2020届北京门头沟高三一模数学试卷及解析

门头沟区2020年高三年级综合练习

高 三 数 学    2020．3

一、选择题（本大题共10个小题,每小题4分,共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1.复数的模为                                          

A.           B.  1           C.   2           D. 

2.集合，则

A.      B.      C.        D. 

3.已知双曲线，则的渐近线方程为              

A． B． C． D．

4. 若等差数列的前项和为，且，，则的值为                                                   

A.    21   B.  63     C.   13    D.  84

5.某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体中最长的棱长为   

A.   B.     C.   1   D. 

6. 设非零向量，满足 。且与的夹角为，则“”是“”的

A. 充分非必要条件          B. 必要非充分条件      

 C. 充分必要条件            D. 既不充分也不必要条件

7. 已知函数，且关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围

A.      B.          C.            D.

8. 若函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的最大值为

A.          B.         C.          D. 

9. 已知点，点在曲线上运动，点为抛物线的焦点，则的最小值为 

A.      B.         C.         D.   4

10. 一辆邮车从地往地运送邮件，沿途共有地，依次记为（为地，为地）。从地出发时，装上发往后面地的邮件各1件，到达后面各地后卸下前面各地发往该地的邮件，同时装上该地发往后面各地的邮件各1 件，记该邮车到达各地装卸完毕后剩余的邮件数记为。则的表达式为

A.          B.        C.         D.

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分. ）

11. 在二项式的展开式中，的系数为       。

12. 在中，，则           。

13.在党中央的正确指导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制。下图是国家卫健委给出的全国疫情通报，甲、乙两个省份从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图如下：

根据图中甲、乙两省的数字特征进行比对，通过比较，把你得到最重要的两个结论写在答案纸指定的空白处。

①                                                           。

②                                                            。

14. 已知两点，若直线上存在点满足

则实数满足的取值范围是               。

15. 集合，

若是平面上正八边形的顶点所构成的集合，

则下列说法正确的为                        

①的值可以为2；

②的值可以为；

③的值可以为；

本题给出的结论中，有多个符合要求，全部选对得5分，不选或有选错得0分，其它得3分。

三、解答题：（本大题共6小题，满分85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明）

16.（本小题满分为13分）已知函数满足下列3个条件中的2个条件：

①函数的周期为；

②是函数的对称轴；

③且在区间上单调。

（Ⅰ）请指出这二个条件，并求出函数的解析式；

（Ⅱ）若，求函数的值域。

17.（本题满分15分）在四棱锥的底面中，，，是的中点，且

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）线段上是否存在点，使得，

若存在指出点的位置，若不存在，请说明理由。

18.（本小题满分13分）十八大以来，党中央提出要在2020年实现全面脱贫，为了实现这一目标，国家对“新农合”（新型农村合作医疗）推出了新政，各级财政提高了对“新农合”的补助标准。

提高了各项报销的比例，其中门诊报销比例如下：

表1：新农合门诊报销比例

根据以往的数据统计，李村一个结算年度门诊就诊人次情况如下：

表2：李村一个结算年度门诊就诊情况统计表

如果一个结算年度每人次到村卫生室、镇卫生院、二甲医院、三甲医院门诊平均费用分别为50元、100元、200元、500元。若李村一个结算年度内去门诊就诊人次为2000人次。

（Ⅰ）李村在这个结算年度内去三甲医院门诊就诊的人次中，60岁以上的人次占了80%，从去三甲医院门诊就诊的人次中任选2人次，恰好2人次都是60岁以上人次的概率是多少？

(Ⅱ) 如果将李村这个结算年度内门诊就诊人次占全村总就诊人次的比例视为概率，求李村这个结算年度每人次用于门诊实付费用（报销后个人应承担部分）的分布列与期望。

19.（本小题满分15分）

已知椭圆，上顶点为，离心率为，直线交轴于点，交椭圆于 两点,直线分别交 轴于点。

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求证：。

20.（本小题满分15分）已知函数。

（Ⅰ）求在点处的切线方程；

（Ⅱ）求证：在上存在唯一的极大值；

（Ⅲ）直接写出函数在上的零点个数。

21.（本小题满分14分）已知均为给定的大于1的自然数，

设集合

（Ⅰ）当时，用列举法表示集合

（Ⅱ）当时，，且集合满足下列条件：

①对任意；②

证明：()若，则 （集合为集合在集合中的补集）

（）为一个定值（不必求出上此定值）；

（Ⅲ）设，

其中，若，则

门头沟区2020年高三综合练习评分标准

数学 2020.3

一、选择题（本大题共10个小题,每小题4分,共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1.复数的模为                                            （  ）

