人教A版 (2019)必修 第二册8.2 立体图形的直观图教案

第八章 立体几何初步

8.2立体图形的直观图

一、教学目标

1.了解“斜二测画法”的概念以及掌握斜二测画法的步骤；

2.会用斜二测画法画出一些平面图形和空间图形；

3.通过对立体图形的直观图的学习，培养学生数学抽象、数学运算、直观想象等数学素养.

二、教学重难点

1.用斜二测画法作图．

2. 由直观图还原成原来的图形．

三、教学过程：

（1）创设情景

在桌面上放一个正方形，我们从某一点看这个正方形；这个正方形是什么样子？你能画它的直观图吗？

（2）新知探究

问题1:从某一点看远处桌面上放的一个正方形会是生么样子?

生答:平行四边形

问题2:大家能画它的直观图吗？

(提出本节课所学内容)

（3）新知建构

斜二测画法的定义:利用平行投影，人们获得的画直观图的方法是斜二测画法。

斜二测画法的步骤：

①在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于O点，

再取z轴，使∠xOz=90°，且∠yOz=90°．

②画直观图时把它们画成对应的x′轴、y′轴和z′轴，它们交于O′，并使=45°（或135°），=90°，x′轴和y′轴所确定的平面表示水平平面．

③已知图形中平行于x轴、y轴和z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴和z′轴的线段．

④已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持原有长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．

（4）数学运用

例1.如图所示,中,,边AC上的高,求其水平放置的直观图的面积.

【答案】

解:画轴与轴,两轴交于,使,作的直观图如图所示,则,,故的高为,所以.即水平放置的直观图的面积为.

变式训练1:如图，四边形是边长为1的正方形，且它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积.

【答案】图像见解析，

解:画出平面直角坐标系，使点与原点重合，在轴上取点，使，再在轴上取点，使，取的中点，连接并延长至点，使，连接，，，则四边形为正方形的原图形，如图所示.

易知四边形为平行四边形.

∵，，

∴，即原图形的面积为.

小结:水平放置平面图形直观图斜二测画法步骤：

画轴取轴——取点——连线成图

口诀：横不变纵减半，平行性不变

变式训练2:用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列说法正确的是(    )

A.相等的线段在直观图中仍然相等。     B.平行的线段在直观图中仍然平行。       

C.一个角的直观图仍然是一个角。       D.相等的角在直观图中仍然相等。            

【答案】BC

例2.画棱长为2cm的正方体的直观图．

画法：第一步：作水平放置的正方形的直观图ABCD，使∠BAD=45°，AB=2cm，AD=1cm．

第二步：过A作z′轴，使∠BA z′=90°；分别过点B，C，D作z′轴的平行线，在z′轴和这组平行线上分别截取AA′=BB′=CC′=DD′=2cm．

第三步：连结，得到的图形就是所求的正方体直观图．

其绘图过程，如下图所示：

变式训练:已知一棱柱的底面是边长为的正方形，各侧面都是矩形，且侧棱长为，试用斜二测画法画出此棱柱的直观图.

【答案】答案见解析

【解析】（1）画轴.画出轴、轴轴，三轴相交于点，使，.

（2）画底面.以点为中点，在轴上画，在轴上画，分别过点，作轴的平行线，过点，作轴的平行线，设它们的交点分别为，，，，则四边形就是该棱柱的底面.

（3）画侧棱.过点，，，分别作轴的平行线，并在这些平行线上分别截取长的线段，，，，如图①所示.

（4）成图.连接，，，，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到该棱柱的直观图，如图②所示.

小结:空间几何体直观图斜二测画法步骤：

画轴——画底面——画侧棱——连线成图

口诀：横竖不变纵减半，平行性不变

例3:如图是△AOB用斜二测画法画出的直观图△A'O'B',其中A'D'∥y'轴,则AB=__________;△AOB的周长是　　　　. 

【答案】   

解:根据直观图画出原图如下图所示.根据原图与直观图的关系可知,OB=4,OD=BD=2,AD=8,所以OA=AB==,所以△AOB的周长是4+×2=.

        故答案为：   

变式训练:若水平放置的四边形按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形的面积为_______________

【答案】

【解析】根据图像可得，四边形水平放置的直观图为直角梯形，

作，则，

由，得，，

，，且，，所以，

原四边形的面积为.

故答案为：

四、小结：

1.水平放置平面图形直观图斜二测画法步骤：

2.空间几何体直观图斜二测画法步骤：

3.三视图与直观图联系，平行投影与中心投影不同表现形式

五、作业：习题8.2