2023年北京市石景山区高三一模考试数学试卷（含答案解析）

2023年北京市石景山区高三一模考试数学试卷

1.  已知集合，，则

A.  B.  C.  D.

2.  在复平面内，复数z对应的点的坐标为，则

A.  B.  C.  D.

3.  已知双曲线的离心率是2，则

A. 12 B.  C.  D.

4.  下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是

A.  B.
C.  D.

5.  设，，则“”是“”的

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

6.  已知数列满足：对任意的，都有，且，则

A.  B.  C.  D.

7.  若函数的部分图象如图所示，则的值是
 

A.  B.  C.  D.

8.  在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度单位：与燃料的质量单位：，火箭除燃料外的质量单位：的函数关系是当燃料质量与火箭质量的比值为时，火箭的最大速度可达到若要使火箭的最大速度达到，则燃料质量与火箭质量的比值应为

A.  B.  C.  D.

9.  已知直线被圆所截得的弦长为整数，则满足条件的直线l有

A. 6条 B. 7条 C. 8条 D. 9条

10.  已知正方体的棱长为2，点P为正方形ABCD所在平面内一动点，给出下列三个命题：

①若点P总满足，则动点P的轨迹是一条直线；

②若点P到直线与到平面的距离相等，则动点P的轨迹是抛物线；

③若点P到直线的距离与到点C的距离之和为2，则动点P的轨迹是椭圆．

其中正确的命题个数是

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

11.  向量，，若，则__________.

12.  抛物线的焦点坐标为_______，若抛物线C上一点M的纵坐标为2，则点M到抛物线焦点的距离为________.

13.  若的展开式中含有常数项，则正整数n的一个取值为_________.

14.  设函数

①若，则的最大值为_______；

②若无最大值，则实数a的取值范围是_______.

15.  项数为的有限数列的各项均为不小于的整数，满足，其中给出下列四个结论：

①若，则；  

②若，则满足条件的数列有4个；

③存在的数列；

④所有满足条件的数列中，首项相同．

其中所有正确结论的序号是___________.

16.  如图，在中，，，点D在BC边上，

求AD的长；

若的面积为，求AB的长．

17.  某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察速效肥和缓释肥对农作物影响情况．其中速效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应三组．观察一段时间后，分别从三组随机抽取40株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表．

假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立．

从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，估计株高增量为厘米的概率；

分别从第1组，第2组，第3组的所有鸡冠花中各随机选取1株，记这3株鸡冠花中恰有X株的株高增量为厘米，求X的分布列和数学期望EX；

用“”表示第k组鸡冠花的株高增量为厘米，“”表示第k组鸡冠花的株高增量为厘米，，直接写出方差的大小关系．结论不要求证明

18.  如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD为等腰直角三角形，且，点F为棱PC上的点，平面ADF与棱PB交于点

求证：；

从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面PCD与平面ADFE所成锐二面角的大小．

条件①：；

条件②：平面平面ABCD；

条件③：

注：如果选择的条件不符合要求，第问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

19.  已知椭圆过点，且离心率为

求椭圆C的方程；

过点且互相垂直的直线分别交椭圆C于两点及两点．求的取值范围．

20.  已知函数

当时，

求曲线在点处的切线方程；

求证：，

若在上恰有一个极值点，求m的取值范围．

21.  若无穷数列满足以下两个条件，则称该数列为数列.

