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    2021届安徽省淮北高三二模数学试卷及答案

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    这是一份2021届安徽省淮北高三二模数学试卷及答案,共25页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2021届安徽省淮北高三二模数学试卷及答案

    一、单选题

    1.已知集合,则       

    A B C D

    2.若(其中为虚数单位),则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于(       

    A.第一象限 B.第二象限

    C.第三象限 D.第四象限

    3.已知,则       

    A-2 B C D2

    4干支(gānzhī)纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法,干支是天干和地支的总称.甲、乙、丙、丁戊、已、庆、辛、壬、癸十个符号叫天干,子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支,千支按序相配,组成干支纪年法,相配顺序为甲子、乙丑、丙寅……癸酉;甲戌、乙亥、丙子未;甲申、乙酉、丙戌癸巳;……共得60种不同组合,这就是俗称的六十甲子,也叫干支丧,周而复始干支纪年以每年立春换年,是中华民族的伟大发明.2021年是干支纪年中的辛丑年,则2035年是干支纪年中的(       

    A.甲寅年 B.乙卯年 C.丙辰年 D.甲巳年

    5.函数图象可能是

    A B C D

    6.已知某几何体的一条长为该棱在正视图中的投影长为,在侧视图与俯视图中的投影长为,且,则的最小值为(       

    A B C D2021

    7.如图,是双曲线的左、右焦点,为双曲线上关于原点对称的两点,且满足,则双曲线的离心率为(       

    A B C D

    8.如图,为正四棱锥的底面中心,分别是上的动点,若是边长为2的正三角形,则的最小值为(

     

    A1 B C2 D

    9.若数能成为等差数列的项(可以不是相邻项)则记为,不能则记为;若数能成为等比数列的项(可以不是相邻项)则记为,不能则记为.那么这两组数对应的判断结果是(       

    A B C D

    10.已知通数满足,且在区间上单调,则满足条件的个数为(       

    A7 B8 C9 D10

    11.在平面直角坐标系中,曲线,过上的点作直线交两点,则的最小值是(       

    A3 B4 C D

    12.已知关于的不等式成立,则的取值范围是(       

    A B C D

    二、填空题

    13展开式中常数项为___________.

    14.已知坐标平面内的点集,在Ω中任取三点,则这三点两两距离不超过的概率是___________.

    15.设M是函数图像上任意一点,过向直线轴作垂线,垂足分别为AB,则___________.

    16.在如图所示的多面体中,为正四面体,,直线与平面交于点,则下列命题中正确的有___________.(写出所有正确命题的序号)

    平面该多面体存在外接球.

    三、解答题

    17.在中,角所对边的长为,已知.

    1)求A

    2)若的面积,求边上中线的最小值.

    18.甲乙两人用两颗质地均匀的骰子(各面依次标有数字123456的正方体)做游戏,规则如下:若掷出的点数之和为3的倍数,则由原投掷人继续投掷否则由对方接着投掷第一次由甲投掷.

    1)求第二次仍由甲投掷的概率;

    2)设游戏的前4次中乙投掷的次数为X,求随机变量X的分布列与期望.

    19.如图,在四棱锥中,平面.的中点,点上,且.

    1)求证:平面

    2)求二面角的正弦值;

    3)设点上,且,判断直线是否在平面内,并说明理由.

    20.如图,椭圆 右焦点为,右顶点为,满足,其中为坐标原点,为椭圆的离心率.

     

    1)求椭圆的标准方程;

    2)设为椭圆上的动点(异于左右顶点),直线交椭圆于另一点,直线交直线于点,求证:直线过定点.

    21.己知函数.

    1)若,证明:当时,;当

    2)若存在两个极值点,求证:.

    22.在平面直角标系中,已知曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.

    1)写出曲线的普通方程;

    2)过曲线上任意一点作与夹角为的直线,交于点,求的最大值与最小值.

    23.设函数

    1)证明:

    2)若,求实数的取值范围.


    参考答案:

    1C

    【解析】

    【分析】

    首先求出集合,再根据交集的定义计算可得;

    【详解】

    解:因为,所以,所以,因为,所以,所以,所以

    所以

    故选:C

    2C

    【解析】

    【分析】

    由复数的除法运算得到,求出共轭复数进而可得结果.

    【详解】

    因为

    所以

    易知,其对应的点的坐标为在第三象限,

    故选:C.

