2020届北京市怀柔区高三一模数学试卷及答案

2020届北京市怀柔区高三一模数学试卷及答案

一、单选题

1．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

2．已知复数满足，则

A． B． C． D．

3．函数的最小正周期为（       ）

A． B． C． D．

4．函数f(x)=|log2x|的图象是（ ）

A． B．

C． D．

5．在等差数列中，若，则（       ）

A．6 B．10 C．7 D．5

6．已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于原点对称，则圆C的方程为（       ）

A．x2＋y2＝1 B．x2＋(y＋1)2＝1

C．x2＋(y－1)2＝1 D．(x＋1)2＋y2＝1

7．已知，则“”是“”的（       ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．非充分非必要条件

8．如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（       ）

A． B． C． D．

9．已知，则下列不等式成立的是

A． B． C． D．

10．“割圆术”是我国古代计算圆周率的一种方法.在公元年左右，由魏晋时期的数学家刘徽发明.其原理就是利用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，进而求.当时刘微就是利用这种方法，把的近似值计算到和之间，这是当时世界上对圆周率的计算最精确的数据.这种方法的可贵之处就是利用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限的来逼近无穷的.为此，刘微把它概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这种方法极其重要，对后世产生了巨大影响，在欧洲，这种方法后来就演变为现在的微积分.根据“割圆术”，若用正二十四边形来估算圆周率，则的近似值是（       ）（精确到）（参考数据）

A． B．

C． D．

二、填空题

11．的展开式中的系数是___________.

12．在中，，，为的中点，则___________.

13．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.

某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为____元．

14．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是___________.

三、解答题

15．已知在中，，，同时还可能满足以下某些条件：

①；②；③；④.

（1）直接写出所有可能满足的条件序号；

（2）在（1）的条件下，求及的值.

16．如图，已知四棱锥的底面ABCD为正方形，平面ABCD，E、F分别是BC，PC的中点，，．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的大小．

17．某校高一、高二年级的全体学生都参加了体质健康测试，测试成绩满分为分，规定测试成绩在之间为“体质优秀”，在之间为“体质良好”，在之间为“体质合格”，在之间为“体质不合格”.现从这两个年级中各随机抽取名学生，测试成绩如下：

其中是正整数.

（1）若该校高一年级有学生，试估计高一年级“体质优秀”的学生人数；

（2）若从高一年级抽取的名学生中随机抽取人，记为抽取的人中为“体质良好”的学生人数，求的分布列及数学期望；

（3）设两个年级被抽取学生的测试成绩的平均数相等，当高二年级被抽取学生的测试成绩的方差最小时，写出的值.（只需写出结论）

18．已知函数.

（1）求在点处的切线方程；

（2）当时，证明：；

（3）判断曲线与是否存在公切线，若存在，说明有几条，若不存在，说明理由.

19．已知椭圆的短半轴长为，离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且点在第一象限，轴，垂足为，连接并延长交椭圆于点，证明：是直角三角形．

20．已知数列，且.若是一个非零常数列，则称是一阶等差数列，若是一个非零常数列，则称是二阶等差数列.

（1）已知，试写出二阶等差数列的前五项；

（2）在（1）的条件下，证明：；

（3）若的首项，且满足，判断是否为二阶等差数列.

四、双空题

21．已知抛物线的焦点与双曲线的右顶点重合，则抛物线的焦点坐标为__________；准线方程为___________.

参考答案：

1．A

【解析】

【分析】

根据交集的概念，可得结果.

【详解】

由题可知：，

所以

故选：A

【点睛】

本题考查交集的概念，属基础题.

2．C

【解析】

【详解】

把两边同乘以，则有，，故选C.

3．B

【解析】

【分析】

根据二倍角的余弦公式，可得，然后利用，可得结果.

【详解】

由题可知：

所以最小正周期为

故选：B

【点睛】

本题考查二倍角的余弦公式以及三角函数最小正周期的求法，重在识记公式，属基础题.