①，当时，；

②若存在某一项，则存在，使得且

若，写出所有数列的前四项；

若，判断数列是否为等差数列，请说明理由；

在所有的数列中，求满足的m的最小值．

答案和解析

1.【答案】A 

【解析】略
 

2.【答案】C 

【解析】略
 

3.【答案】B 

【解析】略
 

4.【答案】D 

【解析】略
 

5.【答案】A 

【解析】略
 

6.【答案】B 

【解析】略
 

7.【答案】A 

【解析】略
 

8.【答案】D 

【解析】略
 

9.【答案】B 

【解析】略
 

10.【答案】C 

【解析】略
 

11.【答案】 

【解析】略
 

12.【答案】 

【解析】略
 

13.【答案】只要是3的正整数倍即可 

【解析】略
 

14.【答案】 

【解析】略
 

15.【答案】①②④ 

【解析】略
 

16.【答案】解：因为，所以
在中，因为，
所以
在中，由正弦定理得，
所以
的面积为，得，
因为，所以
又因为，所以
在中，由余弦定理得

所以 

【解析】略
 

17.【答案】解：设事件A为“从第1组所有鸡冠花中各随机选取1株，株高增量为厘米”，根据题
中数据，第1组所有鸡冠花中，有20株鸡冠花增量为厘米.
所以估计为
设事件B为“从第2组所有鸡冠花中各随机选取1株，株高增量为厘米”，设事件 C
为“从第3组所有鸡冠花中各随机选取1株，株高增量为厘米”，根据题中数据，估计为，
估计为
根据题意，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，且
，




所以，估计为估计为
估计为估计为
所以X的分布列为

所以EX估计为
 

【解析】略
 

18.【答案】解：证明：因为底面ABCD是正方形，所以，
平面PBC，平面PBC，
所以平面PBC
又因为平面ADF与PB交于点
平面ADFE，平面平面，
所以
选条件①②
侧面PAD为等腰直角三角形，且，
即，
平面平面ABCD，
平面平面，平面PAD，
则平面ABCD，又ABCD为正方形，
所以，，
以点A为坐标原点，AB，AD，AP方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，
建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
因为，所以点E为PB的中点，则
从而：，，，
设平面ADFE的法向量为：，
则，
令，可得

方法因为PAB为等腰三角形，则，，
平面ADFE，则平面ADFE的法向量
设平面PCD的法向量为：，则
，
令，可得
所以，
则两平面所成的锐二面角为
选条件①③
侧面PAD为等腰直角三角形，且，即，
，，可得平面PAB，平面PAB，则
又因为，，
则平面ADFE，平面ADFE，则
因为，所以为等腰三角形，所以点E为PB的中点
又因为，所以为等腰直角三角形，
下面同①②
选条件②③
侧面PAD为等腰直角三角形，且，
即，
平面平面ABCD，
平面平面，平面PAD，
则平面ABCD，ABCD为正方形，
所以，，
又因为，，则平面ADFE，平面ADFE，
则
因为，所以为等腰三角形，所以点E为PB的中点.
下面同①② 

【解析】略
 

19.【答案】解：因为椭圆过点，故，
，，则，
故椭圆的标准方程为：
当直线斜率不存在
，
分别代入椭圆方程得：，，，
所以：，，
，，
可得：，
当直线斜率不存在时，同理可得，
当，斜率均存在且不为0时，设直线斜率为k，则直线斜率为
设直线的方程为：，，
由，
得

，
，
同理可知：
设直线的方程为：，，
，
，
，
，
则

综上所述：的取值范围是 

【解析】略
 

20.【答案】解：当时，，
，又，所以切线l方程为

解法一：，因为，所以，，
所以，所以
所以在单调递增，所以
解法二：令，，则
所以，函数在单调递增.
所以，即
令，，则
所以，函数在单调递增.
所以，即
所以
，，
当时，所以，
，
由知，，
所以在上单调递增.
所以当时，没有极值点.
当时，，
因为与在单调递增.
所以在单调递增.
所以，
所以使得
所以当0时，，因此在区间上单调递减.
当时，，因此在区间上单调递增.
故函数在上恰有一个极小值点，m的取值范围是 

【解析】略
 

21.【答案】解：由条件①知，当时，或
因为，由条件①知
所以数列的前四项为：1，，1，，，1，，，3，，，3，
若，数列是等差数列.
由条件①知，当时，或
因为，所以
假设数列中存在最小的正整数，使得
由条件①知，，，-，单调递增，即均为正数，且
所以由条件②知，则存在，使得
此时与，，，均为正数矛盾，
所以不存在整数，使得，即
所以数列为首项为1公差为4的等差数列.
由及条件②，
可得，，，，，必为数列中的项，
记该数列为，有
不妨令，由条件①，或，
均不为
此时或或或，均不为
上述情况中，当，时，，
结合，则有
由，得即为所求. 

【解析】略