专题强化训练试卷二 正余弦定理（提升练，含解析）-【新教材】2021-2022学年人教A版（2019）高中数学必修第二册

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1.中，已知，则等于( )
A. B. C. D.
2.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( )
A. a kmB. a km
C. akmD. 2akm
3.若的三边，它的面积为，则角C等于( )
A. B. C. D.
4.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c. 若满足的三角形有两个，则边长a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5.△ABC中，若，则该三角形一定是（ ）
A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形
6.在△ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，A＝，b＝1，S△ABC＝，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
7.设锐角的三内角，，所对边的边长分别为，，，且，，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.在中，内角，，所对的边分别为，，，角为锐角，若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.在△ABC中，给出下列4个命题，其中正确的命题是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. ,则
10.根据下列条件解三角形，有两解的有（ ）
A. 已知a，b＝2，B＝45°B. 已知a＝2，b，A＝45°
C. 已知b＝3，c，C＝60°D. 已知a＝2，c＝4，A＝45°
11.在中,若,则的形状可能为( )
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
12.在锐角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知，若，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.在中，已知，那么最大内角为_____________
14.△ABC中，已知AB＝1，AC＝2，，点D为BC边的中点，则AD=______．
15.在中，，的平分线交于，，则______.
16.如图，在四边形ABCD中，AD⊥AB，∠CAB＝60°，∠BCD＝120°，AC＝2.若∠ABC＝30°，则DC=__________；记∠ABC＝θ，△BCD的面积的最小值为________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.△ABC中，BC＝7，AB＝4，且.
（1）求AC的长；
（2）求△ABC的面积.
18.在中，角、、的对边分别为、、，已知．
（1）求角；
（2）若，，求的值．
19.在一个特定时段内，以点E为中心的7n mile以内海域被设为警戒水域.点E正北55n mile处有一个雷达观测站A，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40 n mile的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东 (其中，)且与点A相距10n mile的位置C．
（I）求该船的行驶速度（单位：n mile /h）;
（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.
20.如图，在直角中，，，，点在线段上.
（1）若，求的长；
（2）点是线段上一点，，且，求的值.
21. 某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱与地面垂直，灯杆与灯柱所在的平面与道路走向垂直，路灯采用锥形灯罩，射出的光线与平面的部分截面如图中阴影部分所示.已知，，路宽米.设.
（1）求灯柱高（用表示）；
（2）此公司应该如何设置的值才能使制造路灯灯柱与灯杆所用材料的总长度最小？最小值为多少？
22.“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块成凸四边形的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将连接，设中边所对的角为，中边所对的角为，经测量已知，.
（1）霍尔顿发现无论多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；
（2）霍尔顿发现麦田的生长于土地面积的平方呈正相关，记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值.