人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.3 简单几何体的表面积与体积教案

第八章 立体几何初步

8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

一、教学目标

1. 通过展开棱柱、棱锥、棱台的侧面，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积计算公式．

2.能运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算并解决有关的组合体的表面积与体积．

3.通过棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的学习，培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学素养.

二、教学重难点

1.掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式和应用；

2.掌握棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积．

三、教学过程：

（1）创设情景

在初中我们已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？

（2）新知探究

问题1:棱柱、棱锥、棱台的展开图是什么？

小组合作，学生回答，教师点拨

问题2:如何计算它们的表面积与体积？

(提出本节课所学内容)

（3）新知建构

棱柱、棱锥、棱台的表面积: 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的多面体，因此它们的表面积等于各个面的面积之和，也就是展开图的面积．

棱柱的体积公式：棱柱：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh.

棱锥的体积公式：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh.

棱台的体积公式：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，

则V＝(S′＋＋S)h.

（4）数学运用

例1.已知正四棱锥的底面边长是，侧棱长是，则求该正四棱锥的表面积。

【答案】

【解析】如图所示，

在正四棱锥中，取中点，连接，

则为直角三角形，

所以，

所以表面积.

变式训练1:已知正六棱柱的高为，底面边长为，则它的表面积为_________

【答案】

【解析】由题知侧面积为，两底面积之和为，所以表面积.

变式训练2:若正三棱台上、下底面边长分别是和，棱台的高为，则此正三棱台的侧面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】如图，分别为上、下底面的中心，分别是，的中点，过作于点E.在直角梯形中，，，.

在中，，

则

.

.

     故选：C

例2.如图，正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3.

求正三棱锥的体积.

【答案】.

【解析】∵正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，∴.

连接，设O为正三角形的中心，则底面.

且.

在中，.

∴正三棱锥的体积为.

变式训练:如图正四棱柱的体积为27，点E，F分别为棱上的点（异于端点）且，则求四棱锥的体积.

【答案】9   

【解析】连接，

  
∵正四棱柱的体积为27，
点E，F分别为棱上的点（异于端点），且，
，
，
∴四棱锥的体积．

例3. 如图，在棱长为的正方体中，截去三棱锥，求

（1）截去的三棱锥的表面积；

（2）剩余的几何体的体积.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）由正方体的特点可知三棱锥中，是边长为的等边三角形，、、都是直角边为的等腰直角三角形，

所以截去的三棱锥的表面积

（2）正方体的体积为，

三棱锥的体积为，

所以剩余的几何体的体积为.      

变式训练:(多选)如图，长方体的体积是120，E为的动点，则三棱锥E−BCD的体积可能为（    ）

A.10           B.30             C.60               D.20  

【答案】AD

【解析】因为长方体的体积为120，所以，

因为为的动点，所以，()

由长方体的性质知底面，

所以是三棱锥的底面上的高，

所以三棱锥的体积.20,故选:AD

例4. 某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体.正四棱锥的高为，，，则求该组合体的表面积.

【答案】 20

【解析】由题意，正四棱锥的斜高为，该组合体的表面积为.

变式训练:如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5m，公共面是边长为1m的正方形，那么这个漏斗的容积是_________立方米（精确到）？

【答案】

【解析】由题意知长方体的体积，

棱锥的体积，

所以这个漏斗的容积.

四、小结：

棱柱、棱锥、棱台的表面积:

棱柱的体积公式：棱柱：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh.

棱锥的体积公式：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh.

棱台的体积公式：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，

则V＝(S′＋＋S)h.

五、作业：习题8.3.1