高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用导学案

  6.4.2向量在物理中的应用举例

导学案

编写：廖云波      初审：孙锐      终审：孙锐  廖云波

【学习目标】

1.通过力的合成与分解模型、速度的合成与分解模型，掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤.

2.明了向量在物理中应用的基本题型，进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识.

3.培养运用向量知识解决物理问题的能力.

【自主学习】

知识点1  力与向量

力与前面学过的自由向量有区别．

(1)相同点：力和向量都既要考虑大小又要考虑方向．

(2)不同点：向量与始点无关，力和作用点有关，大小和方向相同的两个力，如果作用点不同，那么它们是不相等的．

知识点2  向量方法在物理中的应用

(1)力、速度、加速度、位移都是向量．

(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加、减运算，运动的叠加亦用到向量的合成．

(3)动量mν是数乘向量．

(4)功即是力F与所产生位移s的数量积．

【合作探究】

探究一  向量的线性运算在物理中的应用

【例1】帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度为20 km/h，此时水的流向是正东，流速为20 km/h.若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向．

解　建立如图所示的直角坐标系，风的方向为北偏东30°，速度为|v1|＝20(km/h)，水流的方向为正东，速度为|v2|＝20(km/h)，

设帆船行驶的速度为v，

则v＝v1＋v2.

由题意，可得向量v1＝(20cos 60°，20sin 60°)＝(10,10)，向量v2＝(20,0)，

则帆船的行驶速度

v＝v1＋v2＝(10,10)＋(20,0)＝(30,10)，

所以|v|＝＝20(km/h)．

因为tan α＝＝(α为v和v2的夹角，α为锐角)，

所以α＝30°.

所以帆船向北偏东60°的方向行驶，速度为20 km/h.

归纳总结：利用向量法解决物理问题有两种思路，第一种是几何法，选取适当的基底，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量运算法则，运算律或性质计算.第二种是坐标法，通过建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，转化为代数运算.

【练习1】某人在静水中游泳，速度为4 km/h，水的流速为4 km/h，他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？

解　如图所示，设此人的实际速度为，水流速度为.

∵实际速度＝游速＋水速，

∴游速为－＝，

在Rt△AOB中，||＝4，||＝4，||＝4，cos∠BAO＝＝ .

故此人应沿与河岸夹角余弦值为，逆着水流方向前进，实际前进速度的大小为4 km/h.

探究二  向量的数量积在物理中的应用

【例2】已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)．

(1)求F1，F2分别对质点所做的功；

(2)求F1，F2的合力F对质点所做的功．

解　(1)＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，

W1＝F1·＝(3,4)·(－13，－15)

＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，

W2＝F2·＝(6，－5)·(－13，－15)

＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)．

∴力F1，F2对质点所做的功分别为－99 J和－3 J.

(2)W＝F·＝(F1＋F2)·

＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－15)

＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102(J)．

∴合力F对质点所做的功为－102 J.

归纳总结：物理中力F所做功W问题常运用向量的数量积解决．

【练习2】已知F＝(2,3)作用于一物体，使物体从A(2,0)移动到B(－2，3)，求F对物体所做的功．

解　＝(－4,3)，

W＝F·s＝F·＝(2,3)·(－4,3)＝－8＋9＝1 (J)．

∴力F对物体所做的功为1 J.

课后作业

A组 基础题

一、选择题

1．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成90°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为(　　)

A．6 N  B．2 N

C．2 N  D．2 N

答案　C

2．用力F推动一物体水平运动s m，设F与水平面的夹角为θ，则对物体所做的功为(　　)

A．|F|·s  B．Fcos θ·s

C．Fsin θ·s  D．|F|cos θ·s

答案　D

3．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为(　　)

A．40 N  B．10 N

C．20N  D．10 N

答案　B

解析　|F1|＝|F2|＝|F|cos 45°＝10，

当θ＝ 120°，由平行四边形法则知：

|F合|＝|F1|＝|F2|＝10 N.

4．共点力F1＝(lg 2，lg 2)，F2＝(lg 5，lg 2)作用在物体M上，产生位移s＝(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W为(　　)

A．lg 2  B．lg 5  C．1  D．2

答案　D

解析　F1＋F2＝(1,2lg 2)．

∴W＝(F1＋F2)·s＝(1,2lg 2)·(2lg 5,1)

＝2lg 5＋2lg 2＝2.

5．已知作用在点A的三个力f1＝(3,4)，f2＝(2，－5)，f3＝(3,1)且A(1,1)，则合力f＝f1＋f2＋f3的终点坐标为(　　)

A．(9,1)  B．(1,9)

C．(9,0)  D．(0,9)

答案　A

解析　f＝f1＋f2＋f3＝(3,4)＋(2，－5)＋(3,1)＝(8,0)，设合力f的终点为P(x，y)，则

＝＋f＝(1,1)＋(8,0)＝(9,1)．

6．如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10 N，方向与水平面成60°角，当小车向前运动10 m，则力F做的功为(　　)

A．100 J B．50 J

C．50 J D．200 J

【答案】B

解析：设小车位移为s，则|s|＝10 m，WF＝F·s＝|F||s|·cos60°＝10×10×＝50 J.

7．坐标平面内一只小蚂蚁以速度ν＝(1,2)从点A(4,6)处移动到点B(7,12)处，其所用时间长短为(　 　)

A．2 B．3

C．4 D．8

【答案】B

解析：|ν|＝＝，又||＝＝，∴时间t＝＝3.

二、填空题

8.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10 N，则每根绳子的拉力大小为______ N.

答案　10

解析　设重力为G，每根绳的拉力分别为F1，F2，则由题意得F1，F2与－G都成60°角，

且|F1|＝|F2|.

∴|F1|＝|F2|＝|G|＝10 N.