    3D

    【解析】

    【分析】

    利用可求的值.

    【详解】

    因为,故

    故选:D.

    4B

    【解析】

    【分析】

    由题意把干支顺序相配正好六十为一周,周而复始,循环记录,再根据2021年是干支纪年法中的辛丑年,2016年是干支纪年法中的丙申年即可求出答案

    【详解】

    解:因为2021年是干支纪年中的辛丑年,

    所以2035年是年,

    所以2035年是

    所以2035年是干支纪年中的乙卯年,

    故选: B

    5B

    【解析】

    【分析】

    考查该函数的奇偶性,在处的取值以及该函数在上的单调性可辨别出图象

    【详解】

    ,定义域为

    该函数为偶函数,且,排除C选项,

    时,,则

    时,,则

    时,,则

    所以, 函数上单调递减,符合条件的图象B选项中的图象

    故选B.

    【点睛】

    本题考查利用函数解析式辨别函数的图象,一般从以下几个要素来进行分析:定义域;奇偶性;单调性;零点;函数值符号.在考查函数的单调性时,可充分利用导数来处理,考查分析问题的能力,属于中等题.

    6C

    【解析】

    【分析】

    将该几何体的棱放在长方体的体对角线处,然后利用长方体的对角线公式和基本不等式的应用可得答案.

    【详解】

    如图,设该几何体的一条棱为

    则它在正视图的投影为,在侧视图的投影为,在俯视图的投影为

    所以

    所以

    因为

    所以,当且仅当时等号成立

    所以,解得

    故选:C

    7A

    【解析】

    【分析】

    用锐角三角函数的定义可得,,取左焦点,连接,可得四边形为矩形,由双曲线的定义和矩形的性质,可得,由离心率公式求解即可.

    【详解】

    因为,所以.

    中,

    在直角三角形中,,可得,取左焦点,连接,可得四边形为矩形,

    故选:A

    【点睛】

    方法点睛:求双曲线的离心率常用的方法有:(1)公式法(求出双曲线的代入离心率的公式即得解);(2)方程法(通过已知找到关于离心率的方程解方程即得解).

    8B

    【解析】

    【分析】

    根据全等,PO折叠至,由点APC的距离求解.

    【详解】

    因为棱锥是正四棱锥,且为底面中心,

    所以全等,

    PO折叠至

    因为折叠前后EF的长度不变,

    所以的最小值即为点APC的距离,

    又因为是边长为2的正三角形,

    故选:B

    9D

    【解析】

    【分析】

    设数能成为公差为的等差数列中的项,假设设数能成为公比为的等比数列中的项,假设可以得.判断以上两组中的是否存在,由此可得出结论.

    【详解】

    能成为等差数列的项(可以不是相邻项):

    假设可以得为公差,

    ,即,取即可,

    能成为等差数列的项;

    能成为等比数列的项(可以不是相邻项):

    假设可以得为公比,

    ,即.

    为奇数,为偶数,等式不成立,

    不能成为等比数列中的项.

    所以,这两组数对应的判断结果是.

    故选:D.

    【点睛】

    关键点点睛:本题考查等差、等比数列能否存在,关键是结合等差数列、等比数列的基本量进行计算,确定相应项的序数是否存在.

    10C

    【解析】

    【分析】

    根据可求得,其中,再根据函数在给定区间上的单调性可求满足条件的个数.

    【详解】

    因为,故,其中

    因为,故.

    因为为函数图象的最高点,

    在区间上单调等价于

    ,故,故.

    故选:C.

    【点睛】

    思路点睛:正弦型函数在对称轴处取最值,如果其在给定的区间上单调,那么该区间的长度不超过半周期,解题中注意合理利用这个性质.

    11B

    【解析】

    【分析】

    设点,直线的倾斜角为,则直线的参数方程为为参数),

    代入曲线中,得出根与系数的关系,表示,由二次函数的性质可得选项.

    【详解】

    设点,直线的倾斜角为,则直线的参数方程为为参数),

    代入曲线中,

    ,整理得:

    两点所对应的参数为,则

    ,即的最小值是4

    故选:B

    【点睛】

    易错点睛:本题考查直线的参数方程,常代入曲线的一般方程中得出根与系数的关系,再将线段间的运算用根与系数的关系表示,运用时,注意直线中的参数的几何意义,以及所对应的参数的符号.