4．A

【解析】

【详解】

试题分析：易知函数值恒大于等于零，同时在（0，1）上单调递减且此时的图像是对数函数的图像关于x轴的对称图形，在单调递增．故选A．

考点：已知函数解析式作图．

5．B

【解析】

【分析】

由等差数列的性质可得：，代入可得，而要求的值为，代入可得．

【详解】

由等差数列的性质可得：

所以，即，，

故，

故选：B．

6．D

【解析】

【分析】

利用对称性，可得点坐标以及圆的半径，然后可得结果.

【详解】

由题可知：圆的圆心，半径为

所以圆的方程为：

故选：D

【点睛】

本题考查圆的方程，直观形象，简单判断，对圆的方程关键在于半径和圆心，属基础题.

7．C

【解析】

【分析】

根据向量的垂直关系，可得，简单计算，可得结果.

【详解】

由，则

又，所以

若，且，所以，则

所以“”是“”的充要条件

故选：C

【点睛】

本题考查向量的垂直的数量积表示以及计算，同时考查了充分、必要条件，识记概念与计算公式，属基础题.

8．D

【解析】

【分析】

利用数形结合，还原出原几何体的直观图，可得该几何体为一个三棱锥，然后根据锥体体积公式简单计算即可.

【详解】

根据三视图可知，该几何体的直观图为三棱锥，

如图

可知，点到平面的距离为

所以

故选：D

【点睛】

本题考查三视图还原以及几何体体积，关键在于三视图的还原，熟悉常见的几何体的三视图，比如：圆锥，圆柱，球，三棱锥等，属中档题.

9．D

【解析】

【分析】

利用作差法逐一分析四个选项，即可得答案.

【详解】

选项A：，，所以A错误；

选项B：，，所以B错误；

选项C：，，所以C错误；

选项D：，所以D正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查不等式的性质，一般利用不等式的性质，作差法，作商法，特殊值法进行判断，属基础题.

10．C

【解析】

【分析】

假设圆的半径为，根据以圆心为顶点将正二十四边形分割成全等的24个等腰三角形，顶角为，计算正二十四边形的面积，然后计算圆的面积，可得结果.

【详解】

设圆的半径为，

以圆心为顶点将正二十四边形分割成全等的24个等腰三角形

且顶角为

所以正二十四边形的面积为

所以

故选：C

【点睛】

本题考查分割法的使用，考验计算能力与想象能力，属基础题.

11．；

【解析】

【分析】

根据二项式定理的通项公式，简单计算，可得结果.

【详解】

由题可知：的通项公式为，

令

所以的系数是

故答案为：

【点睛】

本题考查二项式中指定项的系数，掌握公式，细心计算，属基础题.

12．；

【解析】

【分析】

计算，然后将用表示，最后利用数量积公式可得结果.

【详解】

由，，

所以

又为的中点，

所以

所以

故答案为：

【点睛】

本题考查向量的数量积运算，给出已知的线段与相应的夹角，通常可以使用向量的方法，将几何问题代数化，便于计算，属基础题.

13．1120

【解析】

【分析】

明确折扣金额y元与购物总金额x元之间的解析式，结合y＝30＞25，代入可得某人在此商场购物总金额, 减去折扣可得答案．

【详解】

由题可知：折扣金额y元与购物总金额x元之间的解析式，

y

∵y＝30＞25

∴x＞1100

∴0.1（x﹣1100）+25＝30

解得，x＝1150，

1150﹣30＝1120，

故此人购物实际所付金额为1120元．

【点睛】

本题考查的知识点是分段函数，正确理解题意，进而得到满足条件的分段函数解析式是解答的关键．

14．.

【解析】

【分析】

使用等价转化的思想，转化为在恒成立，然后利用分离参数的方法，结合辅助角公式，可得，简单计算和判断，可得结果.

【详解】

由题可知：

函数在区间上单调递减

等价于在恒成立

即在恒成立

则在恒成立

所以，

由，所以

故，则

所以，即

故答案为：

【点睛】

本题考查根据函数的单调性求参，难点在于得到在恒成立，通过等价转化的思想，化繁为简，同时结合分离参数方法的，转化为最值问题，属中档题.

15．（1）①，③；（2）；

【解析】

【分析】

（1）根据大边对大角，可得，然后根据正弦定理，可得.

（2）利用正弦定理，可得，然后利用余弦定理，简单计算可得结果.