∴每根绳子的拉力都为10 N.

9.已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m，且F与s的夹角为60°，则力F所做的功W＝________ J.　

答案　300

解析　W＝F·s＝|F||s|cos〈F，s〉

＝6×100×cos 60°＝300(J)．

10．一条河宽为800 m，一船从A出发航行垂直到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为________分钟．

答案　3

解析　∵v实际＝v船＋v水＝v1＋v2，

|v1|＝20，|v2|＝12，

∴|v|＝

＝＝16(km/h)．

∴所需时间t＝＝0.05(小时)＝3(分钟)．

∴该船到达B处所需的时间为3分钟．

11．若＝(2,2)，＝(－2,3)分别表示F1，F2，则|F1＋F2|＝________.

答案　5

解析　∵F1＋F2＝(0,5)，

∴|F1＋F2|＝＝5.

12．如图，两根固定的光滑硬杆OA，OB成θ角，在杆上各套一小套P、Q，P、Q用轻线相连，现用恒力F沿方向拉环Q，则当两环稳定时，轻线上的拉力的大小为________．

答案　

解析　做受力分析，依题意，重力可以忽略不计，Q受轻线的拉力为T，由于受力平衡，只能是轻线与杆垂直，即轻线与OB的夹角为－θ，Tcos＝F，故|T|＝.

13．已知力F＝(2,3)作用于一物体，使物体从A(2,0)移动到B(－2,3)，则力F对物体所做的功为      .

【答案】1

解析：W＝F·s＝F·＝(2,3)×(－4,3)＝－8＋9＝1.

14．如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是__________．(写出正确的所有序号)

①绳子的拉力不断增大；②绳子的拉力不断变小；③船的浮力不断变小；④船的浮力保持不变．

答案　①③

解析　设水的阻力为f，绳的拉力为F，F与水平方向夹角为θ(0<θ<)．则|F|cos θ＝|f|，∴|F|＝.

∵θ增大，cos θ减小，∴|F|增大．

∵|F|sin θ增大，∴船的浮力减小．

三、解答题

15．一艘船从南岸出发，向北岸横渡．根据测量，这一天水流速度为3 km/h，方向正东，风的方向为北偏西30°，受风力影响，静水中船的漂行速度为3 km/h，若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以2 km/h的速度横渡，求船本身的速度大小及方向．

解　如图，设水的速度为v1，风的速度为v2，v1＋v2＝a.易求得a的方向是北偏东30°，a的大小是3 km/h.设船的实际航行速度为v.

方向由南向北，大小为2 km/h，船本身的速度为v3，则a＋v3＝v，即v3＝v－a，数形结合知v3的方向是北偏西60°，大小是 km/h.

16．在水流速度为4千米/小时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8千米/小时的速度航行，求船实际航行的速度的大小．

解　如图用v0表示水流速度，v1表示与水流垂直的方向的速度．

则v0＋v1表示船实际航行速度，

∵|v0|＝4，|v1|＝8，

∴解直角三角形|v0＋v1|

＝＝4.

故船实际航行的速度为4千米/小时．

17．质量m＝2.0 kg的木块，在平行于斜面向上的拉力F＝10 N的作用下，沿倾斜角θ＝30°的光滑斜面向上滑行|s|＝2.0 m的距离．

(1)分别求物体所受各力对物体所做的功；

(2)在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？

解　(1)木块受三个力的作用，重力G，拉力F和支持力FN，如图所示．拉力F与位移s方向相同，所以拉力对木块所做的功为：

WF＝F·s＝|F||s|cos 0°＝20(J)．

支持力FN与位移方向垂直，不做功，

所以WN＝FN·s＝0.

重力G对物体所做的功为：

WG＝G·s＝|G||s|cos(90°＋θ)＝－19.6(J)．

(2)物体所受各力对物体做功的代数和为：

W＝WF＋WN＋WG＝0.4(J)．

B组 能力提升

一、选择题

1．质点P在平面上作匀速直线运动，速度向量ν＝(4，－3)(即点P的运动方向与ν相同，且每秒移动的距离为|ν|个单位)．设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为(　　)

A．(－2,4)  B．(－30,25)

C．(10，－5)  D．(5，－10)

答案　C

解析　设(－10,10)为A，设5秒后P点的坐标为A1(x，y)，则＝(x＋10，y－10)，由题意有＝5ν.

即(x＋10，y－10)＝(20，－15)

⇒⇒

二、填空题

2．一纤夫用牵绳拉船沿直线方向前进60 m，若牵绳与行进方向夹角为30°，纤夫的拉力为50 N，则纤夫对船所做的功为________．

答案　1 500 J

解析　所做的功W＝60×50×cos 30°＝1 500 J.

三、解答题

3．已知e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，今有动点P从P0(－1,2)开始，沿着与向量e1＋e2相同的方向做匀速直线运动，速度大小为|e1＋e2|；另一动点Q从Q0(－2，－1)开始，沿着与向量3e1＋2e2相同的方向做匀速直线运动，速度大小为|3e1＋2e2|，设P、Q在t＝0 s时分别在P0、Q0处，问当⊥时所需的时间t为多少？

解　e1＋e2＝(1,1)，|e1＋e2|＝，其单位向量为(，)；3e1＋2e2＝

(3,2)，|3e1＋2e2|＝，其单位向量为(，)，如图．

依题意，||＝t，

||＝t，

∴＝||(，)＝(t，t)，

＝||(，)＝(3t,2t)，

由P0(－1,2)，Q0(－2，－1)，

得P(t－1，t＋2)，Q(3t－2,2t－1)，

∴＝(－1，－3)，＝(2t－1，t－3)，

∵⊥，∴·＝0，

即2t－1＋3t－9＝0，解得t＝2.

∴当⊥时所需的时间为2 s.