2020届安徽省淮北高三二模数学试卷及答案

2020届安徽省淮北高三二模数学试卷及答案

一、单选题

1．已知集合，，（       ）

A． B．

C． D．

2．设复数（为虚数单位），则复数（       ）

A． B．0 C． D．

3．函数（）的图象的大致形状是

A． B． C． D．

4．1943年，我国病毒学家黄祯祥在美国发表了对病毒学研究有重大影响的论文“西方马脑炎病毒在组织培养上滴定和中和作用的进一步研究”，这一研究成果，使病毒在试管内繁殖成为现实，从此摆脱了人工繁殖病毒靠动物、鸡胚培养的原始落后的方法.若试管内某种病毒细胞的总数和天数的函数关系为：，且该种病毒细胞的个数超过时会发生变异，则该种病毒细胞实验最多进行的天数为（       ）天（）

A．25 B．26 C．27 D．28

5．已知命题：“存在正整数，使得当正整数时，有成立”，命题：“对任意的，关于的不等式都有解”，则下列命题中不正确的是（       ）

A．为真命题 B．为真命题

C．为真命题 D．为真命题

6．2020年高校招生实施强基计划，其主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，聚焦高端芯片与软件、智能科技、新材料、先进制造和国家安全等关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域，有36所大学首批试点强基计划某中学积极应对，高考前进行了一次模拟笔试，甲、乙、丙、丁四人参加，按比例设定入围线，成绩公布前四人分别做猜测如下：

甲猜测：我不会入围，丙一定入围；乙猜测：入围者必在甲、丙、丁三人中

丙猜测：乙和丁中有一人入围；丁猜测：甲的猜测是对的

成绩公布后，四人中恰有两人预测正确，且恰有两人入围，则入围的同学是（       ）

A．甲和丙 B．乙和丁 C．甲和丁 D．乙和丙

7．如图，圆的直径，，为半圆弧上的两个三等分点，则（       ）

A．3 B． C． D．9

8．已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（　　）

A．108cm3 B．100cm3 C．92cm3 D．84cm3

9．已知函数，满足，若把函数的图像向左平移个单位后得到的图像对应的函数为偶函数，则函数的解析式为（       ）

A． B．

C． D．

10．已知锐角三角形，角，，所对的边分别为，，，且，则面积的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

11．已知函数，，若，则的最小值为（       ）

A．1 B．2 C．e D．3

12．已知双曲线：的左右焦点分别为、，且抛物线：的焦点与双曲线的右焦点重合，点为与的一个交点，且直线的倾斜角为45°则双曲线的离心率为（       ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．展开式中项的系数是______.

14．已知实数，满足则的最小值为______.

15．已知圆：直线：，过直线上的点作圆的切线，，切点分别为，，若存在点使得，则实数的取值范围是______.

16．已知正四棱锥的底面边长为高为其内切球与面切于点，球面上与距离最近的点记为，若平面过点，且与平行，则平面截该正四棱锥所得截面的面积为______.

三、解答题

17．如图，四棱锥中，侧棱面，，点在线段上，且，为的中点，，面.

（Ⅰ）求的长；

（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.

18．2020年3月22日是第二十八届“世界水日”3月22-28日是第三十三届“中国水周”，主题为“坚持节水优先，建设幸福河湖”，效仿阶梯电价，某市准备实施阶梯水价.阶梯水价原则上以一套住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准，具体划分阶梯如下：

从本市居民用户中随机抽取10户，并统计了在同一个月份的月用水量，得到如图所示的茎叶图

（1）若从这10户中任意抽取三户，求取到第二阶梯用户数的分布列和数学期望；

（2）用以上样本估计全市的居民用水情况，现从全市随机抽取10户，则抽到多少户为第二阶梯用户的可能性最大？

19．已知椭圆：的左右焦点分别为、，其短轴的两个端点分别为，，若；是边长为2的等边三角形.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，在轴上是否存在定点，使得直线，的斜率乘积为定值，若存在，求出定点，若不存在，请说明理由.

20．已知，分别为数列，的前项和，且.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若对任意正整数，都有成立，求满足等式的所有正整数.

21．若函数的图像与的图像交于不同的两点，线段的中点为

（1）求实数的取值范围；

（2）证明：

22．在直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为

（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

（2）设直线与轴的交点为，经过点的动直线与曲线交于，两点，证明：为定值

23．设函数的最小值为.

