

17、四、解答题答案（6小题，共70分）（10分）

解：（1）…………4分

（2）由（1）知

由得，…………8分

解得.

不等式的解集为.        …………10分

18、证明：

（1）分别为的中点，

又

…………6分

（2）

,

又

…………12分

19、（12分）

解：选择条件①：

…………2分

由余弦定理可得：

，即，…………8分

又.可得…………10分

所以，周长.       …………12分

选择条件②：

由可得，…………4分

…………6分

…………10分

所以，周长.     …………12分

20、（12分）

解　(1)由题图可得μ＝(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，

σ2＝[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25，所以σ≈5.68.

所以估计甲每场比赛中得分的均值μ为15，标准差σ为5.68.…………6分

(2)由(1)得甲在每场比赛中得分在26分以上的概率

P(X≥26)≈[1－P(μ－2σ<X<μ＋2σ)]

≈(1－0.9545)＝0.02275，

则Y～B(88,0.02275)．

Y的均值E(Y)＝88×0.02275≈2.

由此估计甲在88场比赛中得分在26分以上的平均场数为2.…………12分

21、（12分）

解：(1)由题意得＝2.5，则

＝71，…………2分

所以＝－＝200－71×2.5＝22.5，…………3分

所以y关于x的线性回归方程为＝71x＋22.5.…………4分

由于2 021－2 016＝5，所以当x＝5时，＝71×5＋22.5＝377.5，所以预测2021年该百货零售企业的线下销售额为377.5万元.…………6分

(2)由题可得2×2列联表如下：

…………8分

故K2＝≈6.109.…………10分

由于6.109＞5.024，所以可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关.………12分

22、（12分）

解　(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元，两人都付0元的概率为p1＝×＝，

两人都付40元的概率为p2＝×＝，

两人都付80元的概率为

p3＝×＝×＝，

则两人所付费用相同的概率为p＝p1＋p2＋p3＝＋＋＝.………4分

(2)由题设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ可能取值为0，40，80，120，160，则：…………5分

P(ξ＝0)＝×＝；

P(ξ＝40)＝×＋×＝；

P(ξ＝80)＝×＋×＋×＝；

P(ξ＝120)＝×＋×＝；

P(ξ＝160)＝×＝.

ξ的分布列为

…………10分

E(ξ)＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80.…………12分