A.           B.  1           C.   2           D. 

2.集合，则（  ）

A.      B.      C.        D. 

3.已知双曲线，则的渐近线方程为               （  ）

A． B． C． D．

4. 若等差数列的前项和为，且，，则的值为                                                   

A.  21    B.  63      C.   13     D.  84

5.某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长

为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，

则该几何体中最长的棱长为   

A.      B.        C.   1   D. 

解：由题意可知，此几何体如图所示，底面为一个直角三角形，高为1，最长的棱为正方体的主对角线，长为

6. 设向量满足 ，且与的夹角为。则“”是“”的

A.    充分非必要条件     B.   必要非充分条件      

 C.    充分必要条件        D.  既不充分也不必要条件

解：选C【利用向量几何运算更易】

7. 已知函数，且关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围

A.      B.          C.            D.

解：作图可得：B

8. 若函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的最大值为

A.          B.         C.          D. 

解：，为最大值，的最大值，选C

9. 已知点，点在曲线上运动，点为抛物线的焦点，

则的最小值为 

A.      B.         C.         D.   4

解：设是抛物线上任一点，

抛物线的焦点为，

10. 一辆邮车从地往地运送邮件，沿途共有地，依次记为（为地，为地）。从地出发时，装上发往后面地的邮件各1件，到达后面各地后卸下前面各地发往该地的邮件，同时装上该地发往后面各地的邮件各1 件，记该邮车到达各地装卸完毕后剩余的邮件数记为。则的表达式为

A.          B.        C.         D.

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分. ）

11. 在二项式的展开式中，的系数为       。60

解：

12. 在中，，则           。1

解：由余弦定理得：

13.在党中央的正确指导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制。下图是国家卫健委给出的全国疫情通报，甲、乙两个省份从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图如下：

根据图中甲、乙两省的数字特征进行比对，通过比较，把你得到最重要的两个结论写在答案纸指定的空白处。

①                                                           。

②                                                            。

开放性试题，如甲省比乙省的新增人数的平均数低；甲省比乙省的方差要大；

从2月10日开始两个省的新增人数都在下降；2月10日两个省的新增人数在一周内都达到了最大值；等等。至少有一个数据信息能涉及到平均数或方差，并且给出的两个数据信息都是正确，给满分5分；若两个结论都没有涉及到平均数或方差，两个数据信息都正确也要扣2分。

14. 已知两点，若直线上存在点满足

则实数满足的取值范围是               。

解：设，则，

15. 集合，

若是平面上正八边形的顶点所构成的集合，

则下列说法正确的为                    ②③

①的值可以为2；

②的值可以为；

③的值可以为；

本题给出的结论中，有多个符合要求，全部选对得5分，不选或有选错得0分，其它得3分。

解：（1）若时，不可能构成正八边形；

(2) 若时，设正八边形边长为，如图1

（3）若时，不合题意；

（4）若时，此时正八边形边长为2，

故，如图2

13.开放性试题，如甲省比乙省的新增人数的平均数低；甲省比乙省的方差要大；

从2月10日开始两个省的新增人数都在下降；2月10日两个省的新增人数在一周内都达到了最大值；等等。至少有一个数据信息能涉及到平均数或方差，并且给出的两个数据信息都是正确，给满分5分；若两个结论都没有涉及到平均数或方差，两个数据信息都正确也要扣2分。