（1）求的值

（2）若，，为正实数，且，求证：

参考答案：

1．C

【解析】

【分析】

求解分式不等式和二次不等式化简集合，按照交集的定义,借助于数轴求得交集.

【详解】

由，即，解得或，

∴；

，

.

故选：C.

2．A

【解析】

【分析】

根据复数的乘除法运算法则，求出，即可求解.

【详解】

，

.

故选：A.

【点睛】

本题考查复数的代数运算以及共轭复数的求法，属于基础题.

3．C

【解析】

【分析】

对x分类讨论，去掉绝对值，即可作出图象.

【详解】

故选C．

【点睛】

识图常用的方法

(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；

(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；

(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．

4．C

【解析】

计算，得到，得到答案.

【详解】

取，故，即，

故该种病毒细胞实验最多进行的天数为.

故选：.

【点睛】

本题考查了指数函数的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.

5．D

【解析】

【分析】

直接利用放缩法证得命题是真命题；利用指数函数和幂函数的性质，分类讨论可知命题Q为真．进而利用复合命题的真假性判定.

【详解】

解：对于任意,

，

，

为使，只需要

只需要,，故取时，只要成立，便成立.

故命题是真命题；

对于命题：∵，∴当时，只要，则成立；

当时，只要，成立，所以对于,关于x的不等式都有解，故命题Q为真命题.

从而为真命题，为真命题，

为真命题，为假命题．

故选：D．

6．C

【解析】

【分析】

根据甲的正确与否，分类分析，即可求出结论.

【详解】

四人中恰有两人预测正确，且恰有两人入围，

若甲预言正确，则丁正确，则甲没入围，丙入围，

乙猜测错误，则乙入围，此时丙预测也正确，不合题意；

若甲预测错误，则丁错误，所以甲入围，丙没入围，

乙预测正确，入围者为甲和丁，丙预言正确，满足题意.

故选：C.

【点睛】

本题考查简单逻辑分析、推理，属于基础题.

7．D

【解析】

【分析】

连，根据题意，将向量转化为以为起点的向量表示，结合向量数量积的运算律，即可求解.

【详解】

连为半圆弧上的两个三等分点，

，

.

故选：D.

【点睛】

本题考查向量的数量积运算以及向量基本定理，考查数形结合思想，属于中档题.

8．B

【解析】

【详解】

试题分析：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．据此即可得出体积．

解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．

∴该几何体的体积V=6×6×3﹣=100．

故选B．

考点：由三视图求面积、体积．

9．D

【解析】

【分析】

由已知可得周期为求出，求出的图像向左平移个单位后得到的图像对应的函数，利用其是偶函数，求出，即可得出结论

【详解】

由，

所以周期为，

的图像向左平移个单位后得到的图像对应的函数为，

且为偶函数，，

，.

故选：D.

【点睛】

本题考查三角函数的性质以及函数图象间的变换关系，考查直观想象和逻辑推理能力，属于基础题。

10．A

【解析】

【分析】

将已知等式边化角，利用三角形内角和公式与二倍角公式，求出角，再由正弦定理求出，将面积表示为的函数，结合角范围，即可求解.

【详解】

，得，

，

，

，再由正弦定理得，，

，

，

是锐角三角形，，

得，

.

故选：A.

【点睛】

本题考查正弦定理、三角恒等变换解三角形，以及利用三角函数性质求面积的范围，要注意锐角三角形各角的范围，属于中档题.

11．B

【解析】

【分析】

设，将用表示，转化为求关于的函数的最小值，求导求出的单调区间，进而求出其极小值，即可求出结论.

【详解】

设，，

，令，

在上是增函数，且，

当是减函数，

当是增函数，

所以当时，取得极小值，也是最小值为.

故选：B.

【点睛】

本题考查利用导数求函数的最值，构造函数是解题的关键，考查直观想象、逻辑推理能力，属于中档题.

12．B

【解析】

【分析】

设双曲线焦点，可得抛物线的焦点坐标为，准线方程为，过点做，垂足为，根据题意有，可得轴，进而将用表示，结合双曲线定义，即可求解.

【详解】

设双曲线焦点，则抛物线的准线方程为，

过做，垂足为，则，

，

，

又点在双曲线上，，

.

故选：B.

【点睛】

本题考查双曲线和抛物线的性质，应用曲线的定义是解题关键，注意几何方法的合理运用，属于中档题.

13．10

【解析】

【分析】

先求出二项展开式的通项，再令的系数为1，确定出所求的项，即可求解.

