高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积教学设计

第八章 立体几何初步

8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积

一、教学目标

1.通过展开圆柱、圆锥、圆台的侧面，掌握圆柱、圆锥、圆台的表面积计算公式．

2.能运用圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积公式进行计算并解决有关的组合体的表面积与体积．

3.能运用球的体积与表面积公式解决实际问题以及能解决球的切、接问题．

4.通过对圆柱、圆锥、圆台、球的学习，培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学素养。

二、教学重难点

1.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式和应用；

2.掌握棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积,会解决球的切、接问题

三、教学过程：

（1）创设情景

让学生回顾棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积

（2）新知探究

问题1:圆柱、圆锥、圆台的展开图是什么？

(小组合作，学生回答，教师点拨)

生答:圆柱的侧面展开图为矩形:

圆锥的侧面展开图是扇形:

圆台的侧面展开图是扇环:

问题2:如何求它们的表面积与体积？

(提出本节课所学内容)

问题3:圆柱、圆锥、圆台三者的表面积与体积公式之间有什么关系？大家能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗？

小组合作，学生回答，教师点拨

问题4:你能将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗？柱体、椎体、台体的体积公式之间又有什么关系？

小组合作，学生回答，教师点拨

新知建构

圆柱的表面积公式:

圆柱的体积公式:r是底面半径，h是高,则

圆锥的表面积公式:

圆锥的的体积公式:r是底面半径，h是高,则

圆台的表面积公式:

圆台的体积公式:, 其中S ，分别为上、下底面面积，h为圆台（棱台）的高

球的表面积公式：（R为球的半径）

球的体积公式:设球的半径为R，则

（4）数学运用

例1.如图，四边形是圆柱的轴截面，是圆柱的一条母线，已知，，，则求圆柱的表面积.

【答案】

【解析】因为，，

所以，即，

又因为，

所以圆柱的侧面积是，

圆柱的表面积是

变式训练某圆台的上、下底半径和高的比为，母线长为10，则该圆台的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】该圆台的轴截面如图所示.设圆台的上底面半径为r，则下底面半径，高

则它的母线长∴，.

∴，.故选：

例2.已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则求此圆锥的体积 

【答案】

【解析】设圆锥的底面半径为，高为，则母线长为，

则圆柱的侧面积为，

故表面积为，得①，

又底面圆周长等于侧面展开半圆的弧长，故，即，

得②，

联立①②得：，.

故该圆锥的体积为.

变式训练1:已知圆台上、下底面半径分别为1,2，高为3，则圆台体积为        ．

【答案】7π　

【解析】由已知圆台上、下底面积分别为

S上＝π，S下＝4π.则V圆台＝·(π＋＋4π)·3＝7π.

变式训练2:已知正方体的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2，则球的表面积是______.

【答案】   

【解析】正方体的八个顶点在同一个球面上，

若正方体的棱长是2，

设外接球的半径为r，则，解得，

故球的表面积为.

例3:在底面半径为2，高为的圆锥中内接一个圆柱，且圆柱的底面积与圆锥的底面积之比为1：4，求圆柱的表面积.

【答案】

【解析】由圆柱的底面积与圆锥的底面积之比为1:4，知：底面半径比为1:2，

即圆柱底面半径，若设圆柱的高为，则有，即，

∴由圆柱的表面积等于侧面积加上两底面的面积，

即：.

变式训练:小明有一卷纸，纸非常的薄且紧紧缠绕着一个圆柱体轴心卷成一卷，它的整体外貌如图所示，纸卷的直径12厘米，轴的直径为4厘米．当小明用掉的纸后，则求剩下的这卷纸的直径最接近于多少厘米（精确到厘米）．

【答案】

【解析】使用卷纸的过程中，卷纸的高不变，

用之前卷纸的底面积，

设用后纸的半径为厘米，

当小明用掉的纸后卷纸的底面积，

解得厘米，

所以剩下的这卷纸的直径为厘米，最接近于厘米.

四、小结：

圆柱的表面积公式:

圆柱的体积公式:r是底面半径，h是高,则

圆锥的表面积公式:

圆锥的的体积公式:r是底面半径，h是高,则

圆台的表面积公式:

圆台的体积公式:, 其中S ，分别为上、下底面面积，h为圆台（棱台）的高

球的表面积公式：（R为球的半径）

球的体积公式:设球的半径为R，则

五、作业：习题8.3.2