专题强化训练试卷六 立体几何初步（提升练，含解析）-【新教材】2021-2022学年人教A版（2019）高中数学必修第二册

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1.如图所示，平面平面，点，点，直线.设过三点的平面为，则（ ）
A. 直线B. 直线
C. 直线D. 以上均不正确
【答案】C
【解析】，平面平面，，.又三点确定的平面为，.又是平面和的公共点，，故选：C
2.在空间四边形各边、、、上分别取点、、、，若直线、相交于点，则（ ）
A. 点必在直线上B. 点必在直线上
C. 点必在平面内D. 点必在平面内
【答案】A
【解析】
∵在面上，而在面上，
且、能相交于点，
∴在面与面的交线上，
∵是面与面的交线，
所以点必在直线上．故选：A．
3.如图，四棱锥的底面是梯形，，若平面平面，则（ ）
A. B. C. 与直线相交 D. 与直线相交
【答案】D
【解析】根据公理4：两个平面若有一个交点，那么必然有无数个交点，而且这些交点在同一条直线上．那么与的交点必在直线，故选:D
4.一个圆锥的侧面展开图是一个的圆面，则这个圆锥的表面积和侧面积的比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设该圆锥体的底面半径为，母线长为，根据题意得；
所以这个圆锥的侧面积与表面积的比是, 故选：A
5.己知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中正确为( )
A. 若，，，则
B. 若，，则
C. 若，， ，则
D. 若，，，，则
【答案】D
【解析】对于A 当，，时，m，n有可能平行，所以不正确；
对于B 当，时，因为直线m，n的位置未知，所以α，β不一定平行，故不正确；
对于C 当，，时，m，n有可能异面，所以不正确；
对于D 满足面面垂直的性质定理，所以正确，故选：D
6.如图所示：在正方体中，设直线与平面所成角为，二面角的大小为，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】连结BC1，交B1C于O，连结A1O，∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC1⊥B1C，BC1⊥DC，
∴BO⊥平面A1DCB1，∴∠BA1O是直线A1B与平面A1DCB1所成角θ1，
∵BO＝A1B，∴θ1＝30°；∵BC⊥DC，B1C⊥DC，∴∠BCB1是二面角A1﹣DC﹣A大小θ2，
∵BB1＝BC，且BB1⊥BC，∴θ2＝45°． 故选:A．
7.如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是平行四边形，点F在棱PA上，PF＝λAF，若PC∥平面BDF，则λ的值为（ ）
A. 1B. C. 3D. 2
【答案】A
【解析】连结AC，交BD于O，连结OF
∵四棱锥P﹣ABCD的底面是平行四边形，∴AO＝OC，
∵点F在棱PA上，PF＝λAF，PC∥平面BDF，
∴OF∥PC， ∴λ＝1. 故选：A.
8. 点M是棱长为6的正方体的内切球O球面上的动点，点N为上一点，，，则动点M运动路线的长度为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，在上取点，使，连接，
因为，所以,
因为平面，所以，则平面，
则点的轨迹为平面与球的截面圆周,
此时球心到平面的距离即为到的距离,
由题意可知，则，
所以,,
所以


所以,
所以截面圆的半径，
所以所求轨迹的长度为, 故选：B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.已知两条直线，及三个平面，下列条件中能推出的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】如果一个平面经过另一平面的垂线,则这两个平面相互垂直知选项A正确；选项B显然正确；
如果两个互相平行的平面有一个垂直于一个平面 那么另一个平面也垂直这个平面知选项C
正确；D选项有可能与可能平行. 故选：ABC.
10.如图所示,P为矩形所在平面外一点,矩形对角线的交点为为的中点,给出以下结论,其中正确的是( )
A. B. 平面
C. 平面D. 平面
【答案】ABC
【解析】由题意知,是的中位线,,故正确;
平面,平面,平面,故正确;
同理,可得平面,故正确;
与平面和平面都相交,故不正确.故选：.
