高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用学案设计

  6.4.1平面几何中的向量方法

导学案

编写：廖云波      初审：孙锐      终审：孙锐  廖云波

【学习目标】

1.通过平行四边形这个几何模型，归纳总结出用向量方法解决平面几何的问题的“三步曲”

2.明确平面几何图形中的有关性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示．

【自主学习】

知识点1  向量方法在几何中的应用

对于平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．

(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：

a∥b(b≠0)⇔             ⇔             .

(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：

非零向量a，b，a⊥b⇔             ⇔             .

(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos θ＝＝.

(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：

|a|＝      或      ＝.

知识点2  平面几何中的向量方法

(1)建立平面几何与向量的联系，用      表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为      问题；

(2)通过      运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；

(3)把      “翻译”成几何关系．

知识点3 直线的方向向量和法向量

(1)直线y＝kx＋b的方向向量为        ，法向量为        .

(2)直线Ax＋By＋C＝0的方向向量为        ，法向量为        .

【合作探究】

探究一  利用向量证明平行或垂直问题

【例1】如图所示，若四边形ABCD为平行四边形，EF∥AB，AE与BF相交于点N，DE与CF相交于点M.

求证：MN∥AD.

归纳总结：

【练习1】如图所示，四边形ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线，试用向量证明：AC⊥BD.

探究二  利用向量解决长度和夹角问题

【例2】如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝DC.

求：(1)AD的长；

(2)∠DAC的大小．

归纳总结：

【练习2】如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．

探究三  利用向量解决直线问题

【例3】已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点D、E、F分别为边BC、CA、AB的中点．

(1)求直线DE、EF、FD的方程；

(2)求AB边上的高线CH所在直线方程．

归纳总结：

【练习3】在△ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，求∠A的平分线的方程．

课后作业

A组 基础题

一、选择题

1．在四边形ABCD中，若＋＝0，·＝0，则四边形为(　 　)

A．平行四边形 B．矩形

C．等腰梯形 D．菱形

2．在△ABC中，已知A(4,1)、B(7,5)、C(－4,7)，则BC边的中线AD的长是(　　)

A．2                               B.

C．3                               D.

3．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的(　　)

A．三个内角的角平分线的交点

B．三条边的垂直平分线的交点

C．三条中线的交点

D．三条高的交点

4．已知直线l1：3x＋4y－12＝0，l2：7x＋y－28＝0，则直线l1与l2的夹角是(　　)

A．30°      B．45°       C．135°       D．150°

5．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状是(　　)

A．等腰三角形                         B．直角三角形

C．等腰直角三角形                     D．等边三角形

6．过点A(2,3)，且垂直于向量a＝(2,1)的直线方程为(　　)

A．2x＋y－7＝0                       B．2x＋y＋7＝0

C．x－2y＋4＝0                       D．x－2y－4＝0

二、填空题

7．过点(1,2)且与直线3x－y＋1＝0垂直的直线的方程是____________．

8．在△ABC中，若∠C＝90°，AC＝BC＝4，则·＝            .

9．已知直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，DC＝1，AB∥DC，则当AC⊥BC时，AD＝     .

三、解答题

10.正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB、BC的中点，试求cos∠DOE的值．

11．已知直线l1：3x＋y－2＝0与直线l2：mx－y＋1＝0的夹角为45°，求实数m的值．

12．已知在四边形ABCD中，对角线AC、BD相互平分，且AC⊥BD，求证：四边形ABCD是菱形．

证明：设对角线AC、BD交于点O，则有＝，＝，

B组 能力提升

一、选择题

1.已知非零向量与满足·＝0且·＝，则△ABC的形状是(　　)

A．三边均不相等的三角形                 B．直角三角形

C．等腰(非等边)三角形                    D．等边三角形

2．在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为(　　)

A.  B．2  C．5  D．10

3．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　 　)

A．－2 B．－

C．－ D．－1

二、填空题

4.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．

5．已知曲线C：x＝－，直线l：x＝6.若对于点A(m,0)，存在C上的点P和l上的点Q使得＋＝0，则m的取值范围为________．

三、解答题

6.点O是平行四边形ABCD的中点，E，F分别在边CD，AB上，且＝＝.

求证：点E，O，F在同一直线上．

7．已知△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是BC边的中点，BE⊥AD，延长BE交AC于F，连接DF.求证：∠ADB＝∠FDC.

8.如图所示，正三角形ABC中，D、E分别是AB、BC上的一个三等分点，且分别靠近点A、点B，且AE、CD交于点P.求证：BP⊥DC.