    12A

    【解析】

    【分析】

    将条件变形为,然后由的单调性可得,然后可得,然后利用导数求出的最小值即可.

    【详解】

    构造,即

    因为上单调递增,所以,所以

    所以,令,则

    所以上单调递减,在上单调递增

    所以,所以,即

    ,即

    所以的取值范围是

    故选:A

    【点睛】

    关键点睛:解答本题的关键是将条件不等式变形为.

    13

    【解析】

    【分析】

    求出所给二项展开式的通项公式,再算出x的指数为0的项求解而得.

    【详解】

    展开式的通项公式为:

    展开式中常数项即,此时

    展开式的常数项是第七项,为.

    故答案为:

    14

    【解析】

    【分析】

    求出所有可能和符合题意的可能,由古典概型的概率公式即可求解.

    【详解】

    解:0

    x3种取法,y3种取法,共组成点,

    9个点中随机取3个点的方式有种,

    当三个点两两之间的距离不超过时,

    只有三个点组成了边长分别为11的直角三角形时满足条件,

    如图所示,ABO为满足两两之间距离不超过的三个点,

    ABOD四点中,任取三点都满足该条件,共有种取法,

    同理在BCEOEHGODOGF中都有种方法,

    共有种方法,

    所求概率

    故答案为:

    15

    【解析】

    【分析】

    ,则可求得,故可求的值.

    【详解】

    ,则

    可得

    ,又

    .

    故答案为:.

    【点睛】

    思路点睛:向量的数量积的计算,可以依据定义来计算,也可以利用运算律转化为已知向量的数量积来计算,也可以根据问题的特征转化为向量的坐标运算.

    16①③④⑤

    【解析】

    【分析】

    的中点,证明出平面,可判断的正误;计算出,利用勾股定理可判断的正误;计算出,可判断的正误;利用线面平行的判定定理可判断的正误;分析出,可判断的正误.

    【详解】

    对于,取的中点,连接

    的中点,则,同理可得

    平面

    平面正确;

    对于,设,点在底面的射影为正的中心,即平面

    ,则三棱锥为正三棱锥,

    所以,点在底面的射影也为正的中心,即平面

    ,则三点共线,又底面重合,

    的外接圆半径为,则

    ,同理可得,所以,

    ,所以,错误;

    对于,由可知,正确;

    对于,连接为正的中心,中的边的中点,则

    所以,相交,则四点共面,

    ,则,同理可得

    平面平面

    ,且四点共面,

    平面平面平面正确;

    对于,由可知,,同理可知

    所以,为多面体的外接球的直径,正确.

    故答案为:①③④⑤.

    【点睛】

    方法点睛:直线与直线垂直的证明依据:

    三角形勾股定理的逆定理:

    两个三角行全等或相似证明对应角相等(其中一个已知角为直角);

    等腰三角形底边上的中线与底边垂直;

    菱形的对角线相互垂直;

    矩形的邻边相互垂直;

    等角定理:

    直线与平面垂直的定义(或性质):一条直线与一个平面垂直,则这条直线与此平面内的所有直线都垂直,即,常用于异面直线垂直,偶尔两相交直线垂直也可通过线面垂直得到.

    17.(1;(2)最小值.

    【解析】

    【分析】

    1)根据,利用正弦定理得到:求解;

    2)由的面积,得到,再根据的中点,分别在中,利用余弦定理得到,再结合余弦定理,利用基本不等式求解;

    【详解】

    1

    由正弦定理可得:

    ,可得

    ,即.

    2的面积

    ,得.

    的中点,

    中,由余弦定理得

    中,由余弦定理得

    两式相加得:

    由余弦定理可得:

    代入上式可得:

    解得

    当且仅当时,边上中线取得最小值.

    【点睛】

    关键点点睛:本题第二问关键是由的中点,利用中线长定理得到而得解.

    18.(1;(2)分布列答案见解析,数学期望:.

    【解析

    【分析】

    1)根据规则得到第二次仍由甲投掷的事件数,利用概率公式计算即可;

    2)得出X的取值依次为0123,求出相应的概率,列出分布列,进而求出期望.

    【详解】

    解:(1)第二次仍有甲掷,則第一次甲掷得点数之和为3的倍数

    其概率.

