高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆教案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆教案，共12页。教案主要包含了探究新知，典例解析，小结，课时练等内容，欢迎下载使用。

本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习椭圆及其标准方程
从知识上讲，椭圆的标准方程是解析法的进一步运用，同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上讲，它为我们研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和理论基础；从教材编排上讲，现行教材中把三种圆锥曲线独编一章，更突出了椭圆的重要地位.因此本节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容.是几何的研究实现了代数化。数与形的有机结合，在本章中得到了充分体现。
重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程
难点：运用标准方程解决相关问题
多媒体
“椭圆及其标准方程”是在学生已学过坐标平面上圆的方程的基础上，运用“曲线和方程”理论解决具体的二次曲线的又一实例.学生在学习上还是有一定的基础的。教学按照有有生活中的实例，出发，类比圆的定义，从而获得椭圆的定义，进而运用解析法，求出椭圆的标准方程，并能简单运用。
课程目标
学科素养
A.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．
B.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．
C.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．
1.数学抽象：曲线与方程的关系
2.逻辑推理：曲线的方程与方程的曲线的关系
3.数学运算： 根据条件求曲线的方程
4.数学建模：运用方程研究曲线的性质
教学过程
教学设计意图
核心素养目标
情境导学
椭圆是圆锥曲线的一种具有丰富的几何性质，在科研生产和人类生活中具有广泛的应用，那么椭圆到底有怎样的几何性质，我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础。
二、探究新知
取一条定长的细线，把它的两端都固定在图板的同一点套上铅笔拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆。如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1,F2 ，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？
在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？
1．椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于______________的点的轨迹叫做椭圆，这_______叫做椭圆的焦点，______________叫做椭圆的焦距，焦距的____称为半焦距．
常数(大于|F1F2|) ;两个定点 ;两焦点间的距离 ;一半
思考：(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
(2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？
[提示] (1)点的轨迹是线段F1F2.
(2)当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？
一般地，如果椭圆的焦点为F1和F2，焦距为2c，而且椭圆上的 动点P满足，PF1+PF2=2a其中a>c>0. 以F1F2 所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，
建立平面直角坐标系，如图所示，此时,椭圆的焦点分别为F1（-c,0）和F2（ c,0）
椭圆的标准方程
(x+c)2+y2+(x-c)2+y2=2a. ①
为了化简方程①，我们将其左边一个根式移到右边，得得
(x+c)2+y2=2a-(x-c)2+y2.②
对方程②两边平方，得
(x+c)2+y2=4a2 -4ax-c2+y2+(x-c)2+y2
整理，得a2-cx=ax-c2+y2 ③
对方程③两边平方，得
a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2
整理得 a2-c2x2+a2y2= a2a2-c2 ④
将方程④两边同除以a2a2-c2，得
x2a2+y2a2-c2=1 ⑤
由椭圆的定义可知2a>2c>0 ，即a>c>0，所以a2-c2>0.
观察图，你能从中找出表示a，c，a2-c2的线段吗？
问题思考
由图可知，PF1=PF2=a，OF1=OF2=c, PO=a2-c2
令b= PO=a2-c2,那么方程⑤就是
；x2a2+y2b2=1 (a>b>0) ⑥
称焦点在x轴上的椭圆方程.
设椭圆的焦点为F1和F2，焦距为2c ，而且椭圆上的动点P满足PF1+PF2=2a,其中a>c>0. 以F1F2 所在直线为y轴，线段的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时：
（1）椭圆焦点的坐标分别是什么？
（2）能否通过x2a2+y2b2=1 (a>b>0) 来得到此时椭圆方程的形式？
y2a2+x2b2=1 (a>b>0),称焦点在y轴上的椭圆方程.
2.椭圆的标准方程

焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准
方程
图形
焦点
坐标
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
a,b,c的关系
b2=a2-c2
1. a=6,c=1的椭圆的标准方程是( )
A.x236+y235=1 B.y236+x235=1
C.x236+y21=1D.x236+y235=1或y236+x235=1
2. 椭圆x225+y2=1上一点P到一个焦点的距离为2,则点P到另一个焦点的距离为( )
A.5B.6 C.7D.8
3. 椭圆4x2+9y2=1的焦点坐标是( )
A.(±5,0) B.(0,±5) C.±56,0D.±536,0
解析: (1) 易得为D选项.
