第八章立体几何专题训练(八)—探索性问题(2)-【新教材】2021-2022学年人教A版(2019)高中数学必修第二册专项训练
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这是一份第八章立体几何专题训练(八)—探索性问题(2)-【新教材】2021-2022学年人教A版(2019)高中数学必修第二册专项训练,共10页。试卷主要包含了在四棱锥中,底面为直角梯形,,,如图,在四棱锥中,,,,等内容,欢迎下载使用。
第八章 立体几何专题训练(八)—探索性问题(2)1.在四棱锥中,底面为直角梯形,,.(1)设平面平面,求证:平面;(2)若平面,,.在线段上是否存在点,使得与平面所成角的正弦值为?(1)证明:,平面,平面,平面,又平面,平面平面,,平面,平面,平面.(2)解:以为原点,,,所在直线分别为,,轴,建立如图所示的空间直角坐标系,不妨取,则,0,,,0,,,2,,,0,,,0,,,2,,设,,,则,0,,,0,,设平面的法向量为,,,则,即,令,则,,,,,与平面所成角的正弦值为,,,化简得,解得或,故线段上存在点满足题意,且点为线段的一个三等分点.2.如图,在四棱锥中,平面平面,,,,,点为的中点.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求二面角的正弦值;(Ⅲ)在线段上是否存在一点,使直线与平面所成的角正弦值为,若存在求出的长,若不存在说明理由.证明:(Ⅰ)取的中点,连接,,,是等腰三角形,点为的中点.,,可得四边形是平行四边形,;面,面,平面;解:(Ⅱ)取的中点,连接,,利用向量法,即可求解二面角的正弦值;平面平面,,,,.平面,,以为原点,建立空间直角坐标系,如图,,1,;,0,;,1,;,0,;易知平面的一个法向量为,;设平面的法向量为,则,取,可得;设二面角的平面角为,,那么二面角的平面角的正弦值;解(Ⅲ):假设存在线段上一点,设,则,,,,,.设平面的法向量为,则,取,则,..直线与平面所成的角的平面角为,由,即,即,解得或(舍去),故得到的长为:.3.如图,在四棱台中,底面是边长为2的菱形,,,平面.(1)是棱的中点,求证:平面;(2)试问棱上是否存在点,使得二面角的余弦值为?若存在,求点的位置;若不存在,请说明理由.(1)证明:连接,因为是棱的中点,所以,又因为,,所以,所以四边形是平行四边形,所以,平面,平面,所以平面.(2)解:取中点,连接,因为底面是边长为2的菱形,,所以,又因为平面,所以、,于是、、两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系,存在点,,满足条件,,,,,,,,,设平面的法向量为,,,,令,,,,平面的法向量为,0,,二面角的余弦值为,整理得,解得,(舍去),故为中点.4.如图所示,正方体中,点在棱上运动,为的中点(1)若为中点,求证:平面;(2)若,求当为何值时,二面角的平面角的余弦值为.解:(1)证明:如图所示,取棱的中点,连接,.为中点,四边形为平行四边形,,,又为的中点,四边形为平行四边形.,,平面,平面;平面.(2)如图所示建立空间直角坐标系,不妨设棱长,则,2,,,0,,,2,,,2,.,2,,,2,,,2,,设平面的法向量为,,,则,,,取,,.设平面的法向量为,,,则,,,取,,.设二面角的平面角为,则.化为:,解得,当,二面角的平面角的余弦值为.5.如图,在四棱锥中,,,,.(1)证明:平面;(2)设平面平面,平面,,在线段上是否存在点,使得二面角的余弦值为?若存在,求出的值;若不存在,请说明由.(1)证明:在底面中,,,,所以,,所以,故,又,,,平面,故平面;(2)解:延长,相交于点,连结,则即为交线,取的中点,连结,则,过点在平面内作的垂线,则平面,以点为坐标原点,建立空间直角坐标系如图所示,则,所以,设平面的法向量为,则,即,令,则,,故,设,,,,则,故,所以,故,设平面的法向量为,则有,即,令,则,,故,因为二面角的余弦值为,所以,化简整理可得,解得或(舍,故在线段上存在点,使得二面角的余弦值为,此时的值为.6.《九章算术》是我国古代的数学著作,是“算经十书”中最重要的一部,它对几何学的研究比西方要早1000多年.在《九章算术》中,将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.如图,在堑堵中,,,,分别是,的中点,点在线段上.(1)若为的中点,求证:平面.(2)是否存在点,使得平面与平面所成的二面角为?若存在,试确定点的位置;若不存在,请说明理由.(1)证明:取的中点,连结,因为为的中点,且,又为的中点,为的中点,所以且,故且,所以四边形为平行四边形,所以,又平面,平面,所以平面;(2)解:如图,以点为坐标原点,建立空间直角坐标系如图所示,设,其中,,则,故,设平面的法向量为,则有,即,令,则,,故,平面的一个法向量为,因为平面与平面所成的二面角为,所以,解得,,故在线段上不存在点,使得平面与平面所成的二面角为.
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