三、解答题：（本大题共6小题，满分85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明）

16.（本小题满分为13分）已知函数满足下列3个条件中的2个条件：

①函数的周期为；

②是函数的对称轴；

③且在区间上单调

（Ⅰ）请指出这二个条件，并求出函数的解析式；

（Ⅱ）若，求函数的值域。

解：（Ⅰ）由①可得，………1分

由②得：………2分

由③得，………………4分

若①②成立，则……………5分

若①③成立，则，不合题意…………6分

若②③成立，则

与③中的矛盾，所以②③不成立…………………………8分

所以，只有①②成立，………………………………9分

（Ⅱ）由题意得，……12分

所以，函数的值域为………………………………………13分

17.（本题满分15分）在四棱锥的底面中，，，是的中点，且

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）线段上是否存在点，使得，

若存在指出点的位置，若不存在，请说明理由。

解: （Ⅰ）连结，

则四边形为平行四边形………1分

…4分

（Ⅱ），

四边形为正方形

所以，两两垂直，建立如图所示坐标系，………………6分

则，设平面法向量

为，则，……………………8分

连结，可得又 所以，，

平面的法向量（其它方法求法向量也可）……10分

设二面角的平面角为，则……11分

（Ⅲ）线段上存在点使得……………………12分

方法一：设

，，…14分

所以，点为线段的中点……………15分

方法二：设是线段的中点，，

，所以…………15分

18.（本小题满分13分）十八大以来，党中央提出要在2020年实现全面脱贫，为了实现这一目标，国家对“新农合”（新型农村合作医疗）推出了新政，各级财政提高了对“新农合”的补助标准。提高了各项报销的比例，其中门诊报销比例如下：

表1：新农合门诊报销比例

根据以往的数据统计，李村一个结算年度门诊就诊人次情况如下：

表2：李村一个结算年度门诊就诊情况统计表

如果一个结算年度每人次到村卫生室、镇卫生院、二甲医院、三甲医院门诊平均费用分别为50元、100元、200元、500元。若李村一个结算年度内去门诊就诊人次为2000人次。

（Ⅰ）李村在这个结算年度内去三甲医院门诊就诊的人次中，60岁以上的人次占了80%，从去三甲医院门诊就诊的人次中任选2人次，恰好2人次都是60岁以上人次的概率是多少？

(Ⅱ) 如果将李村这个结算年度内门诊就诊人次占全村总就诊人次的比例视为概率，求李村这个结算年度每人次用于门诊实付费用（报销后个人应承担部分）的分布列与期望。

解：（Ⅰ）去三甲医院门诊就诊的人次为100人次，其中60岁以上老人为80人次，设这2人次都是60岁以上老人这一事件为…1分

则……………5分 （没有设出事件，但有答也不扣分）

（Ⅱ）可取20，60，140，400，………………9分     分布列为

……………… …11分

期望为…………13分

19.（本小题满分15分）

已知椭圆，上顶点为，离心率为，直线交轴于点，交椭圆于 两点,直线分别交 轴于点。

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求证：。

19解：（Ⅰ）有条件可知：…………2分

 所求椭圆方程为：…………………………4分

（Ⅱ）设为直线与椭圆的交点，则

，可得：……6分

直线………………………8分

同理得：…………………………………………9分

…………………………………………11分

…………14分

所以，………………………………………………15分

20.（本小题满分15分）已知函数。

（Ⅰ）求在点处的切线方程；

（Ⅱ）求证：在上存在唯一的极大值；

（Ⅲ）直接写出函数在上的零点个数。

解：（Ⅰ）………………………………1分

……………………………………3分

所以，在点处的切线方程

为………………5分

（Ⅱ）证明：，

设…………7分

在上递减，

由零点存在定理可知，存在使得……………………10分

当，递增；当，递减

所以在上存在唯一的极大值………………………12分

（Ⅲ）函数在上有3个零点。……………15分

【由（Ⅱ）可知，在上增，，

由零点存在定理有一个零点；在上先增后减，而

无零点；在上先减后增，且，有一个零点

在上增，且，，

有一个零点】

21.（本小题满分14分））已知均为给定的大于1的自然数，

设集合

（Ⅰ）当时，用列举法表示集合

（Ⅱ）当时，，且集合满足下列条件：

①对任意；②

证明：()若，则 （集合为集合在集合中的补集）

（）为一个定值（不必求出上此定值）；

（Ⅲ）设，

其中，若，则

证明：（Ⅰ），此时，…3分

（Ⅱ）()由题意可知，，则…2分

若，不妨设，则，否则，矛盾，

则与条件①矛盾，所以，……………………6分

（）由题意可知，

为一定值…………9分

（Ⅲ）由题意得：………………11分

…………………………14分