【详解】

展开式通项为，

，令，

展开式中项的系数为.

故答案为：10.

【点睛】

本题考查二项展开式定理，熟记通项即可，属于基础题.

14．

【解析】

【分析】

画出满足条件的可行域，，求出的最小值即可，而表示可行域内的点与原点连线斜率的倒数，只需求出可行域内的点与坐标原点连线斜率的最大值，结合图形即可求出结论.

【详解】

画出满足条件的可行域，如下图所示，

而，表示可行域内的点与坐标原点连线的斜率，

根据图象其最大值为直线的斜率，其中点坐标为，

所以的最大值为，的最小值为，

即的最小值为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查二元一次不等式组表示平面区域，用几何法求目标函数的最小值，理解目标函数的几何意义是解题的关键，属于基础题.

15．

【解析】

【分析】

取中点，则三点共线，且，由已知可得，即，利用，求出，要使得点存在，坐标原点到直线的距离不大于的值，建立的不等量关系，求解即可.

【详解】

连，直线，是圆的切线，

切点分别为，，，

三点共线，，

，

，

，

要使在直线上存在点使得，

则点到直线的距离，，

.

故答案为：

【点睛】

本题考查直线与圆的位置关系以及切线性质的应用，注意平面几何知识和向量知识的合理利用，考查数形结合思想，属于中档题.

16．

【解析】

【分析】

取中点，连，取中点，连，则平面，根据已知可得为正三角形，正棱锥内切球的球心为正的内心，与面切于点为中点，球面上与距离最近的点为与球面的交点，即在之间且长为内切球的半径，连并延长交于，平面过与平行，可得平面分别与平面、平面的交线为过与平行的直线，即可得到截面为梯形，根据长度关系，即可求解.

【详解】

取中点，连，取中点，连，

则，为正方形的中心，四棱锥是正四棱锥，

所以平面，，

在中，，

同理，所以为正三角形，

所以正四棱锥内切球的球心为正的内心，

内切球的半径是正的内切圆半径为，

内切球与平面的切点为正内切圆与直线的切点，

所以为中点，球面上与距离最近的点为连与球面的交点，

即在之间，且，因此为中点，

连并延长交于，平面过与直线平行，

设平面分别与平面、平面交于，

因为平面，所以，又因为，，

所以，同理可证，所以，连，

则梯形为所求的截面，因为，

，所以平面平面，

所以，所以，

连，则为的角平分线，所以，

又因为分别为的中点，所以，

所以，而，所以，

所以，

又，所以，

所以截面梯形的面积.

故答案为：.

【点睛】

本题以多面体的内切球为背景，考查空间线、面位置关系，应用直线与平面性质确定截面是解题的关键，要注意平面几何知识的应用，考查直观想象、逻辑推理能力，属于较难题.

17．（1）4；（2）.

【解析】

【分析】

（1）取的中点，连接、，由三角形中位线定理，以及线面平行的性质定理可得为平行四边形，进而求解；

（2）取中点，则垂直于，以点为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系，利用空间向量的运算求解.

【详解】

(1)取的中点，连接、，

∵//，//，∴//，

∴四点共面，

∵//面，面∩面=，∴//，

∴为平行四边形.

∴，

∴；

(2取中点，∵,∴垂直于，∴平行于，∴垂直于，于是以点为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系，

由垂直于，垂直于，∴平面法向量为，

,∴B(,-2,0)

设平面PMN的法向量为

,

,

取,得到平面的法向量为.

.

经判断知二面角二面角为钝角，于是其余弦为.

18．（1）详见解析（2）抽到6户为第二阶梯用户的可能性最大

【解析】

【分析】

（1）由已知可得的可能值为0，1，2，3，根据茎叶图提供的数据，按照古典概型的概率公式，求出相应的值的概率，得到分布列，即可求出期望；

（2）设为从全市抽取的10户中用水量为二阶的家庭户数，由题意可得服从二项分布，求出，用作商法确定的单调性，即可求解结论.

【详解】

（1）由茎叶图可知抽取的10户中用水量为阶的有2户，

二阶的有6户，三阶的有2户，

第二阶梯水量的户数的可能取值为0，1，2，3.

；

；

所以的分布列为

（2）设为从全市抽取的10户中用水量为二阶的家庭户数，

依题意得，所以，

其中，

设.

若，则，；

若，则，.

