2020届北京密云县高三一模数学试卷及解析

这是一份2020届北京密云县高三一模数学试卷及解析，共19页。试卷主要包含了 已知，则“”是“”的等内容，欢迎下载使用。

密云区2019-2020学年第二学期高三第一次阶段性测试
数学试卷 2020.4

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项．
1．已知集合，，则=
A. B. C. D.

2．已知复数，则=
A. B. C. D.

3. 设数列是等差数列，则这个数列的前7项和等于
A.12　　　 　B.21　　　 　C.24　　　　 D.36

4. 已知平面向量，，//，则实数的值等于
A．6 B．1 C． D．

5. 已知，则“”是“”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

6．如果直线与圆相交，则点与圆的位置关系是
A．点在圆上 B．点在圆外
C．点在圆内 D．上述三种情况都有可能

O
x
y


第7题图
1
7．函数的部分图象如图所示，则的单调递增区间为
A．，
B．，
C．，
D．，


第8题图
8. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为
A．8
B．
C．
D．

9. 已知斜率为的直线与抛物线交于，两点，线段的中点为，则斜率的取值范围是
A. B. C. D.

第10题图
10. 在正方体AC1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F与平面D1AE的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确的是
A．点F的轨迹是一条线段
B．A1F与BE是异面直线
C．A1F与D1E不可能平行
D．三棱锥F-ABD1的体积为定值

二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．已知的展开式中，含项的系数为_______.（用数字作答）．

12．双曲线的焦点坐标是_________，渐近线方程是_______．

13. 在疫情防控过程中，某医院一次性收治患者127人．在医护人员的精心治疗下，第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院．如果从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，那么第19天治愈出院患者的人数为______，第_______天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院．

14. 函数的最小正周期是_________，单调递增区间是_______．

15. 已知函数若关于的方程有且只有两个不相等的实数根,则实数的取值范围是________．




三、解答题: 本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
16.（本小题满分14分）
在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，并且．
（Ⅰ）已知 ，计算的面积；
请从①，②，③这三个条件中任选两个，将问题（Ⅰ）补充完整，并作答．注意，只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计分．
（Ⅱ）求的最大值．

17.（本小题满分14分）
在考察疫情防控工作中，某区卫生防控中心提出了“要坚持开展爱国卫生运动，从人居环境改善、饮食习惯、社会心理健康、公共卫生设施等多个方面开展，特别是要坚决杜绝食用野生动物的陋习，提倡文明健康、绿色环保的生活方式”的要求．某小组通过问卷调查，随机收集了该区居民六类日常生活习惯的有关数据．六类习惯是：（1）卫生习惯状况类；（2）垃圾处理状况类；（3）体育锻炼状况类；（4）心理健康状况类；（5）膳食合理状况类；（6）作息规律状况类．经过数据整理，得到下表：

卫生习惯
状况类
垃圾处理
状况类
体育锻炼
状况类
心理健康
状况类
膳食合理
状况类
作息规律
状况类
有效答卷份数
380
550
330
410
400
430
习惯良好频率
0.6
0.9
0.8
0.7
0.65
0.6
假设每份调查问卷只调查上述六类状况之一，各类调查是否达到良好标准相互独立．
（Ⅰ）从小组收集的有效答卷中随机选取1份，求这份试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者的概率；
（Ⅱ）从该区任选一位居民，试估计他在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备2类良好习惯的概率；
（Ⅲ）利用上述六类习惯调查的排序，用“”表示任选一位第类受访者是习惯良好者，“”表示任选一位第类受访者不是习惯良好者（k=1，2，3，4，5，6）．写出方差的大小关系．

N

A
B
C
D
M
第18题图
18.（本小题满分15分）
如图，在四棱锥 中，底面是边长为2的菱形，， 为等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD，M，N分别是线段PD和BC的中点.
（Ⅰ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）试判断直线MN与平面 PAB的位置关系，并给出证明．
19.（本小题满分14分）
已知函数，．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）判断函数的零点个数．


20.（本小题满分14分）
已知椭圆：的离心率为，且过点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）点是椭圆上异于短轴端点A，B的任意一点，过点作轴于，线段的中点为．直线与直线交于点，为线段的中点，设为坐标原点，试判断以OD为直径的圆与点M的位置关系．


21.（本小题满分14分）
设等差数列的首项为，公差为，；等差数列的首项为，公差为，．由数列和构造数表，与数表：
记数表中位于第行第列的元素为，其中 ．
记数表中位于第行第列的元素为，其中 ．如：，．
（Ⅰ）设，，请计算，， ；
（Ⅱ）设，，试求，的表达式（用表示），并证明：对于整数，若不属于数表，则属于数表；
（Ⅲ）设，，对于整数，不属于数表，求的最大值．




（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）




密云区2019-2020学年第二学期高三第一次阶段性测试
数学试卷参考答案及评分标准

一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
B
A
D
B
D
D
C
C

二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分．
11． 12．； 13．16；21
14．； 15.．
备注：若小题有两问，第一问3分，第二问2分．

三、解答题：共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16.（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：由余弦定理得，
在中，，所以．
若选择①和②
方法一
将，代入化简得．
所以（舍），或．
因此．
方法二
由正弦定理得，
所以，因此．
在中，因为，所以．
因此为锐角，所以．
所以．
因此．
若选择①和③
由得
（R为外接圆的半径），
所以．
将，代入解得．
所以．
所以．
若选择②和③
由得
（R为外接圆的半径），
所以．
因为，所以．
所以．
（Ⅱ）解：因为，所以．
所以

．
因为，所以．
所以当时，有最大值1.

