安徽省淮北市树人高级中学2020-2021学年高二下学期期末考试数学试卷（含答案与解析）

2020-2021学年度第二学期期末考试数学试题

考试时间：120分钟     满分：150分

1．对于集合A，B，我们把集合且叫做集合A与B的差集，记作.若，，则为（　　）

A． B． C． D．

2．已知i是虚数单位，若复数，其中，则等于（　　）

A．1 B．5 C． D．13

3．“”是“”成立的（    ）

A．充分不必要条件      B．必要不充分条件     C．充分必要条件  D．既不充分又不必要条件

4．函数的图象可能是（    ）

A．                      B．                    C．                     D．

5．若函数在区间上的最大值､最小值分别为､，则的值为（    ）

A．2 B．0 C． D．3

6．已知为二次函数，且，设数列的前项和为，则（    ）

A．19 B．18 C．17 D．16

7．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

8．已知实数a，b，c满足，且，则（    ）

A． B． C． D．

9．已知，函数在上恰有5个零点，则的取值范围是（    ）

A．    B．    C． D．

10．已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

11．已知，且，下列结论正确的是（    ）

①；②；③；④．

A．①④ B．②③ C．①② D．②④

12．已知函数，若存在m，n∈[2，4]，且m-n≥1，使得f(m)=f(n)，则实数a的取值范围是（    ）

A．                         B．

C． D．

二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分）

13．设实数，满足条件，则的最大值为­­­­________

14．设函数，则不等式的解集为_________．

15．设直线，分别是函数，图象上点，处的切线，与垂直相交于点，且，分别与轴相交于点，，的面积的取值范围是________.

16.已知命题p：，，若为假命题，则实数a的最大值为________．

三、解答题（共6小题，满分70分。17—21为必考题，每题12分；22题和23题任选一题作答，10分）

17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（1）求B的大小；

（2）如图，在AC边的右侧取点D，使得，若，求当为何值时，四边形ABCD的面积最大，并求其最大值．

18．(如图1)在直角梯形中，，，，，，点在上，且.将沿折起，使得平面平面(如图2).

（1）求证：；

（2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

19．椭圆的离心率是，过点作斜率为k的直线l，椭圆E与直线l交于A，B两点，当直线l垂直于y轴时．

（1）求椭圆E的方程；

（2）          若点M的坐标为，是以为底边的等腰三角形，求k的值．

20.某公司为研究某种图书每册的成本费y(单位：元)与印刷数量x(单位：千册)的关系，收集了一些数据并进行了初步处理，得到了如图的散点图及一些统计量的值．

表中ui＝，＝ui.

(1)根据散点图判断：y＝a＋bx与y＝c＋哪一个模型更适合作为该图书每册的成本费y与印刷数量x的回归方程？(只要求给出判断，不必说明理由)

(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程(结果精确到0.01)；

(3)若该图书每册的定价为9.22元，则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低于80 000元？(假设能够全部售出，结果精确到1)

附：对于一组数据(ω1，ν1)，(ω2，ν2)，…，(ωn，νn)，其回归直线＝＋ω的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝＋.

21．已知函数，其中.

（1）记，求的单调区间；

（2）是否存在，使得对任意恒成立？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由.

请考生在22, 23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。

22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为θ为参数），曲线C1在的变换作用下得到曲线C2．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系（ρ＞0，θ∈[0，2π））．设直线y＝kx（k＞0）分别与曲线C1，C2交于异于原点的P，Q两点．

（1）求曲线C1、C2的极坐标方程；

（2）设点A的坐标为（1，0），求△APQ面积的最大值．

23．已知函数

(1)求不等式的解集；

(2)当取最小值时，求使得成立的正实数的取值范围.

2020-2021学年度第二学期期末考试数学参考答案

1．B   2．B   3．B，

,

因为推不出，能推出，

所以“”是“”成立的必要不充分条件.

4．D

令，则，故为奇函数，排除A、B；

在上，有，，即，故只有D符合要求.

5．C

化简函数，得到，构造新函数，得出函数为奇函数，求得最大值与最小值之和为0，进而根据和的值域相同，即可求解.

6．C

解：由题意，设，，

即，解得，，所以，

所以，可得，当时，，

所以，又，所以，

7．C

解：对于A，若，则m，n可能平行，异面或相交，所以A错误；

对于B，若，则，可能平行，相交，所以B错误；

对于C，若，则由面面垂直的判定定理可得，所以C正确；

对于D，若，则m，n可能平行或异面。所以D错误

故选：C

8．A

设，则，

当时，，单调递增，当时，，单调递减，

，即，

所以，所以，即，

又，所以，由，所以，

所以，即，所以，所以.

