第八章立体几何专题训练（十四）—大题综合练习（1）-【新教材】2021-2022学年人教A版（2019）高中数学必修第二册专项训练

这是一份第八章立体几何专题训练（十四）—大题综合练习（1）-【新教材】2021-2022学年人教A版（2019）高中数学必修第二册专项训练，共7页。试卷主要包含了如图，长方体中，，，点为的中点等内容，欢迎下载使用。
第八章  立体几何专练（十四）—大题综合练习（1）1．如图，长方体中，，，点为的中点．（1）求证：直线平面；（2）求异面直线与所成角的大小．（1）证明：设和交于点，则为的中点．连结，又因为是的中点，所以．又因为平面，平面所以直线平面．（2）解：由（1）知，，所以即为异面直线与所成的角．因为，且，所以．又，，所以故异面直线与所成角的大小为．2．如图，已知三棱锥为正三棱锥，设其底面的边长为，侧棱长为．（1）设底边的中点为，若，求异面直线与所成角的大小；（2）设过底边的截面交侧棱于点，若，求截面面积的最小值．解：（1）取的中点为，连结，，在等边中，，，所以为异面直线与所成的角，在等边中，，在等边中，，在中，由余弦定理可知，，故异面直线与所成角的大小为；（2），，所以，所以，设，在等腰中，，，当时，取得最小值，由等面积法，解得，又，所以，则等腰中，，，所以截面的面积的最小值为，当且仅当时取到等号．3．空间四边形中，，点、分别为对角线、的中点．（1）若直线与所成角为，求直线与所成角的大小；（2）若直线与所成角为，求直线与所成角的大小．解：取的中点为，连结，，因为点，分别为对角线，的中点，所以，，且，则为直线与所成的角或所成角的补角，为直线与所成角或所成角的补角，又，所以，即为等腰三角形．（1）若直线与所成角为，即，则，所以直线与所成的角为；（2）若直线与所成的角为，则或，若，则，即直线与所成角为；若，则，即直线与所成角为；综上所述，直线与所成角为或．4．如图，在五面体中，四边形是正方形，，，．（1）求证：平面平面；（2）设是的中点，棱上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由．（1）证明：四边形是正方形，．又，，平面，面，平面平面． （2）存在．，面，面，并且面面，．取中点，中点，取中点，中点，连，，，可得，且，故四边形为平行四边形，．又为中点，在中，，，，面面，在棱上，故当且仅当与重合时，面，．5．在四棱锥中，平面，，底面是梯形，，，．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）为棱上的中点，求到面的距离．证明：平面，平面，平面，，，在梯形中，过点作作于，在中，，，又在中，，，，，，①，，，平面，平面，平面，平面，，由①②，，平面，平面，平面，平面，平面平面．解：由（Ⅰ）可知平面且，，由等积法得到到面的距离．6．如图所示，几何体中，四边形为菱形，平面，，，，，平面与平面的交线为．（1）证明：直线平面；（2）若直线与平面交于点，求四边形周长的范围．（1）证明：如图，连接与交于点，由条件可知且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，因为平面与平面的交线为，所以，因为平面，所以，又因为四边形为菱形，所以，又因为，所以平面，所以直线平面．（2）解：因为，平面，平面，所以平面，同理，因为，所以平面平面，由平面与平面平行的性质定理可得，同理，所以四边形为平行四边形，由题意可知，所以四边形为菱形，设，，则，在中，，①在中，，因为，所以，②①②得，得，在中，，即，得，所以，在中，，，所以，，所以菱形的周长的范围为，．