【详解】

解：（1）①，③.

（2）由，可得

解得或（舍）.

【点睛】

本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，识记公式，熟练使用正弦定理、余弦定理，边角互化，考验计算能力，属中档题.

16．（1）见解析 （2）

【解析】

【详解】

（1）

（2）以A为原点，如图所示建立直角坐标系

，，

设平面FAE法向量为，则

，，

17．（1）；（2）详见解析；（3）

【解析】

【分析】

（1）根据表中数据计算样本中的优秀率，然后用样本估计整体，简单计算可得结果.

（2）写出所有可能取值，并求得相应的概率，列出分布列，然后根据数学期望公式，可得结果.

（3）根据两个年级被抽取学生的测试成绩的平均数相等，可得之间关系，然后利用方差公式，结合二次函数，可得结果.

【详解】

解：（1）高一年级随机抽取的7名学生中，

“体质优秀”的有3人，优秀率为，将此频率视为概率，

估计高一年级“体质优秀”的学生人数为.

（2）高一年级抽取的7名学生中

“体质良好”的有2人，非“体质良好”的有5人.

所以的可能取值为

所以

所以随机变量的分布列为：

（3）

【点睛】

本题考查离散性随机变量的分布列以及数学期望，同时考查平均数与方差，本题主要考验计算，牢记计算的公式，掌握基本统计量的概念，属基础题.

18．（1）；（2）证明见解析；（3）存在；存在2条公切线

【解析】

【分析】

（1）计算，根据曲线在该点处导数的几何意义可得切线的斜率，然后计算，利用点斜式，可得结果.

（2）分别构造，通过导数研究的性质，可得 ，，简单判断，可得结果.

（3）分别假设与的切线，根据公切线，可得，利用导数研究函数零点个数，根据性质可得结果.

【详解】

解：（1）的定义域

又

所以在点处的切线方程为：.

（2）设，

，

设则在上恒成立

综上

（3）曲线与存在公切线，且有2条，理由如下：

由（2）知曲线与无公共点，

设分别切曲线与于，则

，

若，即曲线与有公切线，则

令，

则曲线与有公切线，当且仅当有零点，

，

当时，，在单调递增，

当时，，在单调递减

，

所以存在，使得

且当时，单调递增，

当时，单调递减

，

又

所以在内各存在有一个零点

故曲线与存在2条公切线.

【点睛】

本题考查导数综合应用，掌握曲线在某点处导数的几何意义，同时比较式子之间大小关系常用方法：作差法，函数单调性等，考验逻辑推理能力，属难题.

19．（1）（2）见解析

【解析】

（1）由题得，，解之即得椭圆的方程；（2）设，，则，，联立直线BE的方程和椭圆的方程求出， ，证明，是直角三角形即得证.

【详解】

（1）依题意可得，所以，

得，所以椭圆的方程是 .                                           

（2）设，，则，，

直线的方程为，                                                    

与联立得 ，                    

因为，是方程的两个解，

所以   

又因为，

所以，代入直线方程得                      

所以，即是直角三角形.

【点睛】

本题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.

20．（1），，，，;（2）证明见解析；（3）不是二阶等差数列

【解析】

【分析】

（1）根据，以及，简单计算，可得结果.

（2）根据，可知，利用，使用迭加法，可得.

（3）根据题意可得，进一步可得，然后可得，简单判断，可得结果.

【详解】

解：（1），，，，.

（2）

又

.

（3）不是二阶等差数列.理由如下：

数列满足

又，（）

由

则

数列是首项为，公比为4的等比数列

，显然非常数列

不是二阶等差数列.

【点睛】

本题考查数列中新定义的理解，关键在于发现之间的关系，考查观察能力，分析能力以及逻辑思维能力，新定义的理解同时考查了阅读理解能力，属难题.

21．          ；

【解析】

【分析】

计算双曲线的右顶点坐标，可得抛物线的焦点坐标，进一步可得准线方程.

【详解】

由题可知：双曲线的右顶点坐标为

所以可知抛物线的焦点坐标为，准线方程为

故答案为：；

【点睛】

本题主要考查抛物线的方程的应用，审清题意，注意细节，属基础题.