2020-2021学年1.3.1利用导数判断函数的单调性教案设计

这是一份2020-2021学年1.3.1利用导数判断函数的单调性教案设计，共4页。教案主要包含了教材分析，教学目标，教学重点难点，教学方法，课时安排，教学过程等内容，欢迎下载使用。

一、教材分析
以前，我们用定义来判断函数的单调性． 对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么函数f(x)就是区间I上的增函数． 对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么函数f(x)就是区间I上的减函数。
在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易． 如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单。根据课程标准，本节分为四课时，此为第一课时。
二、教学目标
1，知识目标：
1）正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；
2）掌握利用导数判断函数单调性的步骤。
2，能力目标：
学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，提高创新能力。
3，情感、态度与价值观目标：
在愉悦的学习氛围中，学生感受到解决数学问题的一般方法：从简单到复杂，从特殊到一般。
三、教学重点难点
教学重点：利用导数判断函数单调性。
教学难点：利用导数判断函数单调性。.
四、教学方法：探究法
五、课时安排：1课时
六、教学过程
【引 例】
1．确定函数在哪个区间内是增函数？在哪个区间内是减函数？
解：，在上是减函数，在上是增函数。
问：1）、为什么在上是减函数，在上是增函数？
都是反映函数随自变量的变化情况。
2）、研究函数的单调区间你有哪些方法？
（1）观察图象的变化趋势；（函数的图象必须能画出的）
（2）利用函数单调性的定义。（复习一下函数单调性的定义）
2、确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数？哪个区间内是减函数？
（1）能画出函数的图象吗？
（2）能用单调性的定义吗？试一试，提问一个学生：解决了吗？到哪一步解决不了？（产生认知冲突）
【发现问题】定义是解决单调性最根本的工具，但有时很麻烦，甚至解决不了。尤其是在不知道函数的图象的时候，如函数f(x)=2x3－6x2+7，这就需要我们寻求一个新的方法来解决。（研究的必要性）事实上用定义研究函数的单调区间也不容易。
【探 究】
我们知道函数的图象能直观的反映函数的变化情况，下面通过函数的图象规律来研究。
问：如何入手？（图象） 从函数f(x)=2x3－6x2+7的图象吗？
1、研究二次函数的图象；
学生自己画图研究探索。
提问：以前我们是通过二次函数图象的哪些特征来研究它的单调性的？
（开口方向，对称轴）既然要寻求一个新的办法，显然要换个角度分析。
提示：我们最近研究的哪个知识（通过图象的哪个量）能反映函数的变化规律？
学生继续探索，得出初步规律。几何画板演示，共同探究。
得到这个二次函数图象的切线斜率的变化与单调性的关系。（学生总结）：
①该函数在区间上单调递减，切线斜率小于0，即其导数为负；
在区间上单调递增，切线斜率大于0，即其导数为正；
注：切线斜率等于0，即其导数为0；如何理解？
②就此函数而言这种规律是否一致？是否其它函数也有这样的规律呢？
2、先看一次函数图象；
3、再看两个我们熟悉的函数图象。（验证）
观察三次函数的图象；（几何画板演示）
观察某个函数的图象。（几何画板演示）
指出：我们发现函数的单调性与导数的符号有密切的关系。这节课我们就来学习如何用导数研究函数的单调性（幻灯放映课题）。
【新课讲解】
4、请同学们根据刚才观察的结果进行总结：导数与函数的单调性有什么关系？请一个学生回答。（幻灯放映）
一般地，设函数在某个区间可导，则函数在该区间内
如果在这个区间内，则为这个区间内的增函数；
如果在这个区间内，则为这个区间内的减函数。
若在某个区间内恒有，则为常函数。
这个结论是我们通过观察图象得到的，只是一个猜想，正确吗？答案是肯定的。严格的证明需要用到中值定理，大学里才能学到。这儿我们可以直接用这个结论。
小结：数学中研究问题的常规思想方法是：从特殊到一般，从简单的复杂。
结论应用：
由以上结论知：函数的单调性与其导数有关，因此我们可以用导数法去探讨函数的单调性。下面举例说明：
【例题讲解】
求证：在上是增函数。
由学生叙述过程老师板书：
因为 ，，
所以 ，即，
所以函数在上是增函数。
注：我们知道在R上是增函数，课后试一试，看如何用导数法证明。
学生归纳步骤：1、求导；2、判断导数符号；3、下结论。
确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.
由学生叙述过程老师板书：
解：f′(x)=(2x3－6x2+7)′=6x2－12x, 令6x2－12x＞0，解得x＞2或x＜0
∴当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数;当x∈(2，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.
令6x2－12x＜0，解得0＜x＜2.∴当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数.
学生小结：用导数求函数单调区间的步骤：
确定函数f(x)的定义域；
求函数f(x)的导数f′(x).
令f′(x)＞0解不等式，得x的范围就是递增区间.
令f′(x)＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间
【课堂练习】
1．确定下列函数的单调区间
(1)y=x3－9x2+24x (2)y=3x－x3
(1)解：y′=(x3－9x2+24x)′=3x2－18x+24=3(x－2)(x－4)
令3(x－2)(x－4)＞0，解得x＞4或x＜2.
∴y=x3－9x2+24x的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)
令3(x－2)(x－4)＜0，解得2＜x＜4
.∴y=x3－9x2+24x的单调减区间是(2，4)
(2)解：y′=(3x－x3)′=3－3x2=－3(x2－1)=－3(x+1)(x－1)
令－3(x+1)(x－1)＞0，解得－1＜x＜1.
∴y=3x－x3的单调增区间是(－1，1).
令－3(x+1)(x－1)＜0，解得x＞1或x＜－1.
∴y=3x－x3的单调减区间是(－∞，－1)和(1，+∞)
2、设是函数的导数, 的
图象如图所示, 则的图象最有可能是( )
小结：重点是抓住导函数的图象与原函数的图象从哪里发生联系？
【课堂小结】
1.函数导数与单调性的关系:若函数y=f(x)在某个区间内可导,
如果f ′(x)>0, 则f(x)为增函数;如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数.
2.本节课中,用导数去研究函数的单调性是中心,能灵活应用导数解题是目的,另外应注意数形结合在解题中的应用.
3.掌握研究数学问题的一般方法:从特殊到一般,从简单到复杂.
y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
A．
B．
C．
D．
【课后练习】
１．（2007年浙江卷）设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
２．已知函数，则（ ）
A．在上递增 B．在上递减
C．在上递增 D．在上递减
３．函数的单调递增区间是_____________．
【课堂作业】
课本p42习题2.4 1,2
【课后记】
本节课是一节新授课，课本所提供的信息很简单，如果直接得出结论，学生也能接受，可学生只能进行简单的模仿应用。
为了突出知识的发生过程，不把新授课上成习题课，设计思路如下，以便教会学生会思考解决问题：1、首先研究从熟悉的二次函数入手，简单复习回顾以前的方法；
从不熟悉的三次函数入手，使学生体会到以前的知识已不能解决，必须寻求一个新的解决办法，产生认知冲突，认识到再次研究单调性的必要性；
从简单的、熟悉的函数图象入手，引导学生从函数的切线斜率变化观察函数单调性的变化，再与新学的导数联系起来，形成结论。另外，也使学生感受到解决数学问题的一般方法：从简单到复杂，从特殊到一般。
应用中重点指导学生的解题步骤，避免考试中隐性失分。
在今后的教学中，应注重学生的参与，引发认知冲突，教会学生思考问题。加强教案设计的合理性，语言做到准确、简练。节奏要把握好。