11.已知a，b表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，那么下列判断正确的是（ ）
A．若， ，则
B．若，，， ，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】ABC
【解析】A．根据“垂直于同一条直线的两个平面互相平行”，可知A正确；
B．记，因为且，所以且异面或且相交，
又因为，且，所以，故B正确；
C．根据“平行直线中若有一条直线垂直于某个平面，则另一条直线也垂直于该平面”，可知C正确；
D．因为，，所以平行或异面，故D错误，故选:ABC．
12.已知在棱长为4的正方体中，E为棱的中点，以点E为球心，以为半径的球的球面记为Γ，则下列结论正确的是（ ）
A．Γ与面的交线长为
B．直线被Γ截得的线段长为
C．若点H为Γ上的一个动点，则的最小值为
D．Γ与截面的交线长为
【答案】ABD
【解析】因为平面，所以平面截Γ所得小圆的半径，
圆心为点B，所以Γ与面的交线长为，故A项正确；
点E到直线的距离为点C到直线的距离的，
设点C到直线的距离为，由，
即，解得.
即E到直线的距离为，
所以直线被Γ截得的线段长为，故B项正确；
因为，所以点在该球外，
所以的最小值为，故C项错误；
过E作于，连接，
则，，，，
连接，在上取，则，
所以点F在该球上，在上取，
则，，所以点G在该球上，
所以以点E为球心，以为半径的球面与对角面的交点为F，G，
又因为，所以，，
所以该交线的长为，故D项正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.正四棱锥的底面边长为，它的侧棱与底面所成的角为，则它的体积为______.
【答案】
【解析】由已知，正四棱锥的底面边长为，故底面积为，
又侧棱与底面所成的角为，所以正四棱锥的高为，
故正四棱锥的体积. 故答案为：.
14.粽子古称“角黍”，是中国传统的节庆食品之一，由粽叶包裹糯米等食材蒸制而成．因各地风俗不同，粽子的形状和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形状可以看成所有棱长均为的正四棱锥，则这个粽子的表面积为________，现在需要在粽子内部放入一颗咸蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，则当这个蛋黄的体积最大时，其半径与正四棱锥的高的比值为________．
【答案】
【解析】每个侧面三角形的面积均为，底面正方形的面积为，
所以四棱锥的表面积为；球的体积要达到最大，则需要球与四棱锥五个面都相切，正四棱锥的高为，设球的半径为，
所以四棱锥的体积，故，
．故答案为；.
15.已知圆柱底面圆的半径为1，高为3，矩形ABCD为圆柱的轴截面，一只蚂蚁从A点出发，从侧面爬行一圈半到达C点，则蚂蚁爬行的最短距离为______．
【答案】
【解析】由题意画出蚂蚁爬行的路径，如图所示：
将圆柱的侧面展开，其中为底面圆周的一半，
则,，
则蚂蚁爬行的最短距离为线段，
在矩形中，
所以蚂蚁爬行的最短距离为.
故答案为：.
16.在三棱锥D-ABC中，AD⊥平面ABC，AC=3，BC=17，cs∠BAC=13，若三棱锥D-ABC的体积为273，则此三棱锥的外接球的表面积为______
【答案】20π．
【解析】解：设四棱锥外接球的半径为R，球心为O，△ABC的外心为O1，外接圆的半径为r，连接AO1，过O作OE//AO1，交AD于点E，连接OA，OD，
如图所示：，
则OA=OD=R，O1A=r，OE⊥AD，
∴E为AD的中点，
在△ABC中，∵cs∠BAC=13，∴sin∠BAC=1-(13)2=223，
由正弦定理得2r=BCsin∠BAC=17223，解得r=3348，
由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB⋅AC⋅cs∠BAC，∴17=AB2+9-6⋅AB⋅13，
解得AB=4，
∴S△ABC=12AB⋅AC⋅sin∠BAC=12×4×3×223=42，
∵VD-ABC=13×S△ABC×AD=13×42×AD=273，
∴AD=144，
连接OO1，OO1//AD，所以四边形EAO1O为平行四边形，OO1=AE=12AD=148，
在Rt△OO1A中，OA=R，O1A=r=3348，OO1=148，
∴R2=(3348)2+(148)2=5，
∴此三棱锥的外接球的表面积为4πR2=20π，
故答案为：20π．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，且.