17. （本小题满分14分）
（Ⅰ）解：记“选取的这份试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者”为事件A.
有效问卷共有 380+550+330+410+400+430=2500（份），
受访者中膳食合理习惯良好的人数是人，
所以，．
（Ⅱ）解：记事件A为“该区卫生习惯良好者”，
事件B为“该区体育锻炼状况习惯良好者”，
事件C为“该区膳食合理习惯良好者”，
由题意，估计可知，
设事件为“该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯中，至少具备2个良好习惯”．
由题意知，

所以事件的概率





所以该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯中，至少具备2
个良好习惯的概率为0.766．
（Ⅲ）解：．

N

A
B
C
D
M

x
y
z
O
18．（本小题满分15分）
（Ⅰ）解：取中点为，连接OP，OC和AC．
因为为等边三角形，
所以．
因为平面PAD ⊥平面ABCD，平面PAD，
所以平面ABCD．
因为平面ABCD，
所以．
在菱形ABCD中，，，
所以为正三角形，因此．
以为原点建立空间直角坐标系，如图所示．
则，，，，，
，，．
所以，，．
设平面的法向量，
由 得
令，则．
设直线与平面所成角为，
则有
所以直线与平面所成角的正弦值为．
（Ⅱ）解：因为，所以平面PAD．
所以是平面PAD的法向量，
则有，
因为二面角的平面角为钝角，
所以二面角的余弦值为．
（Ⅲ）解：结论//平面．
因为，
所以．
因此．
又因为直线平面，
所以//平面．

19.（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：因为，，
所以．
，
又因为，
所以切线方程为.
（Ⅱ）解：因为，
（1）当时
因为，
所以的单调增区间是，无单调减区间.
（2）当时
令，则．
① 当时，与在上的变化情况如下：





—
0
+

↘

↗
所以的单调减区间是，单调增区间是．
②当时，与在上的变化情况如下：





+
0
—

↗

↘
所以的单调增区间是，单调减区间是．
综上所述，当时，的单调增区间是，无单调减区间；当时，
的单调减区间是，单调增区间是；当时，的单调增区
间是，单调减区间是．
（Ⅲ）解：方法一
因为，
所以令，得.
（1）当时，方程无解，
此时函数无零点；
（2）当时，解得，
此时函数有唯一的一个零点.
综上所述，当时，函数无零点；当时，函数有一个零点.
方法二
（1）当时
因为，
所以函数无零点；
（2）当时
因为，，在区间单调递增，
所以在区间内有且仅有唯一的零点；
若，则，
又因为，所以．
即函数在区间内没有零点．
故当时，有且仅有唯一的零点．
（3）当时
因为，，
并且在区间单调递减，
所以在区间内有且仅有唯一的零点；
若，则，
又因为，所以．
即函数在区间内没有零点．
故当时，有且仅有唯一的零点．
综上所述：当时，函数无零点；当时，函数有一个零点.

20．（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：根据题意得解得
所以椭圆的方程为．
（Ⅱ）解：方法一 点在以为直径的圆上．
设点，则， ，
并且， ，．
因此．
所以直线的方程为．
令，解得．
所以，．
所以．
因为，
所以
．
因为，所以．
所以．
因此．
所以点在以为直径的圆上．
方法二 点在以为直径的圆上．
设点，
则，并且，．
因此．
所以直线的方程为．
令，解得．
所以，．
设为线段的中点，则．
所以=．
设以为直径的圆的半径为，
则 ．
所以

因为，所以．
所以．
因此．
所以点在以为直径的圆上．

22．（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：由题意，数列的通项公式为，
数列的通项公式为．
得，，则，．
得，，则． 　　
（Ⅱ）证明：已知，，得数列的通项公式为，
数列的通项公式为．
所以，，． 　　　
所以，，．　
所以，若，则存在，使．
若，则存在，使．
因此，对于整数，考虑集合，
即，，，，，，．
下面证明：集合中至少有一元素是的倍数．
反证法：假设集合中任何一个元素，都不是的倍数，
则集合中每一元素关于的余数可以为1，2，3，4，5，6．
又因为集合中共有7个元素，
所以集合中至少存在两个元素关于的余数相同，
不妨设为，其中．
则这两个元素的差为的倍数，即．
所以，与矛盾．
所以假设不成立，即原命题成立．　　　　　　　　　　　　　　　　
即集合中至少有一元素是的倍数，不妨设该元素为．
则存在，使，即．
由已证可知，若，则存在，使．
而，所以为负整数，设，则，且．
所以，当，时，对于整数，若，则成立．
（Ⅲ）解：下面用反证法证明：若对于整数，，则．
假设命题不成立，即，且．
则对于整数，存在，，使成立．
整理，得．
又因为，，所以且是7的倍数．
因为，所以，所以矛盾，即假设不成立．
所以，对于整数，若，则．
又由第二问，对于整数，，则．
所以的最大值，就是集合中元素的最大值．
又因为，
所以．