高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用教学设计

第六章 平面向量及其应用

6.4.1 平面几何中的向量方法

一、教学目标

1.会用向量方法解决简单的几何问题；

2.体会向量在解决几何问题中的作用；

3.通过对用向量法解决平面几何问题的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模、数据分析等数学素养。

二、教学重难点

1.用向量方法解决几何问题的基本方法：向量法解决几何问题的“三步曲”；

2.能够将几何问题转化为平面向量问题。

三、教学过程：

1、复习回顾

（1） 平面两个向量的数量积：；

（2） 向量平行的判定:

；       

（3）向量平行与垂直的判定:；

（4）平面内两点间的距离公式： （其中，）

（5）求模：； ；

2.探索新知

例1.如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF.

证明　法一：设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0<a<1)，

则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝a，

∴·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝1×a×cos 180°＋1×(1－a)×cos 90°＋a×a×cos 45°＋a×(1－a)×cos 45°＝－a＋a2＋a(1－a)＝0．

∴⊥，即DP⊥EF.

法二：

如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x，x)，则D(0,1)，E(x,0)，F(1，x)，所以＝(x，x－1)，＝(1－x，x)，

由于·＝x(1－x)＋x(x－1)＝0，所以⊥，即DP⊥EF.

思考：运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤？

“三步曲”：

(1)构建平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为平面向量问题；

(2)通过平面向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角、模等问题；

(3)将平面向量运算运算结果“翻译”成平面几何关系.

思考：你能总结向量的线性运算法的四个步骤吗？

生答：①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找相应关系；④把几何问题向量化．

思考：你能总结向量的坐标运算法的四个步骤吗？

生答：①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找相应关系；④把几何问题向量化．

变式训练:如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，

求证：AF⊥DE.

解：（基底法）设＝a，＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0，

又＝＋＝－a＋，＝＋＝b＋，

所以·＝(b＋)·(－a＋)＝－a2－a·b＋＝－|a|2＋|b|2＝0．

故⊥，即AF⊥DE.

（坐标法）

如图建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，

则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，所以＝(2,1)，＝(1，－2).

因为·＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，

所以⊥，即AF⊥DE.

例2.如图所示，以两边为边向外作正方形和，为的中点.求证：.

解：因为是的中点，所以.

又因为，

所以

，

所以，即.

变式训练：在梯形中，，，，，若点在线段上，则求的最小值

解：建立如图所示平面直角坐标系：

因为，，，，

所以，

设

所以，

所以，，

所以，

当时，的最小值为，

四、小结：

1.向量方法解决平面几何问题“三步曲”；

2.向量的线性运算法（基底法）的四个步骤：

①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找相应关系；④把几何问题向量化．

向量的坐标运算法（坐标法）的四个步骤：

①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找相应关系；④把几何问题向量化．

五、作业：习题6.4.1