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    第八章立体几何专题训练(八)—探索性问题(2)-【新教材】2021-2022学年人教A版(2019)高中数学必修第二册专项训练

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    这是一份第八章立体几何专题训练(八)—探索性问题(2)-【新教材】2021-2022学年人教A版(2019)高中数学必修第二册专项训练,共10页。试卷主要包含了在四棱锥中,底面为直角梯形,,,如图,在四棱锥中,,,,等内容,欢迎下载使用。
    第八章   立体几何专题训练(八)探索性问题(21.在四棱锥中,底面为直角梯形,1)设平面平面,求证:平面2)若平面.在线段上是否存在点,使得与平面所成角的正弦值为1)证明:平面平面平面平面,平面平面平面平面平面2)解:以为原点,所在直线分别为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,不妨取,则002002,则00设平面的法向量为,则,即,则与平面所成角的正弦值为化简得,解得故线段上存在点满足题意,且点为线段的一个三等分点.2.如图,在四棱锥中,平面平面,点的中点.)求证:平面)求二面角的正弦值;)在线段上是否存在一点,使直线与平面所成的角正弦值为,若存在求出的长,若不存在说明理由.证明:()取的中点,连接是等腰三角形,的中点.可得四边形是平行四边形,平面解:()取的中点,连接,利用向量法,即可求解二面角的正弦值;平面平面平面为原点,建立空间直角坐标系,如图,1010易知平面的一个法向量为设平面的法向量为,取,可得设二面角的平面角为那么二面角的平面角的正弦值解():假设存在线段上一点,设设平面的法向量为,取,则直线与平面所成的角的平面角为,由解得(舍去),故得到的长为:3.如图,在四棱台中,底面是边长为2的菱形,平面1是棱的中点,求证:平面2)试问棱上是否存在点,使得二面角的余弦值为?若存在,求点的位置;若不存在,请说明理由.1)证明:连接因为是棱的中点,所以又因为,所以所以四边形是平行四边形,所以平面平面所以平面2)解:取中点,连接因为底面是边长为2的菱形,所以,又因为平面所以于是两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系,存在点满足条件,设平面的法向量为,令平面的法向量为0二面角的余弦值为,整理得,解得(舍去),中点.4.如图所示,正方体中,点在棱上运动,的中点1)若中点,求证:平面2)若,求当为何值时,二面角的平面角的余弦值为解:(1)证明:如图所示,取棱的中点,连接中点,四边形为平行四边形,的中点,四边形为平行四边形.平面平面平面2)如图所示建立空间直角坐标系,不妨设棱长,则2022222设平面的法向量为,则设平面的法向量为,则设二面角的平面角为,则化为:解得,二面角的平面角的余弦值为5.如图,在四棱锥中,1)证明:平面2)设平面平面平面,在线段上是否存在点,使得二面角的余弦值为?若存在,求出的值;若不存在,请说明由.1)证明:在底面中,所以所以,又平面平面2)解:延长相交于点,连结,则即为交线的中点,连结,则过点在平面内作的垂线,则平面以点为坐标原点,建立空间直角坐标系如图所示,所以设平面的法向量为,即,则,故,则所以,故设平面的法向量为则有,即,则,故因为二面角的余弦值为所以化简整理可得,解得(舍故在线段上存在点,使得二面角的余弦值为,此时的值为6.《九章算术》是我国古代的数学著作,是算经十书中最重要的一部,它对几何学的研究比西方要早1000多年.在《九章算术》中,将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.如图,在堑堵中,分别是的中点,点在线段上.1)若的中点,求证:平面2)是否存在点,使得平面与平面所成的二面角为?若存在,试确定点的位置;若不存在,请说明理由.1)证明:取的中点,连结因为的中点,的中点,的中点,所以所以四边形为平行四边形,所以,又平面平面所以平面2)解:如图,以点为坐标原点,建立空间直角坐标系如图所示,,其中,则设平面的法向量为则有,即,则,故平面的一个法向量为因为平面与平面所成的二面角为所以解得故在线段上不存在点,使得平面与平面所成的二面角为 

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