第八章立体几何专题训练（十五）—大题综合练习（2）-【新教材】2021-2022学年人教A版（2019）高中数学必修第二册专项训练

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第八章  立体几何专练（十五）—大题综合练习（2）1．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，为的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面．（1）证明：连结交于点，连结．底面是矩形，为中点．又为中点，．平面，平面，平面；（2）证明：底面为矩形，．又平面平面，平面，平面平面，平面．平面，．，，即．，，平面，平面．2．如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面．（1）求证：；（2）若，，，求三棱柱的高．解：（1）证明：连结，则为与的交点，因为侧面为菱形，所以，又平面，，又，平面，平面，平面，由于平面，故．（2）作，垂足为，连结，作，垂足为，由于，，，故平面，所以．又，，平面，平面，所以平面．因为，，所以为等边三角形，又，可得，由于，所以，由，且，得，又为的中点，所以点到平面的距离为，故三棱柱的高为．3．如图，正三棱柱中底面边长为，、分别在与上，且，．（1）求截面的面积；（2）上是否存在一点，使得面？若不存在，说明理由；若存在，指出的位置．解：（1）由勾股定理易得，，，所以为等腰三角形，所以截面的面积．（2）为中点时，平面，如图所示，取的中点，的中点，连接，，，所以，，又，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，因为，所以，由，，平面，平面，所以平面，所以为中点时，平面．4．如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径，，，三棱锥的体积为．（1）求圆柱的表面积；（2）求异面直线与所成角的余弦值．解：（1）由题意，在中，，，所以，在中，，，所以，因为三棱锥的体积为．所以，解得，故圆柱的表面积为．（2）取中点，连接，，则，得或它的补角为异面直线与所成的角，又，，得，，由余弦定理得，异面直线与所成角的余弦值为．5．如图，在四边形中，，，，，为上的点且，若平面，为的中点．（1）求证：平面；（2）求四棱锥的侧面积．（1）证明：取的中点为，连结，，因为为的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面，又因为，，，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面，又，，平面，所以平面平面，又因为平面，所以平面；（2）解：因为，所以，又因为平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，所以，，为直角三角形，因为，，，，所以，所以，所以四棱锥的侧面积为．6．如图（1），平面四边形中，，，，将沿边折起如图（2），使____，点，分别为，中点．在题目横线上选择下述其中一个条件，然后解答此题①．②为四面体外接球的直径．③平面平面．（1）判断直线与平面的位置关系，并说明理由；（2）求三棱锥的体积．解：（1）选①，在中，，，则，又，，则，又，，平面，，又，平面，又、分别为、的中点，，则平面；选②，为四面体外接球的直径，则，，又，，平面，、分别为、的中点，，则平面；选③，平面平面，又平面平面，，平面，则，又，，平面，、分别为、的中点，，则平面；（2）由（1）知，平面，为直角三角形，，，故三棱锥的体积．