所以当或者7，可能最大，

，

所以抽到6户为第二阶梯用户的可能性最大.

（也可由不等式，及解得）

【点睛】

本题以茎叶图为背景，考查随机变量的分布列和期望，以及二项分布概率的最大值，利用函数思想求最值，考查计算求解能力，属于中档题.

19．（1）（2）存在；定点或

【解析】

【分析】

（1）根据已知可得，即可求出椭圆的方程；

（2）假设满足条件的定点存在，设为，设直线的方程为，与椭圆方程联立，设，，得到关系，再由，利用关系，化简为关系式，利用其为定值则不含项，进而得到关于的方程，求解即可.

【详解】

（1）因为是边长为2的等边三角形，

所以，解得，，所以

所以椭圆的方程为.

（2）依题意直线斜率存在，设直线的方程为，

，

由整理得

当时，得，

设存在定点满足题意，则

.

由得，，

当时，当时；

故存在满足题意的定点或.

【点睛】

本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系以及定点定值问题，要注意根与系数关系设而不求方法的应用，考查计算求解能力，属于中档题.

20．（Ⅰ），；（Ⅱ）等式的所有正整数的取值为1和3.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）根据，当时，求出，当，由，求出的递推关系，即可求出数列的通项公式；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，令，可得，再求出，得出的通项，进而求出，令，研究的单调性，求出的解即可.

【详解】

解：（Ⅰ）由，

当时，，两式相减得，

即，（），又，得

即也满足上式，故是以1为首项，3为公比的等比数列

得，；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得对任意正整数成立，

设

又

所以..

又即

得，，

所以

由，得，即

记，则，，，

以下证明时.

因

即时单调递减，

综上可得，等式的所有正整数的取值为1和3.

【点睛】

本题考查数列的前项和与通项的关系、等比数列的定义、数列的单调性，意在考查计算求解、推理论证和综合应用能力，属于中档题.

21．（1）（2）证明见解析；

【解析】

【分析】

（1）设，转化为有两个零点时的取值范围，求，求出单调区间，确定极值，结合零点存在性定理，即可求解；

（2）将所证的不等式用表示，，再令，转化为证明 ，再等价转化构造函数，，利用求导研究函数的单调性，即可证明不等式.

【详解】

（1）设，

题意即有两个不同的零点，，

当时，，在上单调递增，

至多一个零点，不满足题意.

当时，令，得，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以时，取得极小值，

也是最小值为

若即，则至多一个零点，不满足题意.

若即，则由，

知在存在一个零点，

又.

设在上恒成立，

，所以.

所以在存在一个零点，

从而有个两个不同零点，满足题意.

综上，实数的取值范围是.

（2）要证只要证

只需证

不妨设，即证

要证，只需证，

设，则

所以在上为增函数，

从而，即成立.

要证，只需证

设.则

所以在上为减函数，从而，

即中上成立，

所以成立，即.

【点睛】

本题考查函数导数综合应用，涉及到函数的单调性、极值最值、零点、不等式证明，利用分析法构造函数，并利用构造的函数的单调性把问题转化为恒成立问题是解题的关键，考查等价转化思想，属于较难题.

22．（1）；（2）证明见解析；

【解析】

【分析】

（1）将曲线参数方程平方相加，即可消去参数得到普通方程，将直线方程展开，利用代入，即可求出直角坐标方程；

（2）由（1）得，设直线参数方程为为参数），代入曲线普通方程中，设交点，对应的参数为，根据根与系数关系得出的值，结合直线参数的几何意义即可证明.

【详解】

（1）由得

由得，得，

的普通方程是，的直角坐标方程为.

（2）由（1）知

设的参数方程为为参数），

代入的方程得，当时，

设方程的两根为

，所以为定值.

【点睛】

本题考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程与直角坐标方程互化、直线参数方程的应用，考查计算求解能力，属于中档题.

23．（1）（2）证明见解析；

【解析】

【分析】

（1）分类讨论去中的绝对值，转化为分段函数，求出每段函数值的取值范围，即可求解；

（2）由（1）得，利用已知等式有，再应用基本不等式，即可证明结论.

【详解】

（1）

当时，；当时，；

当时，，

所以当时，取最小值.

（2）由（1）可知，因为，，为正实数，

.

当且仅当，即，，时取等号，

所以.

【点睛】

本题考查分类讨论求函数最值、利用基本不等式证明不等式，要注意基本不等式应用的条件，考查转化思想和计算能力，属于中档题.