专题18 立体几何初步（能力提升）-2021年暑假高一升高二数学复习基础巩固+能力提升专题（人教A版2019）

【新教材2019人教必修第二册】

暑假高一能力提升 专题18 立体几何初步

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．（2021·全国高三专题练习（文））下列命题中，正确的是（    ）

A．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱

B．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥

C．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体

D．棱台各侧棱的延长线交于一点

2．（2020·湖南岳阳市·岳阳一中高一月考）如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列命题正确的是（    ）

A． B．

C． D．AM与DF是异面直线

3．（2021·云南玉溪市·高二期末（文））已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是

A．若，则

B．若，则

C．若，且，则

D．若，且，则

4．（2021·宁夏固原市·高一期末）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（    ）

A．20° B．40°

C．50° D．90°

5．（2021·贵州高三开学考试（理））在直三棱柱中，，，，若该三棱柱的外接球表面积为，则三棱柱的高为（    ）

A．2 B． C．4 D．

6．（2021·河南高三月考（文））我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵，，若，当阳马体积最大时，则堑堵的外接球的体积为（    ）

A． B． C． D．

7．（2021·内蒙古赤峰市·高三期末（理））（chuhong），中国古代算术中的一种几何形体，《九章算术》中记载“刍甍者，下有褒有广，而上有褒无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍甍字面意思为茅草屋顶”，如图为一“刍甍”的五面体，其中为矩形，和都是等腰三角形，，，若，且，则异面直线与所成角的大小为（   ）

A． B． C． D．

8．（2021·安徽六安市·高三一模（理））已知正方体的棱长为2，，中点分别为，，若过的平面截该正方体所得的截面是一个五边形，则该五边形周长的最大值为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．（2021·河北沧州市·高三三模）三星堆遗址，位于四川省广汉市，距今约三千到五千年.2021年2月4日，在三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮.玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是一种古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长，外径长，筒高，中部为棱长是的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则（    ）

A．该玉琮的体积为() B．该玉琮的体积为()

C．该玉琮的表面积为() D．该玉琮的表面积为()

10．（2020·江苏省南通中学高三一模）透明塑料制成的正方体密闭容器的体积为注入体积为的液体.如图，将容器下底面的顶点置于地面上，再将容器倾斜.随着倾斜度的不同，则下列说法正确的是（ ）

A．液面始终与地面平行

B．时，液面始终是平行四边形

C．当时，有液体的部分可呈正三棱锥

D．当液面与正方体的对角线垂直时，液面面积最大值为

11．（2020·山东高二月考）如图所示，有一正四面体形状的木块，其棱长为，点是的中心.劳动课上，需过点将该木块锯开，并使得截面平行于棱和，则下列关于截面的说法中正确的是（    ）

A．截面与侧面的交线平行于侧面

B．截面是一个三角形

C．截面是一个四边形

D．截面的面积为

12．（2021·江苏高三月考）如图所示，在棱长为1的正方体中，M，N分别为棱，的中点，则以下四个结论正确的是（    ）

A．

B．平面

C．A到直线MN的距离为

D．过MN作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为

三、填空题

13．（2020·全国高一课时练习）如图，矩形是水平放置的一个平面图形的斜二测画法画出的直观图，其中，，则原图形面积是______．

14．（2021·河北张家口市·高三一模）如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的棱长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体．若该二十四等边体棱长为1，则该二十四等边体的体积为____________．

15．（2021·辽宁丹东市·高三期末）中国南北朝时期，祖冲之与他的儿子祖暅通过对几何体体积的研究，早于西方1100多年，得出一个原理：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是面积，“势”是高.也就是说：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.上述原理被称为祖暅原理.现有水平放置的三棱锥和圆锥各一个，用任何一个平行于底面的平面去截它们时，所截得的两个截面面积都相等，若圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，根据祖暅原理可知这个三棱锥的体积为______.

16．（2020·全国高三专题练习（文））如图，已知边长为1的正方形与正方形所在平面互相垂直，为的中点，为线段上的动点，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为______.

四、解答题

17．（2021·江苏南通市·高二开学考试）在三棱锥中，，分别是棱，上的点，且平面．

（1）求证：平面；

（2）若平面，，，记三棱锥与三棱锥的体积分别为，，且，求三棱锥的体积．

18．（2021·湖北武汉市·高三月考）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PBC⊥平面ABCD.∠BDC=90°，BC=1，BP=，PC=2.

（1）求证：CD⊥平面PBD；

（2）若BD与底面PBC所成的角为，求二面角B-PC-D的正切值.

19．（2021·横峰中学高一开学考试）如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面(如图)，为中点.

（1）求证：平面；

（2）求四棱锥的体积；

（3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

20．（2021·浙江高一期末）在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成的角的大小；

（3）求点到平面的距离.

21．（2021·浙江丽水市·高二月考）如图所示，已知平行四边形和矩形所在平面互相垂直，，，，，是线段的中点.

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成角的余弦值；

（3）设点为一动点，若点从出发，沿棱按照的路线运动到点，求这一过程中形成的三棱锥的体积的最小值.

22．（2021·全国高三零模）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为．

（1）求四棱锥的总曲率；

（2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数，证明：这类多面体的总曲率是常数．