2022北京高三一模（10区）数学试卷及参考答案

平谷区2021—2022学年第一学期高三检测试题

数    学        2022.3

本试卷共5页，150分，考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1．已知集合，且，则集合可以是

（A）   （B）         （C）           （D）

2．在复平面内，复数，则的虚部是

（A）      （B）               （C）             （D）

3．下列函数中，定义域为的偶函数是

（A）   （B）        （C）       （D）

4．已知，下列不等式正确的是

（A）      （B）          （C）       （D）

5．设抛物线的焦点为，准线为，抛物线上任意一点.则以点为圆心，以为半径的圆与准线的位置关系是

（A）相切         （B） 相交           （C）相离            （D）都有可能

6．已知函数，则不等式的解集是

（A）   （B）           （C）       （D）

7．已知边长为2的正方形，设为平面内任一点，则“”是“点在正方形及内部”的

（A）充分不必要条件     （B）必要不充分条件

（C）充分必要条件          （D）既不充分也不必要条件

8．已知公差不为零的等差数列，首项，若成等比数列，记，则数列

（A）有最小项，无最大项  （B）有最大项，无最小项

（C）无最大项，无最小项     （D）有最大项，有最小项 

9．已知函数部  

分图像，如图所示.则下列说法正确的是

（A）函数最小正周期为    

（B）

（C）函数一个单调递减区间是          

（D）若，则的最小值是

10．生物学家认为，睡眠中的恒温动物依然会消耗体内能量，主要是为了保持恒温. 根据生物学常识，采集了一些动物体重和脉搏率对应的数据，经过研究，得到体重和脉搏率的对数线性模型：.已知一只体重为300g的豚鼠脉搏率为300/min，如果测得一只小狗的体重5000g,那么与这只小狗的脉搏率最接近的是

（A）130/min      （B）120/min       （C）110/min       （D）100/min

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题 5小题，每小题5分，共25分．

11．在的展开式中，常数项为________．（用数字作答）

12．已知向量在正方形网格中的位置，如图所示.则=_______．

13．双曲线的离心率为，则________；焦点到渐近线的距离为________．

14．能说明“若在定义域上是增函数，则在上是增函数”为假命题的一组函数：__________，__________．

15．设棱长为的正方体，是中点，点、分别是棱、上的动点，给出以下四个结论：

①存在；

②存在；

③存在无数个等腰三角形；

④三棱锥的体积的取值范围是.

则所有结论正确的序号是________.

三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16．（本小题13分）

在中，， ．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）再从条件 ①、条件 ②、条件 ③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积.

条件 ①：；

条件 ②：；

条件 ③：的周长为．

注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

17．（本小题14分）

如图，矩形和梯形，，平面⊥平面，

且， 过的平面交平面于.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）当为中点时，求点到平面的距离；         

（Ⅲ）若平面与平面的夹角的

余弦值为，求的值.

18．（本小题14分）

为了迎接北京冬奥会，弘扬奥林匹克精神，某学校组织全体高一学生开展了冬奥知识竞赛活动.从参加该活动的学生中随机抽取了12名学生的竞赛成绩，数据如下表：

（Ⅰ）从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率；

（Ⅱ）从该校的高一学生中，随机抽取3人，记成绩为优秀（>90分）的学生人数为，求的分布列和数学期望；

（Ⅲ）表中男生和女生成绩的方差分别记为，，现在再从参加活动的男生中抽取一名学生，成绩为86分，组成新的男生样本，方差计为，试比较、、的大小．（只需写出结论）

19．（本小题15分）

设函数

（Ⅰ）当时，① 求曲线在点处的切线方程；

                  ② 求函数的最小值.

（Ⅱ）设函数，证明：当时，函数至多有一个零点.

20．（本小题15分）

已知椭圆上一点到两个焦点的距离之和为4，离心率为.

（I）求椭圆的方程；

（II）设椭圆的左右顶点分别为，当不与重合时，直线分别交直线于点， 证明：以为直径的圆过右焦点.

21．（本小题14分）

已知，或1，，对于，，，定义与之间的距离为.
（Ⅰ）若,写出一组的值,使得；

（Ⅱ）证明：对于任意的，；

（Ⅲ）若，若，求所有之和．