（1）求证：平面；
（2）若点分别是棱，的中点，求证：平面.
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】证明：（1）在四棱锥中，
因为，所以.
又因为四棱锥的底面是平行四边形，所以，
所以.
因为平面，所以平面.
（2）如图，取的中点，连.
在中，因为是棱的中点，
所以.
又平面平面，
所以平面.
在平行四边形中，分别是棱的中点，
所以，所以四边形是平行四边形，
所以.
又平面，平面，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
又平面，所以平面.
18.如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别为A1C1和BC的中点，M，N分别为A1B和A1C的中点.求证：
（1）MN∥平面ABC；
（2）EF∥平面AA1B1B.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；
【解析】证明：（1）∵M、N分别是A1B和A1C中点.
∴MN∥BC，
又BC⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，
∴MN∥平面ABC.
（2）如图，取A1B1的中点D，连接DE，BD.
∵D为A1B1中点，E为A1C1中点，
∴DE∥B1C1且，
在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BCC1B1是平行四边形，
∴BC∥B1C1且BC＝B1C1，∵F是BC的中点，∴BF∥B1C1且，
∴DE∥BF且DE＝BF，∴四边形DEFB是平行四边形，∴EF∥BD，
又BD⊂平面AA1B1B，EF⊄平面AA1B1B，
∴EF∥平面AA1B1B.
19.如图，在直三棱柱中，点D，E分别是边，中点，且.
求证：（1）平面；
（2）.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；
【解析】证明：（1）在直三棱柱中，点，分别是边，中点，
，四边形是平行四边形，，
平面，平面，
平面．
（2）直三棱柱中，平面，，
点，分别是边，中点，且．
，
，平面，
平面，．
20.如图所示，在五面体中，四边形是平行四边形.
（1）求证：平面；
（2）若，，求证：平面平面.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）因为四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
又因为平面，平面平面，所以，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）因为四边形是平行四边形，所以，
又因为，所以，
又因为，，平面，平面，
所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
21.如图，直三棱柱中，，，点是中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求二面角的余弦值．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）．
【解析】（1）证明：，是中点，，
又在直三棱柱中，平面，平面，
，
又，平面，平面，
平面．
（2）证明：连接，交于点，连接，
、分别是、的中点，
是的中位线，，
平面，平面，
平面
（3）解：连，交于点，分别取、中点、，连接、、，
四边形是正方形且、分别是、的中点，故，
在中，，，
，，
又，分别是，中点且，
，
又在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，
，
，平面，平面，
平面，
平面，平面，
，，
又，，平面，平面，
平面，
平面，，
又平面平面
就是二面角的平面角，
设，则在中，，
，
故，
故，
即二面角的余弦值为.
22.已知等边三角形的边长为，，分别为，的中点，将沿折起得到四棱锥．点为四棱锥的外接球球面上任意一点，当四棱锥的体积最大时，求四棱锥外接球的半径以及点到平面距离的最大值.
【答案】，
【解析】如图所示，设的中点为，
，分别为等边三角形和梯形的外接圆圆心．
在中，为的中点，所以，
则为梯形外接圆的直径．连接，．
由题意，当四棱锥的体积最大时，平面平面，
过作平面的垂线，过作平面的垂线，两条垂线交于点，
则点即为四棱锥外接球的球心．
四边形为矩形，则．
在等边三角形中，，则，，
即．
又，所以四棱锥外接球的半径，
所以点到平面距离的最大值．