    2)前4此乙投掷次数为X,则X的取值一次为0123,由(1)得

    故随机变量的分布列为:

    0

    1

    2

    3

     

    所以随机变量的期望

    19.(1)证明见解析;(2;(3)直线AG在平面AEF内,证明见解析.

    【解析】

    【分析】

    1)可证PACD,从而可证CD平面PAD.

    2)以A为坐标原点如图建立空间直角坐标系A-xyz,求出平面AEF的法向量后可求二面角的余弦值.

    3)利用与平面的法向量垂直可证明直线在平面.

    【详解】

    1)证明:因为平面平面,所以PACD

    又因为ADCD,所以CD平面PAD.

    2)过AAD的垂线交BC于点M.

    因为PA平面ABCD平面

    所以PAAMPAAD

    A为坐标原点如图建立空间直角坐标系A-xyz.

    A(000)B(2-10)C(220)D(020)P(002)

    因为EPD的中点,所以E(011)

    所以

    所以.

    设平面AEF的法向量为

    ,则,故

    又平面PAD的法向量为

    所以,得二面角平面角正弦值为

    3)直线AG在平面AEF内,证明如下:

    因为点GPB上,且,故

    所以.

    由(2)知,平面AEF的法向量

    所以,所以直线AG在平面AEF.

    【点睛】

    思路点睛:线线垂直的判定可由线面垂直得到,也可以由两条线所成的角为得到,而线面垂直又可以由面面垂直得到,解题中注意三种垂直关系的转化. 空间中的角的计算,可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算,也可以构建空间角,把角的计算归结平面图形中的角的计算.

    20.(1;(2)证明见解析.

    【解析】

    【分析】

    1)由题意,可得,又,从而求出,则可得椭圆的标准方程;

    (2) 的左顶点为,与椭圆方程联立,表示出韦达定理及,即可表示出点坐标,设交于,表示出点坐标,即可得到,从而得证;

    【详解】

    解:(1)由,得

    解得

    所以椭圆标准方程是:.

    2)设的左顶点为

    联立并整理得

    ,故

    时得

    交于,则

    ,即,故过定点

    【点睛】

    解决直线与椭圆的综合问题时,要注意:

    (1)注意观察应用题设中的每一个条件,明确确定直线、椭圆的条件;

    (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力,重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.

    21.(1)证明见解析;(2)证明见解析.

    【解析】

    【分析】

    1)将代入,求出成立,得到函数的单调性,结合可得结果;

    2)根据在极值点处导数为0可得,将所需不等式化简即可转化为,记,构造函数,利用导数研究函数的单调性即可得结果.

    【详解】

    1)当时,,定义域为

    得在成立,故单调递减,

    所以当时,;当

    2

    因为存在两个极值点mn

    有两个正数根,即有两个正数根

    所以(*)

    不妨设

    原命题即设

    即证(*)

    即证:(齐次化)

    ,则

    即证:

    再记

    时,上单调递减,

    ,由分析法和原不等式成立.

    【点睛】

    关键点点睛:由极值点的概念得到的关系,将所证不等式进行齐次化处理,引入新的变量是解题的关键.

    22.(1的普通方程为的普通方程为;(2.

    【解析】

    【分析】

    1)用消参法化参数方程为普通方程,利用公式化极坐标方程为直角坐标方程;

    2)求出到直线距离的最大值和最小值,由直角三角形性质得的最大值和最小值.

    【详解】

    解:(1)由

    的普通方程为

    的普通方程为

    2)设的距离为,圆心的距离为,圆半径为1,则PA夹角为

    【点睛】

    结论点睛:本题考查参数方程与普通方程的互化,极坐标方程与直角坐标方程的互化,考查圆上点到直线距离的最值.求出圆心到直线的距离是圆半径,直线与圆相离,则圆上点到直线距离的最大值为,最小值为

    23.(1)证明见解析;(2.

    【解析】

    【分析】

    1)去掉绝对值符号后再利用基本不等式可求证.

    2)由可得,分类讨论后可求实数的取值范围.

    【详解】

    解:(1

    单调递减;单调递减;单调递减;

    ,当且仅当时取得最小值.

    .

    2

    时,有,解得

    时,有.

    综上:实数a的取值范围为.

    【点睛】

    思路点睛:对于含绝对值的函数,可以通过去除绝对值符号把问题转化为分段函数的问题来处理.

     

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