9．A

解：，，

令，则

由题意得在上恰有5个根，

即，在上恰有5个根，

由的性质可得：，解得：.

10．D

，

，可得是奇函数，

又，所以在上单调递增，

由得，

即对恒成立．

当时显然成立；当时，需，得，

综上可得，

11．A

解：由条件可得，又函数在上单调递增，所以，

故，

又在上单调递增，所以，即，所以①④正确．

12．B

由题意，，

令可得，则，解得，

所以当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减；

又，且，所以，

因为，，，

①若，则只需使，

即，解得；

②若，则需使，

即，解得；

综上，.

13．4

14．

当时，是增函数，此时；

当时， 是增函数，此时，所以函数是单调递增函数，

，解得：，

所以不等式的解集是.故答案为：

15．

由题意可知，，且明显地，分别在分段函数的两段上

设，且   

，    ，即：

方程为：；方程为：

，   

联立可得点横坐标为：

且在上单调递减   

，即的面积的取值范围为：

本题正确结果：

.

17．（1）；（2）当时，四边形ABCD的面积取得最大值．

（1）在△ABC中，由正弦定理得，

所以，

所以．因为，所以．

又，故．

（2）由（1）知，且，所以△ABC为等边三角形．

设，则在△ACD中，由余弦定理得，

所以，

四边形ABCD的面积．

因为，所以．当，即时，．

所以当时，四边形ABCD的面积取得最大值．

18（1）证明见解析；（2）存在，.

（1）在梯形中，取的中点，连接，，如图所示

所以，，

又因为，所以，即.

在图2中，

因为平面平面，，

所以平面.

又因为平面，所以.

（2）在上取一点的，满足，

在上取一点的，满足，连接，如图所示：

因为，，所以四边形为平行四边形，

所以.

又因为平面，平面，所以平面，

因为，所以.

又因为平面，平面，所以平面，

又因为平面，平面，，

所以平面平面.

又因为平面，所以平面.

所以.

19．（1）   ；（2）

解：（1）因为椭圆的离心率为，则，

此时椭圆，代得

当直线过点垂直y轴时，

则，得，

所以椭圆方程为：．

（2）设，，的中点，

由消去得：，显然，

所以，，

是以为底边的等腰三角形，则

当时，显然不成立，与题意不符．

当时，直线的斜率显然存在，所以,即

化简得，解得，

综上所述，所求的值为.

20.解　(1)由散点图判断，y＝c＋更适合．

(2)令u＝，先建立y关于u的线性回归方程，由于＝≈8.957≈8.96，

所以＝－·＝3.63－8.957×0.269≈1.22，所以y关于u的线性回归方程为＝1.22＋8.96u，所以y关于x的回归方程为＝1.22＋.

(3)假设印刷x千册，依题意得，

9．22x－x≥80，

解得x≥11.12，所以至少印刷11 120册才能使销售利润不低于80 000元．

21．（1）答案见解析；（2）不存在，理由见解析.

（1）()，

则

设，∵

①即时，在单调递增；

②即或，

时，，，∵在恒成立，在单调递增；

时，，，，，在和单调递增，单调递减，

综上① 时，在单调递增；

② 时，在和单调递增，在单调递减.

（2）由已知得，即为，

即()，

令()，则，

当时，，所以在上单调递增，，即，矛盾，故舍去；

当时，由，得，由，得，所以在上单调递减，单调递增，

所以()，

即当()恒成立，求的最大值.

令，则，

当，即时，单调递增，

当，即时，单调递减，

所以，

因为，又，，

所以不存在整数使成立，

综上所述，不存在满足条件的整数.

22．（1）ρ＝2cosθ，ρ＝4cosθ；（2）．

解：（1）曲线C1的参数方程为（θ为参数），

转换为直角坐标方程为，

根据，转换为极坐标方程为ρ＝2cosθ，

曲线C1在的变换作用下得到曲线C2，

即，

根据，转化为极坐标方程为ρ＝4cosθ．

（2）直线y＝kx（k＞0）转换为极坐标方程为θ＝α（0），

所以．

当时，的最大值为．

23．(1)；(2).

 (1)由不等式，可得，

可化为或或，

解，得或或，

综上知不等式的解集为.

(2)因为，

当且仅当，即时，等号成立.

故当时，，

法一：当取最小值时，，即，

所以，即，解得，

故所求m的取值范围.

法二：

因为，所以，所以，

所以，即，所以，

故所求m的取值范围