(2)设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,若|PF1|=2,
结合椭圆定义|PF2|+|PF1|=10,可得|PF2|=8.
(3)∵椭圆的标准方程为x214+y219=1,
∴a2=14,b2=19,∴c2=a2-b2=14-19=536,且焦点在x轴上,
∴焦点坐标为±56,0.
(3)∵椭圆的标准方程为x214+y219=1,∴a2=14,b2=19,
∴c2=a2-b2=14-19=536,且焦点在x轴上,
∴焦点坐标为±56,0.
三、典例解析
例1求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别为F1(－4,0)，F2(4,0)，并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10；
(2)焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,3eq \r(2))；
(3)经过两点(2，－eq \r(2))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(\r(14),2))).
[解] (1)因为椭圆的焦点在x轴上，且c＝4,2a＝10，所以a＝5，
b＝eq \r(a2－c2)＝eq \r(25－16)＝3，所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1.
(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．
法一：由椭圆的定义知2a＝eq \r(4－02＋3\r(2)＋22)＋eq \r(4－02＋3\r(2)－22)＝12，
解得a＝6.又c＝2，所以b＝eq \r(a2－c2)＝4eq \r(2).
所以椭圆的标准方程为eq \f(y2,36)＋eq \f(x2,32)＝1.
法二：因为所求椭圆过点(4,3eq \r(2))，所以eq \f(18,a2)＋eq \f(16,b2)＝1.
又c2＝a2－b2＝4，可解得a2＝36，b2＝32.
所以椭圆的标准方程为eq \f(y2,36)＋eq \f(x2,32)＝1.
(3)法一：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．
由已知条件得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(4,a2)＋\f(2,b2)＝1，,\f(1,a2)＋\f(14,4b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝8，,b2＝4.))
所以所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1.
若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．
由已知条件得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(4,b2)＋\f(2,a2)＝1，,\f(1,b2)＋\f(14,4a2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b2＝8，,a2＝4.))
则a2＜b2，与a＞b＞0矛盾，舍去．
综上可知，所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1.
法二：设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．分别将两点的坐标(2，－eq \r(2))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(\r(14),2)))代入椭圆的一般方程，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4A＋2B＝1，,A＋\f(14,4)B＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A＝\f(1,8)，,B＝\f(1,4)，))
所以所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1.
用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤
(1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能．
(2)设方程：根据上述判断设方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)或eq \f(x2,b2)＋eq \f(y2,a2)＝1(a＞b＞0)或整式形式mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．
(3)找关系：根据已知条件建立关于a，b，c(或m，n)的方程组．
(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求．
跟踪训练1．求与椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1有相同焦点，且过点(3，eq \r(15))的
椭圆的标准方程．
[解] 法一：因为所求椭圆与椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的焦点相同，所以其焦点在x轴上，且c2＝25－9＝16.
设所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16 ①.
又点(3，eq \r(15))在所求椭圆上，所以eq \f(32,a2)＋eq \f(\r(15)2,b2)＝1，
即eq \f(9,a2)＋eq \f(15,b2)＝1 ②. 由①②得a2＝36，b2＝20，
所以所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1.
法二：由题意可设所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,25＋λ)＋eq \f(y2,9＋λ)＝1.
又椭圆过点(3，eq \r(15))，将x＝3，y＝eq \r(15)代入方程得eq \f(9,25＋λ)＋eq \f(15,9＋λ)＝1，解得λ＝11或λ＝－21(舍去)．故所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1.
例2 (1)已知P是椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,8)＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为______________．
(2)如图所示，圆C：(x＋1)2＋y2＝25及点A(1,0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于点M，求点M的轨迹方程．
典例解析
[思路探究] (1)点Q为OP的中点⇒点Q与点P的坐标关系⇒代入法求解．
(2)由垂直平分线的性质和椭圆的定义进行求解．
(1)x2＋eq \f(y2,2)＝1
[设Q(x，y)，P(x0，y0)，由点Q是线段OP的中点
知x0＝2x，y0＝2y，
又eq \f(x\\al(2,0),4)＋eq \f(y\\al(2,0),8)＝1，所以eq \f(2x2,4)＋eq \f(2y2,8)＝1，即x2＋eq \f(y2,2)＝1.]
(2)[解] 由垂直平分线的性质可知|MQ|＝|MA|，
∴|CM|＋|MA|＝|CM|＋|MQ|＝|CQ|，
∴|CM|＋|MA|＝5.
∴点M的轨迹为椭圆，其中2a＝5，焦点为C(－1,0)，A(1,0)，∴a＝eq \f(5,2)，c＝1 ，∴b2＝a2－c2＝eq \f(25,4)－1＝eq \f(21,4).
∴所求点M的轨迹方程为eq \f(x2,\f(25,4))＋eq \f(y2,\f(21,4))＝1，即eq \f(4x2,25)＋eq \f(4y2,21)＝1.
1．与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法，本例(1)所用方法为代入法，例(2)所用方法为定义法．
2．对定义法求轨迹方程的认识
如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法．
3．代入法(相关点法)
若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)＝0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程 F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法)．
跟踪训练2．已知x轴上一定点A(1,0)，Q为椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1上任一点，求线段AQ中点M的轨迹方程．
[解] 设中点M的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(x0，y0)．
利用中点坐标公式，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(x0＋1,2)，,y＝\f(y0,2)，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝2x－1，,y0＝2y.))
∵Q(x0，y0)在椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1上，∴eq \f(x\\al(2,0),4)＋yeq \\al(2,0)＝1.
将x0＝2x－1，y0＝2y代入上式，得eq \f(2x－12,4)＋(2y)2＝1.
故所求AQ的中点M的轨迹方程是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up24(2)＋4y2＝1.
通过具体的情景，让学生对椭圆有一个直观的印象，同时类比圆的定义，抽象出椭圆的几何定义。发展学生数学抽象，直观想象的核心素养。
运用解析法，求出椭圆的方程，获得椭圆的标准方程。帮助学生进一步体会数形结合的思想方法。发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。
通过典型例题，掌握根据椭圆的定义求出其方程的基本方法，即待定系数法，提升学生数学建模，数形结合，及方程思想，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。
通过圆与圆位置关系的综合问题，提升学生数学建模，数形结合，及方程思想，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。
三、达标检测
1．椭圆eq \f(x2,25)＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
D [根据椭圆的定义知，P到另一个焦点的距离为
2a－2＝2×5－2＝8.]
2．已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k的值
是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
B [椭圆方程可化为x2＋eq \f(y2,\f(4,k))＝1，由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(4,k)>1，,\f(4,k)－1＝1，))
解得k＝2.]
3．若方程eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,2m－1)＝1表示椭圆，则实数m满足的条件是________．
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(m\b\lc\|(m＞\f(1,2)且m≠1)))[由方程eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,2m－1)＝1表示椭圆，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＞0，,2m－1＞0，,m≠2m－1，))解得m＞eq \f(1,2)且m≠1.]
4．设F1，F2分别是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，设椭圆C上一点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)，\f(\r(3),2)))到两焦点F1，F2的距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标．
[解] ∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4，
∴2a＝4，a2＝4，∵点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)，\f(\r(3),2)))是椭圆上的一点，
∴eq \f(\r(3)2,4)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))\s\up24(2),b2)＝1，∴b2＝3，∴c2＝1，
∴椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1. 焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)．
5.如图所示,在圆C:(x+1)2+y2=25内有一点A(1,0).Q为圆C上任意一点,线段AQ的垂直平分线与C,Q的连线交于点M,当点Q在圆C上运动时,求点M的轨迹方程.
解:如图所示,连接MA.由题意知点M在线段CQ上,
从而有|CQ|=|MQ|+|CM|.
又点M在AQ的垂直平分线上,
则|MA|=|MQ|,故|MA|+|MC|=|CQ|=5>|AC|=2.
又A(1,0),C(-1,0),故点M的轨迹是以(1,0),(-1,0)为焦点的椭圆,
且2a=5,c=1,
故a=52,b2=a2-c2=254-1=214.故点M的轨迹方程为x2254+y2214=1.
通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。
四、小结
五、课时练
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。